大學(xué)物理-波動

第二篇振動與波第1頁第五章波動5.1機械波產(chǎn)生和傳輸

彈性媒質(zhì)和波源——（機械波產(chǎn)生條件）彈性媒質(zhì)：相鄰媒質(zhì)質(zhì)元間由彈性力相互聯(lián)絡(luò)。波源：作機械振動振源。波源處質(zhì)點振動經(jīng)過彈性介質(zhì)中彈性力，將振動傳輸開去，從而形成機械波。

波動是振動狀態(tài)傳輸，是能量傳輸，而不是質(zhì)點傳輸。機械振動在彈性媒質(zhì)中傳輸一涉及描述波幾個相關(guān)概念（1）機械波：第2頁(1)質(zhì)元并未“隨波逐流”波傳輸不是媒質(zhì)質(zhì)元傳輸(2)

“上游”質(zhì)元依次帶動“下游”質(zhì)元振動第3頁軟繩軟彈簧波傳輸方向質(zhì)點振動方向波傳輸方向質(zhì)點振動方向在機械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵新暡ㄊ强v波。液體表面波動情況較復(fù)雜，不是單純縱波或橫波。橫波：縱波第4頁地震波

地震波從震源以彈性波形式向四面八方傳輸。地震波在地球內(nèi)部傳輸時稱為體波，當(dāng)它抵達地表，即產(chǎn)生沿地表（界面）傳輸波，稱為面波。

地震波在地球內(nèi)部（體波）傳輸有縱波（P

波）和橫波（S

波）兩種形式，而且縱波（P波）傳輸速度比橫波（S波）傳輸速度快（前者速度在地殼內(nèi)是

5km/s，在地幔深處是14km/s，而后者速度是

3km/s～8km/s）。

當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時，假如人站在震源正上方地面上，會感覺到先上下顛（縱波引發(fā)感覺）然后橫向搖（橫波引發(fā)感覺）。隨堂小議地球內(nèi)部地震波速度分布圖

橫波是地震時造成建筑物破壞主要原因。發(fā)生較大近震時，普通人們先感到上下顛簸，過數(shù)秒到十幾秒后才感到有很強水平晃動。第5頁地震縱波和橫波間時間差—自救時間

日本“（年）新潟縣中越地震”。在地震中，新干線發(fā)生了脫軌事故，這是日本新干線開通40年以來首次，為此日本輿論普遍對新干線應(yīng)對地震等突發(fā)災(zāi)害時安全性提出了質(zhì)疑。地震時，縱波總是先抵達地表，而橫波總落后一步。這么，發(fā)生較大近震時，普通人們先感到上下顛簸，過數(shù)秒到十幾秒后才感到有很強水平晃動。這一點非常主要，因為縱波給我們一個警告，告訴我們造成建筑物破壞橫波馬上要到了，快點作出防范。據(jù)稱日本新干線所采取系統(tǒng)會讓列車在地震發(fā)生時，利用地震縱波和橫波間時間差自動停頓運行，不過，因為此次新潟地震屬于縱波和橫波幾乎同時到來直下型淺源地震，所以在列車制動前地震就已襲來，日本新干線相關(guān)責(zé)任人對于今后怎樣應(yīng)對仍未想出最好方法。第6頁波線：沿波傳輸方向作一些帶箭頭線。波線指向表示波傳輸方向。波陣面：在波動過程中，把振動相位相同點連成面(簡稱波面)。波前：在任何時刻，波面有沒有數(shù)多個，最前方波面即是波前。波前只有一個。平面波：波面為平面球面波：波面為球面3.波陣面和波射線平面波波線波陣面球面波波陣面波線第7頁14710132356891112第8頁波特征：（1）：波是大量媒質(zhì)質(zhì)元集體行為?！獑挝粫r間內(nèi)質(zhì)點振動次數(shù)。周期—頻率媒質(zhì)中質(zhì)點振動周期。二波特征量—波長

