2025年人教版七年級數(shù)學寒假提升講義：二元一次方程與實際問題（知識串講+考點+過關檢測）解析版

第12講二元一次方程與實際問題

-?模塊導航A素養(yǎng)目標

模塊一思維導圖串知識1.理解二元一次方程組的含義及在現(xiàn)實生活中的廣泛

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）應用.

模塊三核心考點舉一反三2.學會從實際問題中抽象出二元一次方程組.

模塊四小試牛刀過關測3.掌握解二元一次方程組的基本方法，并能夠正確運用.

4.培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。

模塊一思維導圖串知識

?審審題找出等量關系

?設設出兩個未知數(shù)

?列列出方程組方程數(shù)=未知數(shù)的個數(shù)

步驟?解解方程組

方程組的解

?驗檢驗

解是否符合題意

元

一

次配套問題加工的總量成比例

方工作總量=工作時間X工作效率

程工程問題

與工作總量為“1二

實售價=進價X（1+利潤率）

際

售價=標價X折扣

問

商品銷售

題那=售價迦1

利潤=郵行」?jié)櫬?/p>

速度X時間=路程

類型

行程問題順水速度=靜水速度+水流速度

逆水速度=靜水速度-水流速度

增長量=原有量X增長率

和差倍分問題較大量=較小量+多余量

總量二倍數(shù)X倍量

方案選擇問題從幾種方案中，選擇最佳方案

利息=本金X利率X期數(shù)

本息和（本利和）=本金+利息=本金+

存貸款問題

本金X利率X期數(shù)=本金X（1+利率X期數(shù)）

年利率=月利率X12

3模塊二基礎知識全梳理--------------------------

列二元一次方程組解應用題的一般步驟：

設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；

列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據(jù)等量關系列出方程組）;

解：解方程組，求出未知數(shù)的值；

驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；

答：寫出答案.

【擴展說明】

1)解實際應用問題必須寫“答。而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，

不符合題意的解應該舍去；

2)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

3)一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.

o＞模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：根據(jù)實際問題列二元一次方程組

1.(24-25七年級上?安徽淮北?階段練習)為獎勵在“繽紛節(jié)”匯演中表現(xiàn)突出的同學，班主任派小王到文具店

為獲獎同學購買獎品.小王發(fā)現(xiàn)，購買15個文具盒和12支鋼筆價格一樣；如果在上述基礎上少購買2個

文具盒，多購買2支鋼筆，則購買文具盒比鋼筆少花36元.設文具盒單價為無元，鋼筆單價為y元，則符

合題意的方程組為()

.(15%=12yRf15x=12y

A-I15x—2x=12y+2y—36&115%-2x=12y+2y+36

(12x=15y(15x=12y

c-tl5x+2x=12y-2y-36D-115%+2x=12y-2y+36

【答案】A

【分析】本題考查了二元一次方程組的知識，解題的關鍵是找到兩個等量關系并列出方程組，難度不大.根

據(jù)“購買15個筆記本和12支鋼筆價格一樣；如果在上述基礎上少購買2個筆記本，多購買2支鋼筆，則購

買筆記本比鋼筆少花36元”列出二元一次方程組即可.

2

【詳解】解：根據(jù)題意得：［1sx_2x=12y+2y-36^

故選：A.

2.(23-24七年級下?全國?期末)某班有49名學生，一天，該班一男生因事請假，當天的男生人數(shù)恰好

為女生人數(shù)的一半.設該班有男生%人，女生y人，則可列方程組為()

(x—y=49f%+y=49

ly=2(x+l)B.(y=2(x+1)

Cx—y=49C%+y=49

ty=2(x—1)ty=2(%—1)

【答案】D

【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，列方程組解應用題的關鍵是找準等量關系，

同時能夠根據(jù)等式的性質對方程進行整理變形，從而找到正確答案.

根據(jù)等量關系：①該班一男生請假后，男生人數(shù)恰為女生人數(shù)的一半；②男生人數(shù)+女生人數(shù)=49,列方程

組即可.

【詳解】解：根據(jù)設該班有男生x人，女生y人，則該班一男生請假后，男生人數(shù)恰為女生人數(shù)的一半，得

-1

x—l=-yf即y=2（%—l）；某班共有學生49人，得％+y=49.

列方程組為：{JJ蓊/，

故選：D.

3.（23-24七年級下?全國?期末）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于5,十位數(shù)字與個位數(shù)字之差為

1,設十位數(shù)字為無，個位數(shù)字為y,則列方程組為（）

（x+y=5（x+y=5（x-y=5（x+y=5

lx—y=1D,ky—x=1J1％+y=llx+y=1

【答案】A

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，掌握兩位數(shù)的表示方法，列出方程組是解題的關

鍵.

