2025年上海高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 （七大題型） （解析版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(七大題型)

o------------題型歸納?定方向-----------?>

題型012023-2024年高考+春考真題.............................................................1

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.........................................................................3

題型03導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合).....................................6

題型04導(dǎo)數(shù)、抽象函數(shù)等綜合................................................................19

題型05求極限、分段函數(shù)問(wèn)題................................................................26

題型06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、空間向量與立體幾何....................................................28

題型07其他補(bǔ)充強(qiáng)化訓(xùn)練.....................................................................33

?>----------題型探析,明規(guī)律-----------*

【解題規(guī)律?提分快招】

耒函藪向?qū)Ъにｄ蟠_施把函數(shù)振芬康姆初琴菌藪的而「親「祈丁商「百我再運(yùn)算法加萊導(dǎo)二

2、)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

3、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的

各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

4、若所給的閉區(qū)間［a,b］含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得

到函數(shù)f(x)的最值.

5、題源注明：因題源有限，導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，選用適量解答題來(lái)練習(xí)填選題

題型012023-2024年高考+春考真題

【典例1-1】.(2024?上海)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,定義集合河=｛月幾€&xe(-8,xo),f

(x)<f(xo)｝，在使得〃=［-1，1］的所有/(尤)中，下列成立的是()

A.存在/(x)是偶函數(shù)

B.存在/(x)在x=2處取最大值

C.存在/(x)為嚴(yán)格增函數(shù)

D.存在/(x)在x=-1處取到極小值

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值及最值的相關(guān)性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定即可.

【解析】解：對(duì)于4,x<x()時(shí)，f(x)<f(xo),

當(dāng)xo=l時(shí)，xoG［-b1］,

對(duì)于任意xe(-8,I),y(x)</(1)恒成立，

若/(X)是偶函數(shù)，此時(shí)/(I)=/(-1),矛盾，故/錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若/(x)函數(shù)圖像如下:

Af(x)

-1

------i----2

當(dāng)x<-1時(shí)，/(x)=-2,-IWXWI時(shí)，f(x)￡[-1,1],當(dāng)x>l,/(x)=1,

所以存在/(x)在x=2處取最大值，故8正確；

對(duì)于C,在x<-l時(shí)，若函數(shù)/(x)嚴(yán)格增，

則集合M的取值不會(huì)是[-1,1],而是全體定義域，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若存在/(x)在x=-1處取到極小值，

則在X=-1左側(cè)存在尤=",f(?)>-1,與集合M定義矛盾，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及最值等性質(zhì)，屬中檔題.

【典例1-2】.(2024?上海)現(xiàn)定義如下：當(dāng)(〃，〃+1)時(shí)(〃6N),若/(x+1)=f(x),則稱/(x)

為延展函數(shù).現(xiàn)有，當(dāng)X6(0,1)時(shí)，g(x)="與人(X)=》1°均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在y=fcc+6(k,6€R；k,療0)與y=g(x)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)

(2)存在y=fcc+6(k,beR-,k,6W0)與(x)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

【分析】根據(jù)題意，對(duì)于①，由“延展函數(shù)”的定義，分析可得g(x)是周期為1的周期函數(shù)，結(jié)合一

次函數(shù)的性質(zhì)可得①錯(cuò)誤，對(duì)于②，舉出例子，可得②正確，綜合可得答案.

【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)x€(0,1)時(shí)，g(x)與h(x)=xl°均為延展函數(shù)，

對(duì)于①，對(duì)于g(x)="，g(x+1)=g'(x)=e>c,

則g(x)是周期為1的周期函數(shù)，其值域?yàn)?1,e),

因?yàn)椤?0,y=履+6與y=g(x)不會(huì)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)，所以(1)錯(cuò)；

對(duì)于②，當(dāng)左=10!時(shí)，存在6使得直線》=履+6可以與刀(無(wú))在區(qū)間(9,10)的函數(shù)部分重合，因而

有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)，所以(2)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的圖象，關(guān)鍵理解“延展函數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-3].(2023?上海)某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，

坡面與水平面所成夾角為6.行人每沿著斜坡向上走1加消耗的體力為(1.025-cosB),欲使行人走上斜

坡所消耗的總體力最小，則8=arccos絲?

41

【分析】先求出斜坡的長(zhǎng)度，求出上坡所消耗的總體力的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的最值即可.