波速

頻率振幅（2）：波含有時間周期性。（3）：波含有空間周期性。第9頁——沿波傳輸方向，兩個最鄰近振動狀態(tài)相同質(zhì)元間距離。稱為波長，用表示。波長:(1）一個完整波長度(2)質(zhì)元完成一次全振動時間內(nèi),振動朝前傳輸距離（3）位相差兩點間距離—振動朝前傳輸速度質(zhì)元振動速度波速沿波傳輸方向,各質(zhì)元相位依次落后。b點比a點相位落后：ab

xx傳輸方向主要結(jié)論！第10頁能夠證實：對于柔軟繩索和弦線中橫波波速為

T為繩索或弦線中張力;為質(zhì)量線密度細長棒狀媒質(zhì)中縱波波速為Y為媒質(zhì)楊氏彈性模量;為質(zhì)量密度機械波傳輸速度完全取決于媒介質(zhì)彈性性質(zhì)和密度。與頻率，波長，振幅無關(guān)第11頁5.2平面簡諧波波動方程以橫波為例說明平面簡諧波波動方程。已知O點振動方程：一波動方程取得平面簡諧波波動方程第12頁也即p點位相落后于O點相位：。（1）（2）波源帶動彈性媒質(zhì)中與其相鄰質(zhì)點發(fā)生振動，振動相繼傳輸?shù)胶竺娓飨噜徺|(zhì)點，其振動時間和相位依次落后。平面簡諧波波動表式第13頁沿x

軸負(fù)方向傳輸平面簡諧波表示式O

點簡諧運動方程：由P

點振動得到波動表示式：yxo沿波傳輸方向,各質(zhì)點振動時間和相位依次落后第14頁（1）A點速度大于零；（2）B點靜止不動；（3）C點向下運動；（4）D點振動速度小于零。請指出你認(rèn)為是正確答案

以波速

u沿

X

軸負(fù)向傳輸簡諧波

t

時刻波形以下列圖隨堂小議OXYuABCD

A點向下運動，

y<0；速度小于零。D點向下運動，

y<0；速度小于零。

ABCD第15頁例一ＳＯＸP已知：解：第16頁例二已知：解：sＸoP（x）第17頁二波動方程物理意義（1）給定x，波動方程給出該處質(zhì)元振動方程。（2）給定t，波動方程給出該時刻各質(zhì)元離開平衡位置位移分布情況，即該時刻波形圖。（3）t和x都變，波動方程給出任意質(zhì)元在任意時刻t位移。即給出波形隨時間而改變情況。第18頁解：（1）xoP例三：已知：求（1）：波動方程，

時波形。（2）第19頁（2）o第20頁例：有一沿x軸正向傳輸平面波，其波速為u=1m·s-1，波長

=0.04m，振幅A=0.03m．若以坐標(biāo)原點恰在平衡位置而向負(fù)方向運動時作為開始時刻，試求：此平面波波動表示式。解：（1）設(shè)原點振動方程為其中A=0.03mT=

/u=0.04(s)，

=2

/T=50

當(dāng)t=0時，y0=0，所以：cos

=0；原點振動方程：平面波波動表示式：因為質(zhì)點速度小于零，所以

=

/2第21頁解：o例已知：,沿X軸負(fù)向傳輸,求：振幅，波長和波周期、波動方程

t=0波形如圖所表示。設(shè)波動方程:第22頁o設(shè)波動方程:第23頁彈性波傳輸?shù)浇橘|(zhì)中某處，該處將含有動能和勢能。在波傳輸過程中，能量從波源向外傳輸?？紤]棒中體積