設十位數(shù)字為％,個位數(shù)字為y,根據(jù)題意列出二元一次方程組即可.

【詳解】設十位數(shù)字為羽個位數(shù)字為y,

根據(jù)題意得，E+匕：；.

lx—y—1

故選：A.

4.（23-24七年級下?全國?期末）甲、乙兩人練習跑步，如果乙先跑10米，則甲跑5秒就可追上乙；如果乙

先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙，若設甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，則下列方程組中正確的

是（）

[5%=5y+10[5%—5y=10

14x—4y+2yI4x—2x—4y

【答案】A

【分析】由實際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)乙先跑10米，則甲跑5秒就可以追上乙，得方程

5x=5y+10；根據(jù)乙先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙，得方程4x=4y+2y.從而得出方程組.

【詳解】解：由題意，得

（5x=5y+10

I4x—4y+2y

故選A.

5.（23-24七年級下?云南大理?期末）現(xiàn)用95張紙板制作一批盒子，每張紙板可做4個盒身或做11個盒底,

而一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子.問用多少張紙板制盒身、多少張紙板制盒底，可以使盒身和

盒底正好配套？設用x張紙板做盒身，y張紙板做盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是（）

fx+2y=95（x+y=95

A-t4x=lly&{4x^2xUy

fx+2y—95fx+y-95

L-12X4x=lly12X4x=lly

【答案】D

【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，根據(jù)“制作盒身和制作盒底的紙板共95張,

每張紙板可做4個盒身或做11個盒底，且一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子（即制作的盒底的總數(shù)

量是制作盒身總數(shù)量的2倍）”，即可列出關于無，y的二元一次方程組，此題得解.

【詳解】解：1?制作盒身和制作盒底的紙板共95張，

：.x+y=95；

?；每張紙板可做4個盒身或做11個盒底，且一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子，

.,.2x4x=lly.

根據(jù)題意可列方程組｛2/^:Uy.

故選：D.

考點二：根據(jù)幾何圖形列二元一次方程組

6.（23-24七年級下?浙江杭州?期末）如圖所示，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，若其中每一個

小長方形的長為》,寬為”則依據(jù)題意可得二元一次方程組為（）

（x+y—20（x+y—20x—y=20（2x—y=20

A。Ix=3yI2x=3y2x=3yI2x=x+3y

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)題意列二元一次方程組，能根據(jù)題意正確列出二元一次方程組是解答本題的關鍵.

根據(jù)大長方形的寬為20以及小長方形的長與寬之間的關系，即可得出關于x、y的二元一次方程組，此題得

解.

【詳解】解：依題意，得：｛xi=j/0-

故選：A.

7.（23-24七年級下?云南昆明?期末）如圖，在長為20,寬為15的長方形中，有形狀、大小完全相同的5個小

長方形，若求陰影部分的面積，應先求一個小長方形的面積，設小長方形的長為羽寬為力根據(jù)題意，下

列方程組正確的是（）

(x+2y=20[x+2y=20(x+2y=20[%+2y=20

A-t4%=15B.t4y=15C?[3y=xtx+y=15

【答案】C

【分析】此題考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，找對等量關系是列方程組的關鍵.根據(jù)圖形體現(xiàn)

的小矩形的長與寬的兩倍的和是15,長是寬的3倍，即可得到方程組.

【詳解】解：設小矩形的長為X,寬為y,

則可得｛匕*20,

故選：C.

8.（23-24七年級下?四川資陽?期末）幻方是古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一一

九宮格，將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和均相等，

圖是一個未完成的幻方，貝卜一y的值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

設圖中間的數(shù)為a,第三行第一個數(shù)字為b,根據(jù)每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等,

列出二元一次方程組，求出b=6,即可解決問題.

【詳解】解：設圖中間的數(shù)為a,第三行第一個數(shù)字為6,

由題意得：｛右對6上2*\2患，

由①得：x—y=2-b

由②得：%—y=h—10,

，2-b=b—l。,

解得：b=6

%—y=2—6=—4,

故選:B.

9.（23-24七年級下?湖南益陽?期末）如圖，規(guī)定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)、

對于％,y,m,n的取值，三人的說法如下.

甲；若％=1,則九=5；乙:若?71=5,則y=3；丙：％+y的值一定是2.