【解析】解：斜坡的長(zhǎng)度為/=—V，

sin8

上坡所消耗的總體力y=.4義(1.025-cos0)=4.喟sg,

sin8sin8

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y,=4sin』"sin8-(4.l-4cos8)cos8=4-4.lcos8,

si?n2oasi?n2Da

由了'=0,得4-4.1cos0=0,得cos8=^>,0=arccos-^-,

4141

由/'(x)>0時(shí)cosO<里L(fēng),即arccos理時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

41412

由/'(x)<0時(shí)cosO>^L,即0<e<arccos電L時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

4141

即e=arccos也，函數(shù)取得最小值，即此時(shí)所消耗的總體力最小.

41

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查生活的應(yīng)用問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵,

是中檔題.

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【典例2-1].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)丁=/(x),若-1)=1,則+

20h

【答案】2

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義得到=2/'⑴=2.

2。hV7

【解析】+圳-3=2"0+圳一川)=2〃1)=2.

20h2。2h'7

故答案為：2

【典例2-1】?(24-25高三上?上海,階段練習(xí))設(shè)〃x)=tanx,則/仲=.

【答案】4

【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再代入數(shù)值即可.

【解析】???，（無(wú)）=tanx=------,

COSX

故答案為：4

【變式2-1】.（23-24高二下?上海?期中）函數(shù)〃x）=/_sinx在區(qū)間［0,句上的平均變化率為.

【答案】兀

【分析】根據(jù)平均變化率的公式，代入計(jì)算即可.

【解析】根據(jù)題意，/（x）=x2-sinx,

在區(qū)間［0,兀］上，有Ay=/（兀）-/（0）=7,Ax=7C-0=it,

則其平均變化率?=除

Ax

故答案為：兀.

【變式2-2】.（25-26高三上?上海?單元測(cè)試）函數(shù)y=2x2-6x+l的駐點(diǎn)為.

【答案】:3

【分析】對(duì)"X）求導(dǎo)，得到析（X）=4X-6,令八好=4尤-6=0,即可求解.

【解析】因?yàn)?（X）=2/_6X+1,所以/（x）=4x-6,

aa

令/'（x）=4x-6=0,解得x=］,所以x為函數(shù)/（x）=2--6x+l的駐點(diǎn)，

...3

故答案為：—.

【變式2-3】.（23-24高二下,上海?期末）已知函數(shù)/（x）=l+x-sinx,》40,2兀），則該函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間

是.

【答案】（0,2兀）

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】因?yàn)椤▁）=l+尤-sinx,xe（O,2兀），則/'（x）=1-cosx>0對(duì)Vxe（0,2兀）恒成立，

所以該函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間是（0,2兀）.

故答案為：（0,2兀）.

【變式2-4］.（24-25高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=d+2x,則〃x）在點(diǎn)處的切

線的傾斜角為.

【答案】arctan5

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，然后由反三角表示即可.

【解析】因?yàn)?'(X)=3/+2,所以/⑴=3+2=5,

記/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線的傾斜角為0,則tand=5,則e<0,|j,

所以0=arctan5.

故答案為：arctan5

【變式2-5】.(24-25高三上?上海?階段練習(xí))函數(shù)/a)=x3-21nx在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為.

【答案】x-y=0

【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.

【解析】由題意可知，"1)=1，則切點(diǎn)為(1,1)，因?yàn)閯t/⑴=3-2=1,

所以“X)在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為1，則切線方程為V-l=L(xT),即x-y=0

故答案為：x-y=0

【變式2-6】.(2024?上海浦東新?三模)已知g(x)=]：：、2T：2為偶函數(shù)，若/⑷="，則”=.

【答案】2或-2

【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)的單調(diào)性，當(dāng)求解方程結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求得。的值.

【解析】因?yàn)間(X)為偶函數(shù)，所以g(f)=g(X),

當(dāng)xW0時(shí)，g(x)=x3+2X—1,g'(x)=3x2+2XIn2>0

所以g(x)在(O,+8)單調(diào)遞增，在(-8,0)單調(diào)遞減，

若aNO,/(4)=。3+2"-1=11,解得a=2,

由g(x)為偶函數(shù)得，當(dāng)。<0時(shí)，-2)=11,

故。的值為2或-2,

故答案為：2或-2.

【變式2-7].(23-24高二下?上海?階段練習(xí))若函數(shù)〃幻=打+白2-x+J在上存在嚴(yán)格減區(qū)間,

326/

則m的取值范圍是

【答案】>n<-

【分析】借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，再參變分離，可得加<L-x在區(qū)間(〈,2〕上有解，結(jié)合g(x)=』-x的單

調(diào)性計(jì)算即可得解.

