2025年蘇科版七年級數(shù)學(xué)寒假專練：幾何圖形中的動態(tài)探究問題（原卷版）

專題10幾何圖形中的動態(tài)探究問題

嫌內(nèi)容早知道

G第一層鞏固提升練（6大題型）

目錄

題型一角〃等分線的有關(guān)計算...................................................................1

題型二利用分類討論思想解決幾何圖形中旋轉(zhuǎn)多解問題............................................1

題型三幾何圖形中動角求定值問題...............................................................2

題型四幾何圖形中動角探究數(shù)量關(guān)系問題.........................................................4

題型五幾何圖形中動角求運動時間問題...........................................................5

題型六幾何圖形中動角之新定義型問題...........................................................6

3第二層能力提升練

今第三層拓展突破練

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題型一角n等分線的有關(guān)計算

例題：（22-23七年級上?山西大同?期末）在的內(nèi)部作射線OC,射線OC把//Q8分成兩個角，分

別為//OC和若=或=,則稱射線OC為的三等分線.若

ZAOB=60°,射線OC為NNO8的三等分線，則//OC的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.20?；?0°D.20。或30°

【變式訓(xùn)練】

I.（23-24七年級上?浙江湖州?期末）定義：從N/O8的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC,把NNQ8

分成1:2的兩部分，射線0c叫做//08的三等分線.若在NMON中，射線OP是NMON的三等分線，射

線。。是AMOP的三等分線，設(shè)^MOQ=x,則AMON用含x的代數(shù)式表示為.

題型二利用分類討論思想解決幾何圖形中旋轉(zhuǎn)多解問題

例題：（24-25七年級上?全國?期末）如圖①，點。在直線N8上，過。作射線。C,48。。=120。，三角板

的頂點與點。重合，邊與06重合，邊ON在直線的下方.若三角板繞點。按10。八的速度沿逆時針

方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第s時，直線ON恰好平分銳角//OC（圖②）.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級下?廣東廣州?期末）在同一平面內(nèi)，將兩副直角三角板的兩個直角頂點重合，并擺成如圖

所示的形狀.已知乙D=30。，NE=60。,NB=/C=45。,若保持三角板NOE不動，將三角板/8C繞點/

在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).當(dāng)時，NENC的度數(shù)為一.

2.（23-24七年級下?天津和平?期中）在數(shù)學(xué)研究中，觀察、猜想、實驗驗證、得出結(jié)論，是我們常用的幾

何探究方式.請你利用一副含有45。角的直角三角板/8C和含有30。角的直角三角板BDE嘗試完成探究.試

探索；保持三角板不動，將45。角的頂點與三角板ADE的60。角的頂點重合，然后擺動三角板ADE,

使得Z4BD與/4BE中其中一個角是另一個角的兩倍，請寫出所有滿足題意的24BE的度

數(shù).

題型三幾何圖形中動角求定值問題

例題：（23-24六年級下,山東濟南?期末）已知將一副三角板（直角三角板和直角三角板。8）的兩個頂

點重合于點。，N4OB=90°,ZCOD^30°.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)OC恰好平分NAOB時,求ZBOD的度數(shù)；

(2)如圖2,在/NOC內(nèi)部，作射線0M,使40M=g/COM,在/BOD內(nèi)部，作射線ON,使

/BON=g/DON,如果三角板COD在2/02內(nèi)繞。任意轉(zhuǎn)動，NMON的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變,

求其值；如果變化，說明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級上?廣東肇慶?期末)如圖1,點。為直線上一點，過點。作射線OC.

直線42的下方.在圖中，NNOC=_。；

⑵將圖1中的三角板按圖2的位置放置，使得CW在射線0C上，0E平分NB0M,求/COE的度數(shù);

⑶將上述直角三角板按圖3的位置放置，加在N3OC的內(nèi)部，說明NBCW-NCOM的值固定不變.

2.(23-24七年級上,廣東深圳?期末)將兩個直角三角形如圖1擺放，已知/Cr?E=//C2=90。，

NE=45。，NB=30。，射線CM平分N8CE.

圖2

(1)如圖1,當(dāng)。、4C三點共線時，N/CM的度數(shù)為.