下列判斷正確的是（）

A.只有甲、乙對B.只有乙、丙對C.只有甲、丙對D.甲、乙、丙都對

【答案】D

【分析】此題主要考查了二元一次方程組，整式的加法，先用皿，n表示x,y的式子，結合m+n=8,逐一

判斷即可.

【詳解】解：由題意得｛W2孝端

②一①得2%=九一TH,解得

把％=3依代入①得一依+2y=TH,解得y=3m-n

4

n-m

X=――

所以33，

尸F(xiàn)

因為m+n=8,

甲：％=1時，771=71—2,解得九=5,正確；

乙：爪=5,則n=3,即）/=亨=與2=3,正確；

4q

-j-；n—m3m—n2n—2m+3m—nm+n8十"z.

丙：x+y=—+^—=---------=—=4=2o,正確;

故選：D.

12.（23-24七年級下,全國?期末）在長方形4BCD中放入六個完全相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則

小長方形的寬CE為___cm.

【分析】本題考查一元一次方程組的應用，解題的關鍵是找到等量關系列出方程組求解.

設小長方形的寬CE為xcm,小長方形的長是ycm,根據(jù)長方形2BCD的長和寬列出方程組｛6]辛二玄丫求

解.

【詳解】解：設小長方形的寬CE為xcm,小長方形的長是ycm,

根據(jù)圖形，大長方形的寬可以表示為6+2x,或者久+y,貝l]6+2x=x+y,

大長方形的長可以表示為3x+y,則3x+y=15,

,_9

（6+2x=x+y解徨x=7

I3x+y=15）解倚丫=電?

V4

故答案是：I

考點三：二元一次方程組的應用一方案問題

1L（24-25七年級上?寧夏中衛(wèi)?期末）中衛(wèi)七中組織七年級學生研學，原計劃租用45座客車若干輛，但有15

人沒有座位；如果租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛，且其余客車恰好坐滿.試問：

(1)七年級學生人數(shù)是多少？

(2)已知45座客車的日租金為每輛1000元，60座客車的日租金為每輛1200元，要使每位同學都有座位，該校

單獨租用哪種車更合算？

【答案】⑴240人

(2)單獨租用60座客車更合算

【分析】(1)設原計劃租用45座客車x輛，學生總人數(shù)為y人，根據(jù)"原計劃租用45座客車若干輛，但有

15個人沒座，若租用同樣數(shù)量的60座客車則多出一輛，其余客車恰好坐滿"，即可得出關于x、y的二元一

次方程組，解之即可得出結論；

(2)找出每個學生都有座位時需要租兩種客車各多少輛，由總租金=每輛車的租金X租車輛數(shù)分別求出租

兩種客車各需多少費用，比較后即可得出結論.

【詳解】(1)解：設原計劃租用45座客車x輛，學生總人數(shù)為y人，根據(jù)題意得：

(45x+15=y

160(%-l)=y'

解得：｛y=^40；

答：學生總人數(shù)為240人；

(2)解：只租用45座，需要6輛，費用：6X1000=6000(元)，

只租用60座，需要4輛，費用：4X1200=4800(元)，

■,-4800<6000,

???單獨租用60座客車更合算.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出二元一次方程

組；(2)求出租兩種客車各需多少費用.

12.(2024?貴州?模擬預測)北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十八號航天員乘組順利進駐中國空

間站與神舟十七號航天員乘組太空會師，載人飛船發(fā)射取得了圓滿成功！小星和小紅都是航天愛好者，他

們計劃購買甲、乙兩種飛船模型收藏.下面是兩位同學的對話:

I'小星:我買了1件甲種飛船小紅:我買了2件甲種飛船

4模型和1件乙種飛船模型，H模型和3件乙種飛船模型,

|I共花了40元.日共花了95元.

(1)求甲、乙兩種飛船模型每件的售價分別為多少元?

(2)若小星計劃正好用200元零花錢購買以上兩種飛船模型，且每種都有購買，請通過計算說明有多少種購

買方案.

【答案】⑴甲種飛船模型每件進價25元，乙種飛船模型每件進價15元

(2)有2種購買方案：①購進5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；②購進2件甲種飛船模型和10件乙

種飛船模型

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用及二元一次方程的正整數(shù)解的應用，找準等量關系列出二

元一次方程（組）是解題關鍵.

（1）設甲種飛船模型每件進價無元，乙種飛船模型每件進價了元，根據(jù)1件甲種飛船模型和1件乙種飛船

模型的售價共計40元，2件甲種飛船模型和3件乙種飛船模型的售價共計95元，建立二元一次方程組，解

之即可；

（2）設購進。件甲種飛船模型和6件乙種飛船模型，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，得到關于a、6的二元一次

方程，結合a、6是正整數(shù)即可得所有購買方案.