【解析】f\x)=x2+mx-l,

函數(shù)“X）在,2）上存在嚴(yán)格減區(qū)間，則（X）＜o(jì)在區(qū)間,2）上有解.

即a＜1-了在區(qū)間上有解，

令g（x）=/-x,因?yàn)間（x）在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，

所以g（x）＜g]gj=|,故有加

3

故答案為：，"＜2.

題型03導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合）

【典例3-11?（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是64兀，且用料最省,

則該圓柱形水桶的底面半徑為.

【答案】4

【分析】設(shè)底面半徑為「，由體積，用〃表示出高〃，進(jìn)而用〃表示出表面積5（廠），通過(guò)求導(dǎo)得到打廠）取最

小值時(shí)〃的值即可.

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，，由體積匕=〃?〃得高為〃6=4尊冗=64?，

7irr

則圓柱的表面積為5（廠）=無(wú)產(chǎn)+2口*1^=無(wú)卜+11§],

令V（r）＜0,得re（O,4）,S（r）單調(diào)遞減，令S'（r）＞0得re（4,+oo）,S⑺單調(diào)遞增.

所以S（r）在r=4時(shí)取得最小值，要使得用料最省，底面半徑為4.

故答案為：4.

【典例3-2】?（23-24高三上?上海閔行?期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的體積為36兀,

則該正四棱錐的體積最大值為.

【答案】y/211

【分析】先求出外接球的半徑，再根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理可

得3,=2/+（〃-3）2,進(jìn)而由體積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于%的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的最值.

4

【解析】因?yàn)榍虻捏w積為1兀咒=36兀，所以球的半徑為R=3,

如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)/8=2%高PO=h,外接球的球心為

根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，又OD=4ia，

在RtZXMOD中，MD2=OD2+OM2,即3?=2/+（力一3?，

112

所以正四棱錐的體積為廠-（〃-3）2”，

2

整理得K=-yA3+47z2（//>0）,V'=-2h2+8〃=-2h（h-4）,

當(dāng)o<〃<4時(shí)，r>0,當(dāng)〃>4時(shí)，r<0,

7

所以/=一（/+4川（人>0）在（0,勺上遞增，在（4,+劃上遞減,

764

所以當(dāng)占=4時(shí)，%取得最大值-；X43+4X42=W，

33

比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為左（后>0）?現(xiàn)已知相距18km的A,3兩家化工廠（污染源）

的污染強(qiáng)度分別為。，b,它們連線段上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)V等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和.設(shè)

NC=x（km）（O<x<18）.若.=1,且x=6時(shí)，V取得最小值，貝U6的值為.

【答案】8

【分析】根據(jù)/C=x,xe（0,18）,得BC=18-x,分別求出兩個(gè)污染指數(shù)即可得出函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)

函數(shù)，依題意可得，|戶6=0，即可求出6的值，再檢驗(yàn)即可.

【解析】依題意點(diǎn)C受A污染源污染程度為,（o<x<18）,點(diǎn)C受3污染源污染程度為標(biāo)二了，其中人為

比例常數(shù)，且無(wú)>0,

kakb,、

從而點(diǎn)C處受污染程度”二+而二尸，（0<x<18）；

因?yàn)?1,所以1了k+Ekb，則”=[-79+環(huán)2b?,

"-22bA

當(dāng)x=6時(shí),丁取得最小值,必是極小值,所以"|》=6=左J3+(18—6)3=0,

7

解得b=8,

(18-X)3-(2X)3

此時(shí)y'=-2h

x3(18—x)3

18—x

當(dāng)0<x<6時(shí)，y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)6<x<18時(shí)，y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

所以在x=6時(shí)，V取得極小值，也是xe（0,18）的最小值，

所以污染源3的污染強(qiáng)度6的值為8.

故答案為：8

【變式3-2】.（23-24高二下?上海?期末）采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進(jìn)行爆破，部分爆破呈圓錐漏

斗形狀（如圖），己知圓錐的母線長(zhǎng)是炸藥包的爆破半徑上它的值是固定的.當(dāng)炸藥包埋的深度為

可使爆破體積最大.

\啟R

件藥包

【答案】也R

3

【分析】先將圓錐的體積轉(zhuǎn)化為關(guān)于深處〃的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系求得廣的最大值點(diǎn)，從

而得解.

