2024-2025學(xué)年山西省高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題—、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】含量詞的命題的否定是換量詞，否定結(jié)論，故其否定為．故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以，故選：C.3.已知扇形的圓心角為，其弧長(zhǎng)為，則此扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由弧度制定義，該扇形的半徑為，所以該扇形的面積為.故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由，解得，所以“”不是“”的充分條件；若，則，故“”是“”的必要條件，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.5.已知函數(shù)，若，則（）A.－3 B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以，解得，所以，，故選：B.6.已知為銳角，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，所以故選：A.7.已知函數(shù)若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，故選：A.8.某同學(xué)在查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式“，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立”．借助該不等式，解答問(wèn)題：對(duì)恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)，恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以，所以．即正數(shù)的取值范圍為．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，兩邊同乘以，因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)，得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，由不等式的性質(zhì)，得，所以，故B正確；對(duì)于C，，由題意知，且，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：AB.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞增B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于的方程在上有2個(gè)相異實(shí)根D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】由的圖象得，，，所以，故，由，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，又，故A正確；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以由圖象知，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故C正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，顯然為奇函數(shù)，故D正確．故選：ACD.11.狄利克雷函數(shù)是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷給出的一個(gè)函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)的論述正確的是（）A.B.方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解C.D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，所以，若，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，所以任意有理數(shù)皆為方程的解，故B正確；對(duì)于C，若，則，若，則，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，所以，若，則，所以，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，所以．故答案為：.13.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值域?yàn)開(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以值域?yàn)?，故答案為?14.如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)，由題意知，當(dāng)與重合時(shí)，由，得，當(dāng)與重合時(shí)，同理可得，所以，因?yàn)樗缘闹荛L(zhǎng)，令，因，所以，又，所以，且，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知．（1）求；（2）求．解：（1）因?yàn)?，所以，所以．?）.16.已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為開(kāi)區(qū)間，集合．（1）求；（2）若區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，且在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，即．因?yàn)?，所以，由，得，所以，所?（2）因?yàn)閰^(qū)間，所以解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．17.2024年新能源汽車(chē)的滲透率已超過(guò)，為解決新能源汽車(chē)的充電問(wèn)題，某新能源公司投資300萬(wàn)元用于充電樁項(xiàng)目，調(diào)研發(fā)現(xiàn)且年內(nèi)該項(xiàng)目的總維護(hù)費(fèi)用為萬(wàn)元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來(lái)200萬(wàn)元的收入.設(shè)第且年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)（純利潤(rùn)＝累計(jì)收入－累計(jì)維護(hù)費(fèi)用－投資成本）為萬(wàn)元．已知到第3年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)為99萬(wàn)元．（1）求的解析式；（2）到第幾年年底，該項(xiàng)目的年平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)純利潤(rùn)年數(shù)）最大？并求出最大值．解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以且．（2）設(shè)平均利潤(rùn)為萬(wàn)元，則且，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以到第6年年底，該項(xiàng)目的平均利潤(rùn)最大，最大值為56萬(wàn)元.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解方程；（2）若對(duì)，函數(shù)在區(qū)間上總有意義，且最大值與最小值的差不小于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以可化為，即，所以，或，所以，或，即方程的解為或．（2）因?yàn)閷?duì)在上總有意義，所以對(duì)在上恒成立．令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，即，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，由題意知，即，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.雙曲函數(shù)是一種重要的函數(shù)，在物理學(xué)，工程學(xué)以及數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用.例如，在描述懸鏈線的形狀，解決某些類(lèi)型的微分方程時(shí)，都會(huì)用到雙曲函數(shù)．最基本的雙曲函數(shù)有雙曲正弦函數(shù)：和雙曲余弦函數(shù)：．（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)，關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）證明：由題意可得.（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）解：因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于，所以，因?yàn)殛P(guān)于的方程，即有解，所以，即恒成立，由（2）知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，所以，即的取值范圍為．山西省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題—、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】含量詞的命題的否定是換量詞，否定結(jié)論，故其否定為．故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以，故選：C.3.已知扇形的圓心角為，其弧長(zhǎng)為，則此扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由弧度制定義，該扇形的半徑為，所以該扇形的面積為.故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由，解得，所以“”不是“”的充分條件；若，則，故“”是“”的必要條件，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.5.已知函數(shù)，若，則（）A.－3 B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，解得，所以，，故選：B.6.已知為銳角，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，所以故選：A.7.已知函數(shù)若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，故選：A.8.某同學(xué)在查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式“，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立”．借助該不等式，解答問(wèn)題：對(duì)恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)，恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以，所以．即正數(shù)的取值范圍為．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，兩邊同乘以，因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)，得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，由不等式的性質(zhì)，得，所以，故B正確；對(duì)于C，，由題意知，且，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：AB.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞增B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于的方程在上有2個(gè)相異實(shí)根D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】由的圖象得，，，所以，故，由，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，又，故A正確；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋杂蓤D象知，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故C正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，顯然為奇函數(shù)，故D正確．故選：ACD.11.狄利克雷函數(shù)是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷給出的一個(gè)函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)的論述正確的是（）A.B.方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解C.D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，所以，若，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，所以任意有理數(shù)皆為方程的解，故B正確；對(duì)于C，若，則，若，則，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，所以，若，則，所以，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，所以．故答案為：.13.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值域?yàn)開(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以值域?yàn)?，故答案為?14.如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)，由題意知，當(dāng)與重合時(shí)，由，得，當(dāng)與重合時(shí)，同理可得，所以，因?yàn)樗缘闹荛L(zhǎng)，令，因，所以，又，所以，且，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知．（1）求；（2）求．解：（1）因?yàn)?，所以，所以．?）.16.已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為開(kāi)區(qū)間，集合．（1）求；（2）若區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，且在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，即．因?yàn)椋?，由，得，所以，所?（2）因?yàn)閰^(qū)間，所以解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．17.2024年新能源汽車(chē)的滲透率已超過(guò)，為解決新能源汽車(chē)的充電問(wèn)題，某新能源公司投資300萬(wàn)元用于充電樁項(xiàng)目，調(diào)研發(fā)現(xiàn)且年內(nèi)該項(xiàng)目的總維護(hù)費(fèi)用為萬(wàn)元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來(lái)200萬(wàn)元的收入.設(shè)第且年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)（純利潤(rùn)＝累計(jì)收入－累計(jì)維護(hù)費(fèi)用－投資成本）為萬(wàn)元．已知到第3年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)為99萬(wàn)元．（1）求的解析式；（2）到第幾年年底，該項(xiàng)目的年平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)純利潤(rùn)年數(shù)）最大？并求出最大值．解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以且．（2）設(shè)平均利潤(rùn)為萬(wàn)元，則且，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以到第6年年底，該項(xiàng)目的平均利潤(rùn)最大，最大值為56萬(wàn)元.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解方程；（2）若對(duì)，函數(shù)在區(qū)間上總有意義，且最大值與最小值的差不小于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以可化為，即，所以，或，所以，或，即方程的解為或．（2）因?yàn)閷?duì)在上總有意義，所以對(duì)在上恒成立．令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，即，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，由題意知，即，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.雙曲函數(shù)是一種重要的函數(shù)，在物理學(xué)，工程學(xué)以及數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用.例如，在描述懸