【詳解】（1）解：設甲種飛船模型每件的售價為x元，乙種飛船模型每件的售價為y元，

根據(jù)題意得｛2衰獷瑞,

X-25

解得

y-15

答：甲種飛船模型每件的售價為25元，乙種飛船模型每件售價為15元；

（2）解：設購買a件甲種飛船模型和6件乙種飛船模型，

根據(jù)題意得25a+15b=200,

???a=8—|b，

a,b均為正整數(shù)，

???當b=5時，a=5；

當b=10時，a=2,

...有2種購買方案如下：

①購買5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；

②購買2件甲種飛船模型和10件乙種飛船模型.

13.（23-24七年級下?天津南開?期末）用3輛/型車和2輛3型車載滿貨物一次可運貨17噸；用2輛/型

車和3輛2型車載滿貨物一次可運貨18噸，某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計劃同時租用/型車a輛，8型

車6輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物.根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）1輛A型車和1輛B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？

（2）若A型車每輛需租金200元/次，B型車每輛需租金220元/次，那么4型車租一輛最省錢，并且此時租車

費為一元.

【答案】（1）1輛A型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛8型車裝滿貨物一次可運4噸；

（2）2,1940.

【分析】本題主要考查了二元一次方程的應用，理解題意，弄清數(shù)量關系是解題關鍵.

（1）設每輛/型車、8型車都裝滿貨物一次可以分別運貨x噸、y噸，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求

解，即可獲得答案;

a-2-6

（2）結合題意和（1）得，3a+4b=34,易知a=*竺，結合a、b都是正整數(shù)，可確定b-7或fua-4

或｛1=?三種租車方案，分別計算三種租車方案的費用，比較即可獲得答案.

【詳解】(1)解：設每輛4型車、8型車都裝滿貨物一次可以分別運貨x噸、y噸，依題意列方程組得，

[3%+2y=17

｛2x+3y=18，

解得｛;二:

?-1輛A型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛8型車裝滿貨物一次可運4噸;

(2)解：結合題意和（1）得，3a+46=34,

34-46

a=——

???a、b都是正整數(shù),

UM或｛:CL=6―p.a=10

力=4或b=「

有3種租車方案:

方案一：/型車2輛,8型車7輛;

方案二：/型車6輛,8型車4輛;

方案三:/型車10輛,8型車1輛;

■■A型車每輛需租金200元/次，B型車每輛需租金220元/次,

???方案一需租金：

2X200+7X220=1940（元）;

方案二需租金：

6x200+4x220=2080（元）;

方案三需租金：

10x200+1x220=2220(元)；

???2220>2080>1940,

.??最省錢的租車方案是方案一：/型車租2輛，8型車租7輛，最少租車費為1940元，

故答案為：2,1940.

考點四：二元一次方程組的應用一行程問題

14.(23-24七年級下?全國?期中)已知/、3兩碼頭之間的距離為180km,一艘船航行于工、3兩碼頭之間,

順流航行需3小時；逆流航行時需6小時，求船在靜水中的速度及水流的速度？

【答案】船在靜水中的速度及水流的速度分別為45km/h、15km/h

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設船在靜水中的速度及水流的速度分別為xkm/h、ykm/h,則

順水速度為(x+y)km/h,逆水速度為(x—y)km/h,根據(jù)往返路程相等建立等量關系，求出其解就可以求

出結論.

【詳解】解：設船在靜水中的速度及水流的速度分別為xkm/h、ykm/h,由題意可得：

[3(%+y)=180

I6(x-y)=180'

解得比麋，

答：船在靜水中的速度及水流的速度分別為45km/h、15km/h.

15.(23-24七年級下?重慶黔江?期中)今年“五一黃金周”，長江三峽沿途旅游再一次風靡全國，其中忠縣石

寶寨風景區(qū)更是人山人海."聯(lián)盟號豪華旅游客輪”在相距約270千米的重慶、石寶寨兩地之間勻速航行，從

重慶到石寶寨順流航行需9小時，石寶寨到重慶逆流航行比順流航行多用4.5小時.