V，其質(zhì)量為

m

(m=

V)。當(dāng)波動傳輸?shù)皆擉w積元時，將含有動能Wk和彈性勢能Wp。平面簡諧波能夠證實§5-3波能量與能流1.波能量體積元總機械能第24頁⑴由動能、勢能公式來看，波在傳輸過程中任一質(zhì)元動能和勢能都隨時間改變，且在同一時刻，位相相同，大小相等。既動能到達最大值時，勢能也到達最大；動能為零時，勢能也為零。a點：位移最大處，動能為零；沒有形變，形變勢能為零。b點：位移為零處，動能最大；形變最大，形變勢能最大。討論:介質(zhì)質(zhì)元（

m

=

V）機械能波動能量與振動能量是有區(qū)分。第25頁因為彈簧振子是保守孤立系統(tǒng)，而波傳輸過程中,質(zhì)元卻與周圍介質(zhì)有相互作用。⑵質(zhì)元機械能不是常量，而是隨時間作周期性改變，這與彈簧振子總機械能是一常數(shù)不一樣。整個過程，介質(zhì)不積累能量。所以波傳輸過程也是能量傳輸過程。⑶質(zhì)元能量由0

逐步增加為

m

2A2，表明該質(zhì)元從外部吸收能量；由

m

2A2逐步降低為0，表明該質(zhì)元向外部輸出能量。體積元總機械能第26頁能量密度：2.

能量密度（單位體積媒質(zhì)中波能量）T平均能量密度：第27頁能流在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時間內(nèi)經(jīng)過S

能量。平均能流：平均能流密度(波強度)

經(jīng)過與波傳輸方向垂直單位面積平均能流，用I

來表示，即3.波強度I單位:瓦特/米2(W.m-2)第28頁對于球面波,若介質(zhì)不吸收能量經(jīng)過兩球面總能流相等在均勻不吸收能量媒質(zhì)中傳輸平面波在行進方向上振幅不變。球面波振幅與離波源距離成反比第29頁4.聲波按頻率范圍劃分：次聲波f<20Hz

聲波20<f<0Hz超聲波f>0Hz聲強是聲波平均能流密度，即單位時間內(nèi)經(jīng)過垂直于聲波傳輸方向單位面積聲能量。痛覺閾：恰好能引發(fā)痛覺最低聲強。聽覺閾：恰好能引發(fā)聽覺最低聲強。聲強上下限值隨頻率而異。在1000Hz時，正常人聽覺最高聲強為1W/m2,最低聲強為10-12W/m2。將I0=10-12W/m2作為測定聲強標(biāo)準(zhǔn)。聲強級單位為貝爾（bel）單位為分貝（dB），幾個經(jīng)典聲音聲強級：細語—10dB炮聲聲強級—110dB聚焦超聲波聲強級—210dB第30頁聲波在理想氣體中傳輸速度

：氣體摩爾質(zhì)量

：氣體比熱容比T：氣體溫度（K）R：氣體常量

對同種氣體、在同一狀態(tài)下，各種不一樣頻率聲波傳輸速度相同。標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣中聲速常溫下（20℃)

空氣中聲速常溫下一些媒質(zhì)中聲速鉛1300

海水1510鐵5000玻璃6000(m·s–1)媒質(zhì)聲速聲波在媒質(zhì)中傳輸速度。聲速與媒質(zhì)特征和媒質(zhì)溫度相關(guān)。聲速第31頁例:用聚焦超聲波方式，能夠在液體中產(chǎn)生強度達120kW/cm2大振幅超聲波。設(shè)波源作簡諧振動，頻率為500kHz，液體密度為1g/cm3，聲速為1500m/s，求這時液體質(zhì)點振動振幅。解因I=uA2

2/2，所以可見液體中聲振動振幅實際上是極小。第32頁5.波疊加與干涉駐波前面我們僅討論了一列波在介質(zhì)傳輸情況，假如有幾列波同時在同一介質(zhì)中傳輸時而又相遇會怎么樣？波獨立傳輸定律當(dāng)幾列波同時在同一介質(zhì)中傳輸時，它們是各自獨立地進行，與其它波存在是否無關(guān)。如樂隊合奏、二重唱，空中無線電波很多(仍能分別接收各個電臺)