⑵如圖2,將△￡>(7￡繞點C從圖1的位置開始順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒6。，設(shè)時間為於，作射線CN

平分N/C7).

①若0〈茗,

NMCN的度數(shù)是否改變？若改變，請用含，的代數(shù)式表示；若不變，請說明理由并求出值.

②若t<"30,當(dāng)/為何值時，N8QV=2NDCM?請直接寫出f的值.

題型四幾何圖形中動角探究數(shù)量關(guān)系問題

例題：（23-24七年級上?天津?期末）探究題：已知。為直線/。上的一點,以。為頂點作/CO￡=90。，射

線。尸平分//OE.

圖1

⑴如圖1,若NDOE=54。,

⑵若將/COE繞點。旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，射線OF仍然平分ZAOE,請寫出ZCOF與ZDOE之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由;

⑶若將/COE繞點。旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，射線仍然平分乙4。及求2/COF+/DOE的度數(shù).

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級上?全國?期末）如圖，將兩塊三角板的頂點重合.

⑴請寫出圖中所有以O(shè)點為頂點且小于平角的角;

⑵你寫出的角中相等的角有

⑶若/DOC=53。，試求的度數(shù);

⑷當(dāng)三角板NOC繞點。適當(dāng)旋轉(zhuǎn)（保持兩三角板有重合部分）時，N/O8與/DOC之間具有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？

2.（24-25七年級上?全國?期末）【探究】將兩個三角板的兩個直角頂點。重合在一起，放置成如圖1所示

的位置，請回答下面的問題.

AA

圖1圖2

（1）如果重疊在一起/80C=30。則/4OD=.

（2）若將/COD繞點。旋轉(zhuǎn)，使重疊在一起的48OC=50。，ZAOD=.

（3）圖1中乙40C與N80D滿足的數(shù)量關(guān)系是，根據(jù)是.

【拓展】在圖1所示的位置上，繼續(xù)將繞點。旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示的位置，請回答下面的問題.

⑷如果/BOC=x。，則乙4。。=.（用含x的式子表示）

（5）此時圖2中NAOC與NBOD始終滿足的數(shù)量關(guān)系是.

（6）【結(jié)論】由上述的探究過程可知，三角板COD繞重合點。旋轉(zhuǎn).不論旋轉(zhuǎn)到任何位置時，NAOD與/BOC

始終滿足的數(shù)量關(guān)系是.

題型五幾何圖形中動角求運動時間問題

例題：（23-24六年級下,黑龍江哈爾濱?期末）在數(shù)學(xué)實驗課中，學(xué)生進行操作探究，用一副三角板（其中

ZABC=NACB=45°,ABAC=ZEDF=90°,NDFE=30°,ZDEF=60°）按如圖1所示擺放，邊BC與EF

在同一條直線上（點C與點E重合）.如圖2,將三角板A8C從圖1的位置開始繞點C以每秒5。的速

度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊8c與邊E尸重合時停止運動，設(shè)三角板/8C的運動時間為f秒.

⑴當(dāng)，為何值時，CA平分ZDCF?

⑵當(dāng)t為何值時,ZACF=3ZBCD?

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級上?安徽合肥?期末）如圖，。為線段4B上一點，ZCOD=90°,OE為NCOD的角平分線,

定義OC與。/重合時為初始位置，將NCOD繞著點。從初始位置開始，以10。/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，至OD

與04重合時終止.

D

AOB

（備用圖1）

AOB

（備用圖2）

AOB

（備用圖3）

⑴當(dāng)NCOQ從初始位置旋轉(zhuǎn)6秒，求此時NEOB的度數(shù)；

⑵當(dāng)ZCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)至ZEOB=120°時，求此時1的值；

⑶當(dāng)NCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)至/￡。2=加。時，/=秒（用含有加的代數(shù)式直接表示）.

2.（23-24七年級上,福建廈門?期末）【實踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)

G

⑴如圖1,將兩塊三角尺的直角頂點C疊放在一起，ZACD=ZECB=90°.

①若NEC￡>=38。，貝1若44cB=150。，則/EC。=_；

②猜想與的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵如圖2,若是將兩個同樣的含60。銳角的直角三角尺疊放在一起，其中60。銳角的頂點/重合在一起，

ZACD=ZAFG=90°.