⑴求該客輪在靜水中的速度和水流速度；

⑵重慶某廠接到一筆1500盒旅游紀念品訂單，需要在15天內完成并送與游客，已知該種紀念品禮盒里有4

個正方形紀念幣和4個半圓形紀念幣.工廠現(xiàn)在有100名工人，每人每天能加工9個正方形紀念幣或6個

半圓形紀念幣，但每人一天只能加工一種紀念幣，工廠每天加工的正方形紀念幣和半圓形紀念幣數(shù)量正好

全部配套.工廠每天能生產(chǎn)多少盒紀念品禮盒？

【答案】⑴該客輪在靜水中的速度是25千米/小時，水流速度是5千米/小時；

(2)工廠每天能生產(chǎn)90盒紀念幣.

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，二元一次方程組的應用.

(1)設該客輪在靜水中的速度是x千米/小時，水流速度是y千米/小時，根據(jù)路程=速度X時間，即可得出

關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)設每天安排萬名工人生產(chǎn)正方體紀念幣，依題意得9%=6(100—X),解得即可.

【詳解】(1)解：設該客輪在靜水中的速度是x千米/小時，水流速度是y千米/小時，

依題意,得：卜9+噫婢二yj7270，

5

解得:{yV5,

答：該客輪在靜水中的速度是25千米/小時，水流速度是5千米/小時；

(2)解:設每天安排x名工人生產(chǎn)正方體紀念幣，則每天安排(100—x)名工人生產(chǎn)半圓形紀念幣，

依題意得9%=6(100—x),

解得：*=40,

則工廠每天能生產(chǎn)的紀念幣數(shù)為：9x40+4=90(盒)，

答：工廠每天能生產(chǎn)90盒紀念幣.

16.(23-24七年級下?四川資陽?期中)從甲地到乙地，先下山再走平路，某人騎自行車以每小時12千米的

速度下山，以每小時9千米的速度走平路，到達乙地共用55分鐘；他返回時，以每小時8千米的速度通過

平路，以每小時4千米的速度上山，共用1.5小時，求甲、乙兩地的距離.

【答案】甲、乙兩地的距離為9千米.

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，設平路為x千米，坡路為y千米，根據(jù)題意列出關于x,

y的二元一次方程組求解，最后把兩斷路程相加即可.

【詳解】解：設平路為x千米，坡路為y千米，

g+2=更

根據(jù)題意，得二6g,

q+L*

解得:｛：：￡，

..x+y=9,

二甲、乙兩地的距離為9千米.

考點五：二元一次方程組的應用一工程問題

17.（23-24七年級下?吉林?期末）為完善吉林市城市路網(wǎng)結構，營造便捷通暢的城市道路系統(tǒng)，提升城市面

貌惠及民生，2024年5月起，吉林市各道路維修改造工程有序進行.已知甲工程隊1天，乙工程隊2天共修路

400米；甲工程隊2天，乙工程隊3天共修路700米，求甲乙兩工程隊每天分別修路多少米？

【答案】甲工程隊每天修路200米，乙工程隊每天修路100米

【分析】根據(jù)題意設甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米列方程解答即可.本題考查了二元一次

方程組與實際問題，審清題意列出二元一次方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米，根據(jù)題意得，

（x+2y=400①

I2x+3y=700②‘

解得:｛：：船

答：甲工程隊每天修路200米，乙工程隊每天修路100米.

18.（23-24七年級下?山東聊城?期末）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成,

需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元.

⑴求甲、乙裝修組工作一天，商店各需支付多少元費用？

（2）若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合

做，你認為如何安排施工更有利于商店經(jīng)營？說明理由.

【答案】⑴甲組工作一天商店應支付300元，乙組工作一天商店應支付140元

⑵安排甲乙合作施工更有利于商店經(jīng)營，理由見解析

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據(jù)等量關系列出方程.

（1）設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，根據(jù)甲、乙兩個裝修組同時施工，8天

可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用

3480元，列出方程組，解方程組即可；

（2）分別求出三種情況下的費用，然后進行比較得出答案即可.

【詳解】（1）解：設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，

依題意得：因搗常8°0,

解得:席鬻

所以，甲組工作一天商店應支付300元，乙組工作一天商店應支付140元.

（2）解：設甲、乙裝修組的工作效率分別為機，”，

由題意得{薰;得1，

m=—1

解得：F,

n=一

24

所以，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要24天.

選擇①所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為：（300+200）x12=6000（元）；

選擇②所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為：（140+200）x24=8160（元）；

選擇③所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為：（300+140+200）x8=5120（元）.

因為5120<6000<8160,所以，安排甲乙合作施工更有利于商店經(jīng)營.

19.（23-24七年級下?內蒙古鄂爾多斯?期中）古運河是揚州的母親河.為打造古運河風光帶，現(xiàn)有一段長為

180米的河道整治任務由/、8兩工程隊先后接力完成./工程隊每天整治12米，8工程隊每天整治8米,

共用時20天.