【解析】結(jié)合圖形，可知圓錐的體積為/=；

又因?yàn)橹?/+/,即/=上一人2,

所以憶=:兀（尺2-后“=；成。一?泌3,/；e（o,7?）,貝!］『'=；71A2-泌2,

令廠'20,^0<h<—R-令％'WO,得昱R〈h<R；

33

所以憶=；曲2〃一；兀/在［O,4R］上單調(diào)遞增，在民R］上單調(diào)遞減,

所以在〃=1R處/=：成%-：無(wú)〃3取得最大值，

333

所以炸藥包要埋在gR深處.

3

故答案為：2R.

3

2

【變式3-3】.(23-24高二下?上海?期中)如圖，用一塊形狀為半橢圓一+匕=1320)的鐵皮截取一個(gè)以短

4

軸為底的等腰梯形N2CD,記所得等腰梯形的面積為S,貝”的最大值是.

【分析】設(shè)。(xj),結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，求得梯形的面積為S=(x+l)y,化簡(jiǎn)得到

S2=-4X4-8X3+8X+4,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

2

【解析】設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(x/)(0<x<l),由點(diǎn)。在橢圓上知/+匕=1320),得，=4(1_篇,

4

.??等腰梯形ABCD的面積為S=g(|4D|+忸C|)3=；(2x+2)y=(x+l)y,

2214343

S=(x+1)y=4(x+1產(chǎn)(1-/)=4(_x_2x+2x+1)=-4x-8x+8x+4,

^f(x)=-4x4-8x3+8x+4(0<x<1),

f'(x)=4(-44_6x2+2)=-8(x+1>(2尤-1),

則當(dāng)0<尤<；時(shí)，r(x)>o,單調(diào)遞增；

當(dāng);<x<i時(shí)，r(x)<o,/(X)單調(diào)遞減.

則在區(qū)間(0,1)上，/(X)有唯一的極大值點(diǎn)X=；,

所以當(dāng)X=；1時(shí)，$2有最大值為27:；

24

即當(dāng)x=:時(shí)，S有最大值為￡1

22

故答案為：巫.

2

【變式3-4】.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地/BCD,^5=300m,

=180m,現(xiàn)規(guī)劃在邊CD,D4上分別取點(diǎn)E,F,G,且滿足/E=EF,FG=GA,在△E/G內(nèi)

建造噴泉瀑布，在AMG內(nèi)種植花奔，其余區(qū)域鋪設(shè)草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度）,

貝IJ當(dāng)sin//EG=?時(shí)，棧道EG最短.

【答案】

【分析】由題設(shè)有Rt△及1G名RtZXEFG,設(shè)N/EG={0＜。,根據(jù)圖形中邊角關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)可得

90

EG=sin6（l-sit?）注意sin。的范圍，進(jìn)而應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【解析】由題意，RtAEAG咨RtAEFG,

^AAEG=e[o<e<71^\,貝l|/OG尸=無(wú)一21]-6?]=26?.

2

在RtAGDF中cos29=空=18°~^G,得NG=18090

-7，

GFAGcos26+1cos6

AG9090

則EG=

sin。sincos20sin6^(1-sin2,

=90(l+tan26>)<180

由于，解得~Wtan8W1.

4G(1

AE=------=90tan6>+<3003

tan。Itan。

VioV2nr90

令sin6=￡,te--,則EG=

102t-t3,

令/?)=-3,則/")=1一3?,

當(dāng)/'（，）＞o時(shí)代嚕,*,了⑺嚴(yán)格遞增;

.7

V2

當(dāng)了'⑺＜0時(shí)te,嚴(yán)格遞減;

所以t=sin6=@,/?)有最大值，貝ljEGmM=135』.

3

故答案為:

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是要弄清楚圖形的關(guān)系，運(yùn)用平面幾何知識(shí)表示出四邊形的面積，再利用換元

法特別注意換元后的范圍，轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而可以求解.

【變式3-51.(2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí))如圖所示，是邊長(zhǎng)為30面的正方形硬紙片，切去陰

影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,

正好形成一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體包裝盒，若要包裝盒容積K(cm3)最大，則EF的長(zhǎng)為cm.

【答案】10

【分析】設(shè)斯=xcm,根據(jù)已知條件求出包裝盒的底面邊長(zhǎng)及高從而求得包裝盒體積的關(guān)于x的表達(dá)式,

利用導(dǎo)數(shù)研究體積V(x)的最大值即可.

