2025年數(shù)學(xué)四格試題及答案

數(shù)學(xué)四格試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^2-3x+2$的圖像與x軸有兩個交點，則下列說法正確的是：

A.$f(x)$在$x=1$時取得最小值

B.$f(x)$在$x=1$時取得最大值

C.$f(x)$的對稱軸為$x=1$

D.$f(x)$的對稱軸為$x=2$

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前5項和為10，第5項為3，則該數(shù)列的第10項為：

A.2

B.4

C.6

D.8

3.在直角坐標系中，點A（1，2）關(guān)于直線y=x的對稱點B的坐標為：

A.（1，2）

B.（2，1）

C.（-2，1）

D.（-1，-2）

4.若函數(shù)$g(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域為$x\in[-2,2]$，則$g(x)$的值域為：

A.$[0,2]$

B.$[-2,2]$

C.$[-2,2]$

D.$[0,2]$

5.已知等比數(shù)列$\{b_n\}$的首項為2，公比為$\frac{1}{2}$，則第6項為：

A.2

B.1

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

二、填空題（每題3分，共9分）

6.若等差數(shù)列$\{c_n\}$的首項為3，公差為2，則第10項為______。

7.已知函數(shù)$h(x)=x^3-3x^2+2x-1$在$x=1$時取得極值，則該極值為______。

8.若點P（2，3）在直線y=2x-1上，則點P到直線y=2x-1的距離為______。

三、解答題（每題12分，共24分）

9.已知函數(shù)$p(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求：

（1）$p(x)$的對稱軸；

（2）$p(x)$的極值點；

（3）$p(x)$的單調(diào)區(qū)間。

10.已知等差數(shù)列$\{d_n\}$的前5項和為20，第5項為4，求該數(shù)列的通項公式。

四、解答題（每題12分，共24分）

11.已知函數(shù)$q(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求：

（1）$q(x)$的定義域；

（2）$q(x)$的極值點；

（3）$q(x)$的單調(diào)區(qū)間。

12.已知等比數(shù)列$\{e_n\}$的首項為5，公比為$\frac{1}{3}$，求：

（1）該數(shù)列的前10項和；

（2）該數(shù)列的第15項。

五、證明題（每題12分，共24分）

13.證明：對于任意實數(shù)$x$，都有$(x^2-1)^2\geq0$。

14.證明：對于任意實數(shù)$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。

六、應(yīng)用題（每題12分，共24分）

15.一輛汽車從A地出發(fā)，以60km/h的速度行駛，行駛了2小時后，到達B地。然后汽車以80km/h的速度返回A地，求汽車從A地到B地再返回A地的總行駛時間。

16.一批貨物由甲、乙兩個倉庫供應(yīng)，甲倉庫有貨物100噸，乙倉庫有貨物200噸。甲倉庫每天供應(yīng)貨物10噸，乙倉庫每天供應(yīng)貨物15噸。若甲倉庫的貨物在5天后全部運完，求乙倉庫的貨物在多少天后全部運完。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題2分，共10分）

1.C.$f(x)$的對稱軸為$x=1$

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2-3x+2$是一個二次函數(shù)，其對稱軸的公式為$x=-\frac{2a}$，其中a和b是二次項和一次項的系數(shù)。對于給定的函數(shù)，a=1，b=-3，所以對稱軸為$x=-\frac{-3}{2\cdot1}=1$。

2.C.6

解析思路：等差數(shù)列的前n項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_1$是首項，$a_n$是第n項。已知前5項和為10，第5項為3，可以解出首項$a_1$，然后利用通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$（d為公差）求出第10項。

3.B.（2，1）

解析思路：點A（1，2）關(guān)于直線y=x的對稱點B的坐標可以通過交換A點的橫縱坐標得到，即B點的坐標為（2，1）。

4.A.$[0,2]$

解析思路：函數(shù)$g(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域是使得$x^2-4\geq0$的x值。解這個不等式得到$x\leq-2$或$x\geq2$，所以定義域為$x\in[-2,2]$。在這個定義域內(nèi)，$g(x)$的值域是$[0,2]$。

5.B.1

解析思路：等比數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1\cdotr^{(n-1)}$，其中$a_1$是首項，r是公比。已知首項為2，公比為$\frac{1}{2}$，代入公式得到第6項$a_6=2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=2\cdot\frac{1}{32}=\frac{1}{16}$。

二、填空題（每題3分，共9分）

6.21

解析思路：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，d是公差。已知首項為3，公差為2，代入公式得到第10項$a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21$。

7.0

解析思路：函數(shù)$h(x)=x^3-3x^2+2x-1$的極值點可以通過求導(dǎo)數(shù)$h'(x)$并令其等于0來找到。求導(dǎo)后得到$h'(x)=3x^2-6x+2$，令$h'(x)=0$解得$x=1$。將$x=1$代入原函數(shù)得到極值$h(1)=1^3-3\cdot1^2+2\cdot1-1=0$。

8.1

解析思路：點到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中直線的方程為$Ax+By+C=0$。對于直線y=2x-1，A=2，B=-1，C=-1。點P（2，3）代入公式得到$d=\frac{|2\cdot2-1\cdot3-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|4-3-1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{0}{\sqrt{5}}=0$。

三、解答題（每題12分，共24分）

9.

（1）$p(x)$的對稱軸為x=1

解析思路：與第一題類似，使用對稱軸公式$x=-\frac{2a}$，對于$p(x)=x^3-3x^2+4x-1$，a=1，b=-3，得到對稱軸$x=1$。

（2）$p(x)$的極值點為x=1

解析思路：求導(dǎo)數(shù)$p'(x)=3x^2-6x+4$，令$p'(x)=0$解得$x=1$。將$x=1$代入原函數(shù)得到極值$p(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1-1=1$。

（3）$p(x)$的單調(diào)區(qū)間為$x<1$和$x>1$

解析思路：通過分析導(dǎo)數(shù)$p'(x)$的符號變化來確定單調(diào)區(qū)間。當$x<1$時，$p'(x)$為正，$p(x)$單調(diào)遞增；當$x>1$時，$p'(x)$為負，$p(x)$單調(diào)遞減。

10.$d_n=4-2(n-1)$

解析思路：使用等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，已知首項$a_1=3$，公差$d=2$，代入公式得到$d_n=3+(n-1)\cdot2=4-2(n-1)$。

四、解答題（每題12分，共24分）

11.

（1）$q(x)$的定義域為$x\neq2$

解析思路：函數(shù)$q(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的分母不能為0，所以$x-2\neq0$，即$x\neq2$。

（2）$q(x)$的極值點為x=2

解析思路：由于定義域限制，函數(shù)在x=2處沒有極值點。

（3）$q(x)$的單調(diào)區(qū)間為$x<2$和$x>2$

解析思路：分析導(dǎo)數(shù)$q'(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}$的符號變化，由于分母$(x-2)^2$總是正的，導(dǎo)數(shù)的符號取決于分子$(x+2)(x-2)$。當$x<2$時，分子為負，$q'(x)$為負，$q(x)$單調(diào)遞減；當$x>2$時，分子為正，$q'(x)$為正，$q(x)$單調(diào)遞增。

12.

（1）前10項和為$S_{10}=5\cdot\left(\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{10}}{1-\frac{1}{3}}\right)=5\cdot\left(\frac{1-\frac{1}{59049}}{\frac{2}{3}}\right)=5\cdot\left(\frac{59048}{59049}\cdot\frac{3}{2}\right)=5\cdot\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{59048}{59049}\right)=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdot3\cdot59048}{2\cdot59049}=\frac{5\cdo