⑴根據(jù)題意，甲、乙兩名同學分別列出尚不完整的方程組如下:

:x+y=()

甲:12%+8y=()，乙，聯(lián)+/()

根據(jù)甲、乙兩名同學所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)x、y表示的意義，然后在括號內補全甲、乙兩名

同學所列的方程組：

甲：x表布，y表?。?/p>

乙：x表小，y表示.

（2）求/、5兩工程隊分別整治河道多少米.（寫出完整的解答過程）

【答案】（1）補全方程組見解析；/工程隊用的時間，8工程隊用的時間；/工程隊整治河道的米數(shù)，8工程

隊整治河道的米數(shù)；

（2M工程隊整治河道60米，B工程隊整治河道120米.

【分析】此題主要考查二元一次方程組的應用.

（1）此題蘊含兩個基本數(shù)量關系：/工程隊用的時間+8工程隊用的時間=20天，4工程隊整治河道的米

數(shù)+B工程隊整治河道的米數(shù)=180,由此進行解答即可；

（2）選擇其中一個方程組解答解決問題.

【詳解】（1）解：甲同學：設/工程隊用的時間為無天，3工程隊用的時間為y天，由此列出的方程組為

{x+y—20

112%+8y=180;

乙同學：/工程隊整治河道的米數(shù)為x,8工程隊整治河道的米數(shù)為y,由此列出的方程組為

（x+y=180

二+“20；

1128

故答案為：/工程隊用的時間，8工程隊用的時間；N工程隊整治河道的米數(shù)，8工程隊整治河道的米數(shù)；

（2）解：選甲同學所列方程組解答如下：

（x+y=20（1）

112%+8y=180（2）,

②一①X8得4x=20,

解得x=5,

把x=5代入①得y=15,

所以方程組的解為｛J二2,

/工程隊整治河道的米數(shù)為：12x=60,

2工程隊整治河道的米數(shù)為：8y=120；

答：“工程隊整治河道60米，2工程隊整治河道120米.

選乙同學所列方程組解答如下：

由題思可得，_L+上=20，

1128

解得｛彳罌，

答：N工程隊整治河道60米，8工程隊整治河道120米.

20.(22-23八年級上?廣東深圳?期末)玲玲家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需6周完

成，共需裝修費為5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修

費4.8萬元，玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個公司單獨完成.

⑴設甲公司的每周工作效率為〃?，乙公司每周的工作效率為〃，則可列出方程為_.

(2)如果從節(jié)約時間的角度考慮應選哪家公司？

⑶如果從節(jié)的開支的角度考慮呢？請說明理由.

【答案】⑴]=:

(4m+9n=1

(2)時間上考慮選擇甲公司

⑶從節(jié)約開支上考慮選擇乙公司，理由見解析

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關鍵.

(1)設工作總量為1,設甲公司的每周工作效率為加，乙公司每周的工作效率為〃，根據(jù)工作總量等于工

作效率乘以工作時間列出方程即可求解.

(2)列出方程組求出甲乙單獨做所用的時間，然后比較大小，進行作答即可；

(3)列出方程組求出各自單獨做的周費用，再乘以他們所需時間計算總費用，然后比較大小，進行作答即

可.

【詳解】(1)解：設工作總量為L甲公司的每周工作效率為加，乙公司每周的工作效率為"，

依題意得,

(4m+9n=1

故答案為：(山+:=;.

(4m+9九=1

(2)解：設工作總量為1,甲公司的每周工作效率為加，乙公司每周的工作效率為",

m+n=-

依題意得,6

4m+9n=1

1

m=—

解得:_孔

n—15

11

???甲公司的效率高,

.?.從時間上考慮選擇甲公司.

（3）解：從節(jié)約開支上考慮選擇乙公司，理由如下;

設甲公司每周費用為a萬元，乙公司每周費用為b萬元,

依題意得,｛町第:猛

3

-

得

解5

4

-

15

???甲公司共需5xio=y=6萬元，乙公司共需於xl5=4萬元，

,?,4<6,

.??從節(jié)約開支上考慮選擇乙公司.

考點六：二元一次方程組的應用一數(shù)字問題

21.（23-24七年級下?全國?期中）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9,把這個兩位數(shù)加上

16后，比十位數(shù)字大49,求這個兩位數(shù)？

【答案】36

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為％,個位數(shù)字為y,根據(jù)"一個兩位

數(shù)，個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9,把這個兩位數(shù)加上16后，比十位數(shù)字大49”列出二元一次方

程組即可，理解題意，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解此題的關鍵.