【解析】設(shè)^7nxcm,則AE=BF="'cm,包裝盒的高為cm,

22

因?yàn)?=cm,44所以包裝盒的底面邊長(zhǎng)為"￡=走(30-工)cm,

222

所以包裝盒的體積為憶(x)=(30-x)?(x=_60,+900x),0<x<30,

則『(x)=1(3/-120x+900),令片(x)=0解得x=10,

4

當(dāng)xw(0,10)時(shí)，r(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xe(10,30)時(shí)，V'(x)<0,函數(shù)y(x)單調(diào)遞減，所以

3

r(x)max=r(10)=^(1000-6000+9000)=1OOOV2(C777),即當(dāng)EP=10C/W時(shí)包裝盒容積廠(。疝)取得最大值

1000V2(cw3).

故答案為：10

【點(diǎn)睛】本題考查柱體的體積，利用導(dǎo)數(shù)解決面積、體積最大值問(wèn)題，屬于中檔題.

【變式3-6】.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))某種兒童適用型防蚊液儲(chǔ)存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半

球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲(chǔ)存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示,

兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形/BCD,其外周長(zhǎng)為100毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個(gè)半

球體積之和.假設(shè)工。的長(zhǎng)為2x毫米.

（1）求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）了關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）如何設(shè)計(jì)/。與的長(zhǎng)度，使得V最大？

【答案】(1)>=?！?+50m2,XGf0,

5071-100

⑵3為可"毫米,"為x|Z.

3K-2

【分析】（1）由矩形"BCD其外周長(zhǎng)為100毫米，又設(shè)4。的長(zhǎng)為2x毫米，可得43的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓柱和

球的體積公式即可求得防蚊液的體積了關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）對(duì)（1）求得的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可確定防毒液體積最

大值.

【解析】（1）由2/8+2m=100得/8=50-7U,

由AB>0且x>0得xe（o,—1,

所以防蚊液的體積9=9^/+*（50-*=停兀-兀2卜+5（W,總.

（2）由y=兀一兀2）/+SOTLX2,X￡[0,—j.

所以V=2TLX2-3TI2x2+1OOTLX,

人，八/口八100人，八，門(mén)10050

4^>o<o<x<-—-；4^<o<--—;

3K-23K-27i

所以了在（0,普」上單調(diào)遞增，在[羋;，絲]上單調(diào)遞減，

I3K-2J13兀一271）

所以當(dāng)x=時(shí)，V有最大值，此時(shí)40=2X=了4，/5=5V

3兀一237r—23兀-2

所以當(dāng)為了2毫米，為華孚毫米時(shí)，防蚊液的體積有最大值.

3兀-23K-2

【變式3-7].（22-23高三上?上海虹口?期中）如圖所示，由圓。的一段弧MPN（其中點(diǎn)P為圓弧的中點(diǎn)）

和線段MN構(gòu)成的圖形內(nèi)有一個(gè)矩形N8C。和△尸DC（其中48在線段MN上，C、。兩點(diǎn)在圓弧上），已

知圓。的半徑為20,點(diǎn)尸到MV的距離為25,設(shè)直線OC與"N的夾角為a

(1)用6分別表示矩形ABCD和△尸DC的面積，并確定sin0的取值范圍;

(2)當(dāng)0為何值時(shí)，5=4$矩/2；8+35"/有最大值，最大值是多少？

【答案】(1)矩形48C。面積為200cos(9(4sine+l),△PDC的面積為400cos8(l-sin。)，sin夕e

(2)。=￡時(shí)，s取得最大值1500百.

6

【分析】(1)根據(jù)已知條件，用。分別表示。以及點(diǎn)尸到CD的距離，再求面積即可；根據(jù)矩形

內(nèi)接于圓弧，討論臨界情況，即可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)(1)中所求可得S,再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求其最值即可.

【解析】(1)連接夕。交于點(diǎn)G,并延長(zhǎng)R9交JW于點(diǎn)”，

過(guò)。作OT垂直于3C,垂足為T(mén),如下所示：

木艮據(jù)題意/TOC=。，OC=OP=20,PH=25,故OH=TB=5,

CTCT八OTOT

在三角形COT中,sin<9=——---,cos〃=----

OC20OC20

故可得CT=20sin。，SC=C77+B77=20sin<9+5,

OT=20cos6>,AB=2OT=4Ocos0,

PG=OP-OG=OC-CT=20-20sm6,

故矩形ABCD的面積S[=45x5C=40cos夕(20sin9+5)

=200cos0(4sin+1),

△PDC的面積$2=；XCDXPG=；X40coseX(20—20sin6?)