①探究/G/C與/N斤的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若一開始就將△NOC與A/FG完全重合（/尸與/C重合），保持△/￡>（?不動，將A4FG繞點/以每秒10。

的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為J在旋轉(zhuǎn)的過程中，/為何值時NGL/C.

題型六幾何圖形中動角之新定義型問題

例題：（23-24七年級上?陜西漢中?期末）【問題背景】如圖1,己知射線0c在2498的內(nèi)部，若N/O8,

ZAOC和N8OC三個角中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是NAOB的"量尺金線

AM

圖1圖2

【問題感知】

⑴一個角的平分線這個角的“量尺金線"；(填"是"或"不是")

【問題初探】

(2)如圖2,ZMPN=60°.若射線PQ是NMPN的"量尺金線"，則ZQPN的度數(shù)為；

【問題推廣】

(3)在(2)中，若ZMPN=x。,0°<x<60°,射線P尸從尸N位置開始，以每秒旋轉(zhuǎn)3。的速度繞點P按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NFPN首次等于180。時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為f(s).當(dāng)/為何值時，射線尸加■是NEPN

的“量尺金線"？(用含x的式子表示出，即可)

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級上?遼寧葫蘆島?期末)【問題初探】

在一個角的內(nèi)部，從頂點畫一條射線，得到三個角，若其中有一個角是另一個角的2倍，則稱這條射線是已

知角的“奇妙線”.

例如：圖1中440c=2/BOC,則射線0c是的“奇妙線".

(1)一個角的角平分線這個角的“奇妙線"；(填"是"或"不是")

【類比分析】

(2)如圖2,若NMPN=60°,在內(nèi)部畫一條射線P。，使尸。是/MPN的“奇妙線"，求的

度數(shù)；

【變式拓展】

(3)如圖3,若NMPN=60。,且射線尸。繞點尸從尸N位置開始以每秒10。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線

以每秒6。的速度也繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線尸。與射線尸河重合時全部停止運動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒，請

直接寫出/為何值時，射線尸。是的“奇妙線”.

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一、單選題

1.(23-24七年級上?浙江臺州?期末)已知0c是的平分線，ZB0D=jZC0D,OE平分NC0D,設(shè)

ZA0B=a,則48OE=()

5fl55115I1

A.一a或一aB.一a或一aC.-a或一aD.-a

168166866

2.（23-24七年級上,浙江寧波?期末）如圖，將一副三角尺60。角和90。角的頂點A疊放在一起，將三角板/0E

繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中三角板4DE的邊始終在/A4c的內(nèi)部，則/8/E-/C4。的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.無法確定

二、填空題

3.（23-24七年級上?浙江?期末）我校金沙校區(qū)的小葉同學(xué)設(shè)計了一個“魔法棒轉(zhuǎn)不?！钡某绦?，如圖所示，

點。，4在直線"N上，第一步，。4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)"度（°°<a<30°）至。4；第二步，繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)2a度至必；第三步，。小繞點。順時針旋轉(zhuǎn)3a度至。4，……以此類推，在旋轉(zhuǎn)過程中若碰到

直線則立即繞點。反方向旋轉(zhuǎn).當(dāng)/&。4=35°時，則a等于度.

4.（23-24七年級上?河南新鄉(xiāng),期末）如圖①，射線OC在內(nèi)部，圖中共有三個角44OC、ZAOB.

NBOC,若其中有兩個角的度數(shù)之比為1:2,則稱射線。。為的"幸運線”.如圖②，若

NMON=120°,射線OP為AMON的"幸運線",則/MOP的度數(shù)是.

圖①圖②

三、解答題

5.（23-24七年級上?江蘇宿遷?期末）如圖①，射線OC在內(nèi)部，圖中共有三個角

乙4OC、ZAOB.4BOC,若其中有一個角的度數(shù)是另外一個角度數(shù)的一半時，則稱射線OC為//O5的“優(yōu)

線”.

圖①圖②

⑴的角平分線這個角的"優(yōu)線"（填"是"或"不是"）;一個角共有條"優(yōu)線

⑵若N/O8=60。，射線OC為的"優(yōu)線”，則//OC的度數(shù)為.