。假如這幾列波在空間某點處相遇，那么每一列波都將獨立地保持自己原有特征(頻率、波長、振動方向等)傳輸。1.波疊加第33頁水滴圓形獨立傳輸春意盈盈，細雨綿綿。第34頁在幾列波相遇處，質(zhì)元振動是各列波單獨傳輸時在該處引發(fā)振動合成。（2）波疊加性。2.波干涉（1）相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定相干波：滿足相干條件幾列波稱為相干波。能發(fā)出相干波波源稱為相干波源。第35頁A2()A1()A()Pr1r221ss（2）干涉定量分析兩個相干波源波源S1和S2振動方程分別為：S1和

S2單獨存在時,在P點引發(fā)振動方程為:P點合振動方程為:振幅A第36頁振幅A（合振幅最大）（合振幅最小）若

10=

20，上述條件簡化為：（合振幅最大）（合振幅最小）波程差波程差第37頁因若I1=I2，疊加后波強度：同頻率、同方向、相位差恒定兩列波,在相遇區(qū)域內(nèi),一些位置振動一直加強,另一些位置振動一直減弱,強度在空間形成穩(wěn)定分布，這一現(xiàn)象稱為波干涉。干涉現(xiàn)象強度分布第38頁同頻率、同方向、相位差恒定兩列波,在相遇區(qū)域內(nèi),一些位置振動一直加強,另一些位置振動一直減弱,強度在空間形成穩(wěn)定分布，這一現(xiàn)象稱為波干涉。第39頁例：兩相干波源S1與S2相距5m，其振幅相等，頻率都是100Hz，位相差為

；波在媒質(zhì)中傳輸速度為400m·s-1，試以S1

S2連線為坐標(biāo)軸x，以S1

S2連線中點為原點，求S1

S2間因干涉而靜止各點坐標(biāo)。解：已知S2在其左側(cè)產(chǎn)生左行波波動方程為:兩個振動相差為:設(shè)：S1在其右側(cè)產(chǎn)生右行波波動方程為:xS1xS2OP第40頁當(dāng)

φ=

(2k+1)

時，質(zhì)點因為兩波干涉而靜止，靜止點為x=2k，k為整數(shù)，但必須使x值在-l/2到l/2之間，即-2.5到2.5之間．當(dāng)k=-1、0和1時，可得靜止點坐標(biāo)為x=-2、0和2(m)

兩個振動相差為:xS1S2OP第41頁兩列振幅相等相干波，在同一直線上相向傳輸時所產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。三駐波(一個特殊干涉現(xiàn)象)

1駐波概念設(shè)有兩列相干波，分別沿X軸正、負(fù)方向傳輸，其表示式為：

2

駐波定量分析（1）駐波表示式駐波是干涉特例。其合成波方程(駐波方程)為：第42頁簡諧振動位相簡諧振動振幅它表示各點都在作簡諧振動，各點振動頻率相同，是原來波頻率。但各點振幅隨位置不一樣而不一樣。第43頁波腹：波腹位置為：波節(jié)位置為：（2）

駐波振幅分布波節(jié)：

第44頁X相鄰波腹間距離為：相鄰波節(jié)間距離也為第45頁（3）駐波位相X*在波節(jié)兩側(cè)點振動相位相反。

結(jié)論：*兩個波節(jié)之間點其振動相位相同。第46頁能量分布（4）駐波能量分布波節(jié)體積元不動，一直動能Ek=0。（1）

其它各質(zhì)點同時抵達最大位移時：波腹及其它質(zhì)點動能Ek=0，波節(jié)處形變最大勢能EP

最大。在波腹處相對形變最小，勢能最小。波腹附近各點速度最大Ek

最大，波節(jié)及其它點無形變EP=0。（2）其它各質(zhì)點同時經(jīng)過平衡位置時：平衡位置時，能量表達為動能，而動能集中在波腹附近。

能量從波腹傳到波節(jié)，又從波節(jié)傳到波腹，往復(fù)循環(huán)，駐波能量不作定向傳輸，其能量轉(zhuǎn)移過程是動能與勢能相互轉(zhuǎn)移以及波腹與波節(jié)之間能量轉(zhuǎn)移。所以駐波不傳輸能量，最大位移時，能量表達為勢能，而勢能集中在波節(jié)附近。第47頁