=400cos（1-sin,

過(guò)點(diǎn)N作NQ垂直于MN交圓弧MW于點(diǎn)。，交OT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,

當(dāng)6=/0OK時(shí)，才能做出滿足題意的矩形,

此時(shí)sin0取得最小值為石亮==J?=:；

LxCzCzNU*1

同時(shí)，為滿足題意，sin6<l,

故可得sin。的取值范圍為

（2）卞艮據(jù)（1）中所求，5=45矩形”8+35寸℃

=800cos夕(4sin9+1)+1200cos夕(1一sin夕)

=2000(sin0cos0+cos,sin夕￡:』

根據(jù)（1）中所求，不妨令sinq=；，則4個(gè)高,

兀

令)/=sin6cose+cose,e￡

6

貝！Jy=cos26一sin6=—2sin?夕一sin夕+1,

當(dāng)sinde：，1J時(shí)，V單調(diào)遞減，

令1=0,可得sin8=-l（舍）或

故當(dāng)sinSegj]時(shí)，V>。，J=sin夕cos夕+cos6單調(diào)遞增；

當(dāng)sin<9￡（；,1時(shí)，y<0,y=sin6cose+cos6單調(diào)遞減，

故當(dāng)sinS=L,即8=2時(shí)，y=sin9cos6+cos夕取得最大值孑叵.

264

也即時(shí)，s取得最大值i5ooG.

6

【變式3-8].（24-25高三上?上海,階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家"鄉(xiāng)村振興"政策，某村在對(duì)口幫扶單位的支持下

擬建一個(gè)生產(chǎn)農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的小型加工廠.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬(wàn)元，每年需

另投入流動(dòng)成本c（x）（萬(wàn)元）與ln\成正比（其中X（臺(tái)）表示產(chǎn)量），并知當(dāng)生產(chǎn)20臺(tái)該產(chǎn)品時(shí)，需要

流動(dòng)成本出2萬(wàn)元，每件產(chǎn)品的售價(jià)p（x）與產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系為p（無(wú)）=一念+W+*（萬(wàn)元）（其

1uuxnu

中尤210）.記當(dāng)年銷售該產(chǎn)品X臺(tái)獲得的利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本）為了（X）萬(wàn)元.

（1）求函數(shù)〃x）的解析式；

（2）當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí)，該工廠的年利潤(rùn)f（x）最大？最大利潤(rùn)是多少？（結(jié)果精確到0.1）

【答案】（1）/卜）=-+，+j^x-ln^（x>10,xeN,）

⑵50臺(tái)，24.4萬(wàn)元

【分析】（1）先通過(guò)待定系數(shù)法求解出c（x）與In看的關(guān)系，然后根據(jù)利潤(rùn)定義表示出〃x）即可；

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，從而可求〃無(wú)）的最大值以及對(duì)應(yīng)x的值.

X

【解析】（1）設(shè)c（x）=kln二，代入x=20可得左In2=ln2,所以左=1,

所以/=--10=———x2+—x-In—

v7v7101005010

所以/(%)=———x2+—x-ln—(x>10,xeN*)

v71005010v7

(2)因?yàn)?(%)=———x2+—x-ln—(X>10,XGN*)

v71005010v7

所以fr(\__1、1?51二(xT)(x―50)

,(x)=50x5050x'

當(dāng))￡[10,50)時(shí),r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)相（50,+8）時(shí)，r（x）<0,/（x）單調(diào)遞減,

所以=/（50）=_^^+2x50—ln色=26—1115^24.4萬(wàn)元，

Jmax八/1005010

所以當(dāng)x=50時(shí)有最大利潤(rùn)為24.4萬(wàn)元.

【變式3-9].（21-22高三下?上海浦東新?期中）如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通4、5兩地，4處

位于東西方向的直線上的陸地處，3處位于海上一個(gè)燈塔處，在Z處用測(cè)角器測(cè)得tan/A4N=±,在4

4

處正西方向1km的點(diǎn)C處，用測(cè)角器測(cè)得tanN5CN=l.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段在水下鋪設(shè)；②

在岸上選一點(diǎn)尸，設(shè)NBPN=。,先沿線段/尸在地下鋪設(shè)，再沿線段尸2在水下鋪設(shè)，預(yù)

算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬(wàn)元/km、4萬(wàn)元/km.

（1）求/、3兩點(diǎn)間的距離；

⑵請(qǐng)選擇一種鋪設(shè)費(fèi)用較低的方案，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）5千米；

（2）選擇方案②，P在A點(diǎn)正西方4-6千米處，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）設(shè)2。=缶千米，結(jié)合已知條件有tanZSZNu-u:求出x,根據(jù)線段關(guān)系及勾股定理求

/、8兩點(diǎn)間的距離；

（2）計(jì)算方案①的費(fèi)用，根據(jù)已知可得方案②的費(fèi)用為24P+48P=8+型請(qǐng)利用導(dǎo)數(shù)研究最值,

sm”

然后比較兩種方案的費(fèi)用大小，即可確定費(fèi)用較低的方案.