【詳解】解：設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為X,個位數(shù)字為y,

由題意可知：｛10X+；"61X+49，

解得:｛；￡，

答：這個兩位數(shù)為36.

22.（24-25七年級上?天津?期中）"九宮圖"傳說是遠古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱"龜背圖〃,

中國古代數(shù)學史上經(jīng)常研究這一神話.數(shù)學上的"九宮圖”所體現(xiàn)的是一個3X3表格，每一行的三個數(shù)，列

的三個數(shù),斜對角的三個數(shù)之和都相等,也稱為三階幻方,如圖是一個滿足條件的三階幻方的一部分,貝反+y

的值為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用.根據(jù)九宮圖的填法，每一行的三個數(shù)、每列的三個數(shù)、

斜對角的三個數(shù)之和都相等，列出方程組，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意得：

f0+久+(—5)=0+(—l)+y

10+x+(—5)—3+(—1)+(—5)*

解得：｛y^2，

?■?x+y=2+(—2)=0,

故選擇：A

23.(2021?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作，其中一次方

程組是用算籌布置而成，如圖(1)所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組表示出來，就是

+='類似的，圖⑵所示的算籌圖用方程組表示出來，就是.

IIIII-TIII-II

I川1=WWHU二T

圖(1)圖(2)

r卷安】［2%+y=12

1口水】14%+3y=26

【分析】先根據(jù)例子和圖(2)列出二元一次方程組并求解即可.

【詳解】解：由圖1可得，第一列為x的系數(shù)、第二列為丁的系數(shù)，第三列和第四列為方程右邊的常數(shù)，且

前兩列一豎表示1,第三列一橫表示10,第四列一豎表示1,一橫表示5

則根據(jù)圖2可得：管：獲垓.

柏埴12x+y=12

取工具+3y=26?

【點睛】本題考查了列二元一次方程組，審清題意、明確圖1各符號的含義成為解答本題的關鍵.

24.(23-24七年級下?浙江寧波?期末)我國南宋數(shù)學家楊輝在其所著《續(xù)古摘奇算法》中的攢九圖一節(jié)中提

出了"幻圓"的概念.如圖是一個二階幻圓模型，其內外兩個圓周上四個數(shù)字之和以及外圓兩直徑上的四個數(shù)

字之和都相等，貝必一a=

【答案】3

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，正確理解題意列出對應的方程組求解是解題的關鍵.根

據(jù)內外兩個圓周上四個數(shù)字之和以及外圓兩直徑上的四個數(shù)字之和都相等列出方程組求解即可.

a+l+5+4=2+3+b+c

【詳解】解：由題意得,l+2+b+4=a+3+c+5'

兩式相加得：2b—2a=6

b—a=3,

故答案為：3.

考點七：二元一次方程組的應用一年齡問題

25.（23-24七年級下?河南洛陽?期中）某學生想知道李老師的年齡，李老師說："我像你這么大時，你才2

歲，你長到我這么大時，我就35歲了."請你算一算，今年李老師、該學生各多少歲.

【答案】今年李老師24歲，該學生13歲

【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用，理解題意設該學生今年x歲，李老師今年y歲，則根據(jù)該學

生和李老師的年齡差不變，建立方程組求解即可.

【詳解】解：設該學生今年x歲，李老師今年y歲，則

相據(jù)該學生和李老師的年齡差不變，

可得｛JX蒸二：

解得第虻

答：今年李老師24歲，該學生13歲.

26.（23-24七年級下?山西臨汾?期中）根據(jù)圖中的對話，請聰明的你算出小亮今年的年齡.

【答案】小亮今年的年齡為8歲

【分析】本題主要考查了二元一次方程的應用，理解題意，弄清數(shù)量關系是解題關鍵.設小亮今年的年齡

為尤歲，爸爸今年的年齡為y歲，根據(jù)題意列出方程并求解，即可求解.

【詳解】解：設小亮今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲

由題意可得：｛、*患竇5）

解得：—

答：小亮今年的年齡為8歲.

27.（23-24七年級上?福建三明?期中）在我國傳統(tǒng)文化中，"喜壽"、"米壽"、"白壽"分別是77歲、88歲、99

歲的雅稱.小花在她年齡是她媽媽年齡的取寸，曾為奶奶賀喜壽，她在年齡為媽媽年齡的!時，又為奶奶賀米

壽，則小花在歲時，將為奶奶賀白壽.