⑶如圖②，已知乙408=120。，射線。尸從CM出發(fā)，繞點。以每秒2。的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線。。從08

出發(fā)，繞點。以每秒1。的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，至。尸、相遇時停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時

間為[s）,問I為何值時，射線。尸是乙4。0的優(yōu)線？

6.（22-23七年級上?重慶沙坪壩?期末）如圖1,平面上順時針排列射線CM,OB,0C,0D,

ZBOC=9Q°,41OD在/30C外部且為鈍角，NAOB:NCOD=6:7,射線0河，ON分別平分//OC,

ZAOD（題目中所出現(xiàn)的角均小于180。且大于0。）.

⑴若44。。=140。，ZAOM=,NCON=；

⑵6NCON-乙的值是否隨著NN。。的變化而變化？若不變，求出該定值；若要變，請說明理由；

⑶在（1）的條件下，將繞點。以每秒2。的速度順時針旋轉(zhuǎn)得到40用（04,。2的對應(yīng)邊分別是

OAX,。及），若旋轉(zhuǎn)時間為/秒（0<f<180）,當(dāng)/即兀+6。=/約9。時，求出/的值.

7.（23-24六年級下?上海徐匯?期末）定義：如果一個角內(nèi)部的一條射線將這個角分成兩個角，其中一個角

是另一個角的"倍，那么我們將這條射線稱為這個角的〃+1分位線.例如：如圖1,乙"9=4/"9尸，貝1]8

為NMCW的5分位線；NNOQ=42MOQ,則。。也是NMON的5分位線.

c

圖1圖2

⑴若//08=45。，。尸為/N08的3分位線，5.AB0P>ZP0A,則/8OP=_.

（2）如圖2,點A、。、8在同一條直線上，OC為一條射線，OP,。。分別為N/OC與/BOC的4分位線,

（ZCOP>ZPOA,ZCOQ>ZQOB）.

①已知，ZAOC=120°,則/尸。。=_.

②若乙4OC=a,當(dāng)a變化時，NP。。的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請寫出計算過程；若發(fā)生變

化，請說明理由.

⑶如果點A、0、8在同一條直線上，OC為一條射線，已知射線0"、ON分別為//OC與/BOC的5分

位線，且NMCW=87。，請直接寫出N/OC的度數(shù).

8.（22-23七年級上?安徽黃山?期末）如圖①，把一副三角板拼在一起，邊OC與直線￡尸重合，其中

/AOB=45°,ZCOD=60°.此時易得N8OD=75。.

⑴如圖②，三角板CO。固定不動，將三角板繞點。以每秒5。的速度順時針開始旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動過程中,

三角板一直在ZEOD的內(nèi)部，設(shè)三角板運動時間為/秒.

①當(dāng)"2時，2B0D=_。；

②當(dāng)f為何值時，AAOE=22BODR

⑵如圖③，在（1）的條件下，若0M平分/BOE,ON平分■NAOD.

①當(dāng)NNO￡=20。時，NM0N=_。；

②請問在三角板的旋轉(zhuǎn)過程中，NMCW的度數(shù)是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請說明理由；如果

不發(fā)生變化，請求出NMON的度數(shù).

9.（23-24七年級上?遼寧沈陽?期末）【材料導(dǎo)讀】

規(guī)定：在一個角的內(nèi)部從角的頂點引出一條射線，這條射線與該角的一條邊組成的角是原角的;，則這條射

線叫原角的"三等分線

ococoNC

圖1圖2圖3

【學(xué)以致用】

(1)如圖1,若NBOC=2NAOB,則射線08的"三等分線"(填"是"或"不是")；

(2)如圖2,已知乙4。。=110。，射線。5在/N0C的內(nèi)部，射線是/80C的"三等分線"，且

ZC0D=|ZBOC,若/4。。=90。，求的度數(shù)；

【拓展延伸】

(3)如圖3,己知N/OC=100。，點〃，N分別在N/0C的邊CM,OC上，射線加繞點。以每秒10。的

速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線ON繞點。以每秒30。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到與邊。4