駐波不傳輸能量，“駐”字三層含義：（1）駐波波形不傳輸（2）駐波相位不傳輸（3）駐波不傳輸能量駐波是媒質(zhì)一個特殊運動狀態(tài)，穩(wěn)定態(tài)。這可從能流密度證實：因為能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波與右行波能流密度之和為零。第48頁4.由入射波與反射波產(chǎn)生駐波固定端反射第49頁4.由入射波與反射波產(chǎn)生駐波自由端反射第50頁聲源水空氣聲源水玻璃由波密媒質(zhì)到波疏媒質(zhì)界面反射由波疏媒質(zhì)到波密媒質(zhì)界面反射當(dāng)形成駐波時反射界面上總是出現(xiàn)波腹反射界面上總是出現(xiàn)波節(jié)振源固定端反射軟繩自由端反射總是出現(xiàn)波腹總是出現(xiàn)波節(jié)當(dāng)形成駐波時4.由入射波與反射波產(chǎn)生駐波(1).試驗現(xiàn)象第51頁駐波駐波入射波入射波反射波反射波波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)XOY由波密媒質(zhì)入射在波疏媒質(zhì)界面上反射，在界面處，形成駐波時，總是出現(xiàn)波腹。反射波振動相位總是與入射波振動相位相同。波阻：介質(zhì)密度和波速乘積稱為波阻。波阻較大介質(zhì)稱為波密介質(zhì)；波阻較小介質(zhì)稱為波疏介質(zhì)。(2).理論分析第52頁yy入射波入射波駐波駐波反射波反射波波密媒質(zhì)波疏媒質(zhì)2l2lXYO由波疏媒質(zhì)入射在波密媒質(zhì)界面上反射，在界面處，形成駐波時，總是出現(xiàn)波節(jié)。反射波振動相位總是與入射波振動相位相反，即差了

。半波損失折合成波程差反射波第53頁例1：一平面簡諧波y1=0.03cos(20

t-x),在距離原點5m處有波密媒質(zhì)反射面AB,波傳至AB全部被反射。求:(1)反射波波動方程；(2)駐波方程;(3)0x5m內(nèi)波節(jié)、波腹位置0xAB5m解:求駐波方程關(guān)鍵是求反射波波動方程,而且要尤其注意介面反射是否有半波損失。由y1=0.03cos(20

t-x)得到=2m,或u=20m·s-1,原點振動方程為:y0=0.03cos(20

t)P0點振動傳到介面AB再反射到x處所經(jīng)過距離：介面反射有半波損失疏密x反射波波動方程:第54頁(2)駐波方程即:所以波腹位置是:第55頁56例2：如圖所表示，一平面簡諧波沿X軸正方向傳輸，BC為波密媒質(zhì)反射面。波由P點反射，OP=3/4，DP=/6。在t=0時，O處質(zhì)點合振動是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運動。求D點處入射波與反射波合振動方程。（設(shè)入射波與反射波振幅皆為A，頻率為。）解：設(shè)O為坐標(biāo)原點，入射波方程為則反射波波動方程是合成波波動方程（駐波）為oxDP入反波疏波密BC第56頁57在t=0時，x=0處質(zhì)點y0=0，y0/t<0，所以：所以，D點處合振動方程是oxDP入反波疏波密t=0時，

O處質(zhì)點合振動是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運動第57頁弦線長度等于半波長整數(shù)倍時形成駐波?！?/p>

駐波條件兩端固定4.弦線上駐波決定聲音音調(diào)基頻二次諧頻諧頻頻率和強度決定音色四次諧頻第58頁波源頻率

是單位時間內(nèi)波源振動次數(shù)或發(fā)出‘完整波’個數(shù)；波源媒質(zhì)觀察者有相對運動時，觀察者接收到頻率不一樣于波源振動頻率現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)。5.6多普勒效應(yīng)二多普勒效應(yīng)分析與定量研究觀察者接收到頻率