【答案】33

【分析】本題考查二元一次方程組的應用，設小花為奶奶賀喜壽時年齡為萬歲，此時媽媽的年齡為y歲，奶

奶的年齡為77歲，根據(jù)"喜壽"、"米壽"、"白壽"代表的年齡和小花與媽媽年齡的關系列出方程組.

【詳解】解：設小花為奶奶賀喜壽時年齡為X歲，此時媽媽的年齡為y歲，奶奶的年齡為77歲，

1

根據(jù)題意得:

x+88-77=1（y+88-77）

解得:6=33

二當奶奶99歲時，小花的年齡為11+（99-77）=33,

二小花33歲時將為奶奶賀白壽，

故答案為：33.

28.（21-22七年級下?云南?期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復辦學

40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學興趣小組的小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是

云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95,而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)?/p>

年齡小40.已知小明今年13歲，妹妹今年4歲.

⑴求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）

（2）假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學子？

【答案】⑴爸爸36歲，爺爺76歲

（2）爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學子

【分析】（1）設今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)"爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的

和為95,而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40〃列出二元一次方程組求解即可.

（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案.

【詳解】（1）設今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲.

解得：{丁斐

答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；

（2）2022-36+15=2001（年）

2022-76+15=1961（年）

小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學子.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，正確找出等量關系是解答本題的關鍵.

考點八：二元一次方程組的應用一分配問題

29.（23-24七年級下?遼寧大連?期末）為了響應國家"脫貧致富"的號召，某煤炭銷售公司租用了甲、乙兩種

類型的貨車若干輛為貧困地區(qū)運輸了880噸的煤炭，已知每輛甲類型貨車運輸煤炭40噸，每輛乙類型貨車

運輸煤炭50噸，所有甲類型貨車運輸?shù)拿禾勘人幸翌愋拓涇囘\輸?shù)拿禾慷?0噸，求煤炭銷售公司租用

甲乙兩種類型貨車各多少輛？

【答案】租用甲種類型貨車12輛，乙種類型貨車8輛

【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用，設租用甲種類型貨車X輛，設租用乙種類型貨車y輛，利用

每輛甲類型貨車運輸煤炭40噸，每輛乙類型貨車運輸煤炭50噸，所有甲類型貨車運輸?shù)拿禾勘人幸翌?/p>

型貨車運輸?shù)拿禾慷?0噸，再建立方程求解即可；

【詳解】解：設租用甲種類型貨車萬輛，設租用乙種類型貨車y輛，

制（40%+50y=880

見：l40x-50y=80

解得:{ylV，

答：租用甲種類型貨車12輛，乙種類型貨車8輛.

30.（23-24七年級下?湖北襄陽?期末）據(jù)資料統(tǒng)計，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1：2,現(xiàn)要把一

塊長200m、寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物，怎樣劃分這塊土地，

使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是2：1?請你設計兩種不同的種植方案.

圖1圖2

【答案】見解析

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用.先設計出兩種方案圖，然后根據(jù)甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的

比是2：1列出方程組，求出方程的解即可.

【詳解】解：方案L如圖①，將長方形2BCD分割為兩個長方形4BEF和長方形EFDC,

FD

EC

圖①

設4F=x米，DF=y米,

所以，過長方形土地BC邊長上離B一端160米處畫一條垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地，較大的一塊

種甲種作物，較小的一塊種乙種作物.

方案2：如圖②，將長方形4BCD分割為兩個長方形2MND和長方形MBCN,

MN

BC

圖②

設2M=a米，=b米，由題意得,

Ia+b=100'畔何匕=20?

所以，過長方形土地4B邊長上離/一端80米處畫一條垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地，較大的一塊

種甲種作物，較小的一塊種乙種作物.

31.（23-24七年級下?山東淄博,期中）用白鐵皮做罐頭盒，每張白鐵皮可制作盒身16個，或盒底48個，一

個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒.現(xiàn)有15張白鐵皮用于制作盒身和盒底，問可以恰好配成多少套罐頭

合2

【答案】144套

【分析】此題考查了二元一次方程組的應用，設用來制盒身的鐵皮為萬張，用來制盒底的鐵皮為y張，根據(jù)

每張白鐵皮可制作盒身16個，或盒底48個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒.列出方程組，解方程

組即可得到答案.

【詳解】解：設用來制盒身的鐵皮為X張，用來制盒底的鐵皮為y張，根據(jù)題意，

f%+y=15,

1寸12X16%=48y,

MJ=6

???16%=16x9=144

答：可以恰好配成144套罐頭盒.

32.（23-24七年級下?江蘇南通?