【解析】（1）

3

由tan4CN=l'若尤=而千米'則tan的N=^x=“可得x=3,

所以N8=J32+42=5千米

（2）方案①：鋪設(shè)費(fèi)用為5x4=20萬(wàn)元；

方案②：4P=4-「，BP=—,

tan8sin8

山、口生E、I1266（2-cos。）

鋪設(shè)費(fèi)用為2/P+45P=——+8---------=8+-^-----------1

sin0tan0sin0

令"）=青,則八。）==篝8

當(dāng)cos0e（0,g）,時(shí)/'⑻>0,當(dāng)cos6e（g,l）,6e（0,§時(shí)八。）<0,

所以在（o,專上遞減,（g,g）上遞增,則勺=石，

故鋪設(shè)費(fèi)用最小為8+6G萬(wàn)元＜20萬(wàn)元，

綜上，選擇方案②，尸在A點(diǎn)正西方4-道千米處.

【變式3-10】.（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）如圖，某公園內(nèi)有一半圓形人工湖，。為圓心，半徑為1

千米.為了人民群眾美好生活的需求，政府為民辦實(shí)事，擬規(guī)劃在AOCD區(qū)域種荷花，在AOB。區(qū)域建小型

水上項(xiàng)目.已知ZAOC=ZCOD=6.

（1）求四邊形。CDB的面積（用e表示）；

（2）當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時(shí)，求BD的長(zhǎng)（最終結(jié)果可保留根號(hào)）.

【答案】⑴S⑻=，sind+sin20）,（2）三至千米.

【分析】（1）設(shè)四邊形OCDB的面積為S（。），四邊形。88可以分為AOCD和AOBD兩部分，結(jié)合題中條件

可得出S（0）=g（sin，+sin2。），注意。的取值范圍；

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究5（0）的最大值，進(jìn)而在AOBD中利用余弦定理求得8D的值即可.

【解析】（1）由題意N/OC=NCOD=6?,

設(shè)四邊形OCDB的面積為s（。），

因?yàn)樗倪呅蜲CDB可以分為AOCD和兩部分，

所以S（6?）=SAOCD+S△。助=；OC.°Dsind+goB.ODsin（萬(wàn)一26）,

因?yàn)?8=。。=0。=1,

所以S（6（）=g（sind+sin2e）.

TT

因?yàn)橄Α?,萬(wàn)一2。＞0,所以0＜。＜一.

2

所以四邊形OCDB的面積S⑻=1（sin6+sin20）,6＞e]o,?；

（2）由（1）知S（9）=5（sin6+sin26）,f0,—j,

所以S'(8)=+(sin0cos0^=cos0+cos20-sin20=；(4cos?8+cos8-2),

令S'(e)=。，即4cos20+cos0-2=0，

解得cose=T+亞或cos?！?,

88

jr

因?yàn)閛<e<(,所以存在唯一的％,

使得COS0Q=]+,

。8

當(dāng)o<e<4時(shí)，s")>o,s(e)在(0,4)單調(diào)遞增;

當(dāng)為<。<、時(shí)，w⑻<o,s(e)在，。段)單調(diào)遞減，

所以。=4時(shí)，s⑻s=s(%),

222

此時(shí)BD=OB+OD-2OB.O￡>cos-230)

2

=1+1+2cos2%=2+2(2cos?'-1)=4cos00,

從而B(niǎo)D=2cos0=-1+庖(千米).

4

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)和解三角形在生活中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯思維能

力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

【變式3-11】.(2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí))設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是正四棱柱

4B￡D「ABCD,上部的形狀是正四棱錐尸-/4G2,且該帳篷外接于球。(如圖所示).

⑴若正四棱柱44G2-ABCD是棱長(zhǎng)為2m的正方體，求該帳篷的頂點(diǎn)P到底面ABCD中心。2的距離；

TT

⑵若該帳篷外接球。的半徑3m,設(shè)NPOC1=。,6e(0,5),該帳篷的體積為廣，則當(dāng)cose為何值時(shí)，體積廠

取得最大值.

【答案】⑴用1

(2)a^z!

15

【分析】(i)根據(jù)條件，利用外接球的球心為正方體的中心，可得及=。4=。尸=6,即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)條件得到%=18(1-cos?6)(1+5cos6),令/=cos。e(0,1),得到憶=18(l-/)(l+5f),再利用導(dǎo)數(shù)與

函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出憶=18(1-』)(1+5。的單調(diào)區(qū)間，即可求解.