是觀察者在單位時間內(nèi)接收到振動數(shù)或完整波數(shù)；第59頁sul1.波源和觀察者均相對于媒質(zhì)靜止波源振動頻率

觀察者測得頻率

'兩個相鄰等相位面之間距離是一個波長觀察者測得頻率

'，是單位時間內(nèi)連續(xù)經(jīng)過接收器等相位面數(shù)目，亦即單位時間內(nèi)連續(xù)經(jīng)過接收器完整波個數(shù)。觀察者測得頻率就是波源振動頻率第60頁sul2.波源靜止觀察者向波源運動波源振動頻率

觀察者測得頻率

'觀察者每秒接收到整波數(shù)，即觀察者測得頻率為觀察者測得頻率是波源振動頻率倍。假如波源靜止觀察者背離波源運動，觀察者測得頻率為頻率升高第61頁213132波面間距較窄波面間距較寬3.觀察者靜止，波源（相對于媒質(zhì)）向觀察者運動。先看一個普通現(xiàn)象經(jīng)過手抖動,讓繩子末端小石頭在水面邊抖動邊移動它們所激起水波波陣面分布是一系列偏心圓。若在空氣中有一個振動頻率恒定定向運動聲源，它所激起聲波波陣面分布，則是一系列偏心球面。第62頁··SS

運動前方波長縮短→λ←*S第63頁us3.觀察者靜止，波源（相對于媒質(zhì)）向觀察者運動波源振動頻率

觀察者測得頻率

'觀察者測得頻率為假如波源以速度VS離開觀察者，觀察者測得頻率為運動前方波長縮短

=-vST。頻率升高第64頁s波源振動頻率

觀察者測得頻率

'4.觀察者和波源同時相對于媒質(zhì)運動這時觀察者每秒接收到整波數(shù)，由觀察者運動和波源運動兩種原因同時決定，觀察者測得頻率為當(dāng)波源和觀察者同時相向運動時當(dāng)波源和觀察者同時相背運動時第65頁sun多普勒效應(yīng)波源振動頻率

,觀察者測得頻率'sun-(背)+(向)snusnu相向運動,頻率升高;背離運動,頻率降低第66頁

多普勒效應(yīng)也給當(dāng)前為人們所普遍接收“大爆炸宇宙學(xué)”提供了一定證據(jù)。光波頻率改變使人感覺到是顏色改變.假如恒星遠離我們而去，則光譜線就向紅光方向移動，稱為紅移；假如恒星朝向我們運動，光譜線就向紫光方向移動，稱為藍移。

天文學(xué)家未來自星球光譜與地球上相同元素光譜比較，發(fā)覺星球光譜幾乎都發(fā)生紅移，這說明星體都在遠離地球向四面飛去。這一觀察結(jié)果被‘大爆炸’宇宙學(xué)理論提倡者視為其理論主要證據(jù)。電磁波（比如：光波），也有多普勒效應(yīng)第67頁

大爆炸宇宙學(xué)觀點：宇宙開始于一個密度無限大“奇點”，宇宙爆炸是空間膨脹，物質(zhì)則伴隨空間膨脹。在宇宙早期，溫度極高，在100億度以上。物質(zhì)密度也相當(dāng)大。宇宙間只有中子、質(zhì)子、電子、光子和中微子等一些基本粒子形態(tài)物質(zhì)。不過因為整個體系在不停膨脹，結(jié)果溫度很快下降。當(dāng)溫度降到10億度左右時，中子開始失去自由存在條件，它要么發(fā)生衰變，要么與質(zhì)子結(jié)合成重氫、氦等元素；化學(xué)元素就是從這一時期開始形成。溫度深入下降到100萬度后，早期形成化學(xué)元