【解析】(1)設(shè)外接球的半徑為尺，因?yàn)檎睦庵?月GA-/28是棱長(zhǎng)為2m的正方體，

易知外接球的球心為正方體的中心，所以尺=O4=OP=@+22+21=G，而。a=l,

2

得至IJ.尸=。尸+。。2=6+1.

(2)ZPOQ=e,e<0,3，

OOX=3cos6℃i=3sin0,

二.Of=3—3cos仇AB=3A/2sin0.

2122

z.V=ABxAAX+jABxO1尸=18sin3(1+5cos0)=18(1-cos6)。+5cos0),

令/=cos6￡((M)nP=18(l—r)(1+5。,

由廣=18(-15〃-2/+5)=0,得至卜=2弋T

2V19-1

,在上遞增，在——一,1遞減.

I13JI，)

.?.COS。：2^二1■時(shí)，體積%取得最大值.

15

題型04導(dǎo)數(shù)、抽象函數(shù)等綜合

【典例4-1].(23-24高三上?上海虹口?期中)對(duì)于兩個(gè)定義在R上的函數(shù)了=/(x)與y=g(x),構(gòu)造新函數(shù)

y=/z(x)如下：對(duì)任意％eR,//(x0)=/(x0)+g(x0).現(xiàn)已知y=〃(x)是嚴(yán)格增函數(shù)，對(duì)于以下兩個(gè)命題:

①1/㈤與尸g(x)中至少有一個(gè)是嚴(yán)格增函數(shù)；②V=/(x)與y=g(x)中至少有一個(gè)函數(shù)無(wú)最大值.其

中()

A.①和②都是真命題B.只有①是真命題

C.只有②是真命題D.沒(méi)有真命題

【答案】D

【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性，舉反例即可分別①和②.

【解析】對(duì)于①，不妨設(shè)=g(x)=「5X'"2,

[5，x=2[_4,X=2

則=〃x)+g(x)=為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，但是y=f(x)與kg(x)均不是單調(diào)遞增函數(shù)，故①錯(cuò)誤,

、fsinx,x<0f-sinx-e*r,x<0

對(duì)于②,不妨考慮〃x)=,g3=工，

[2,x>0[-2-e,x>0

/z(x)=/(x)+g(x)=-e-￡為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)xV0時(shí)，/(x)=sinx<l,故》=/(無(wú))有最大值2,

當(dāng)xWO時(shí)，g(x)=-sinx-e-x,gf(x)=-cosx+e-x,

由于xWO,所以e-'Ne15,t^g,(x)=-cosx+e-%>-l+e-J>-1+1=0,因此g(x)在xV0單調(diào)遞增，故

g(x)<g(0)=-l,

當(dāng)尤>0時(shí)，g(x)=-2-e-x<-2,

因此y=g(x)由最大值g(o)=-1,故②錯(cuò)誤.

故選：D

【典例4-2】.(2023?上海閔行?一模)已知函數(shù)>=/(x)與它的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的定義域均為R,現(xiàn)有下

述兩個(gè)命題：

①"y=為嚴(yán)格增函數(shù)〃是")=f(x)為嚴(yán)格增函數(shù)"的必要非充分條件.

②U=/(x)為奇函數(shù)"是"=r(x)為偶函數(shù)”的充分非必要條件；

則說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()

A.命題①和②均為真命題B.命題①為真命題，命題②為假命題

C.命題①為假命題，命題②為真命題D.命題①和②均為假命題

【答案】C

【分析】

可舉例說(shuō)明①中"y=/(x)為嚴(yán)格增函數(shù)"和"y=/'(x)為嚴(yán)格增函數(shù)”之間的邏輯關(guān)系，即可判斷其真假；

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)以及y=/(x)為奇函數(shù)可判斷"y=/(x)為奇函數(shù)"和"=f'(x)為偶函數(shù)"之間的邏輯

關(guān)系，即可判斷②的真假，即得答案.

【解析】對(duì)于①，不妨取/(x)=V為R上嚴(yán)格增函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)_f(x)=3無(wú)2在R上不是單調(diào)函數(shù)，

即"y=/(X)為嚴(yán)格增函數(shù)"推不出"了=/'(x)為嚴(yán)格增函數(shù)"

取/(x)=f,其導(dǎo)函數(shù)/'(x)=2x為R上嚴(yán)格增函數(shù)，但/(x)=x2不是單調(diào)函數(shù)，

故