2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)24 微專題 平行四邊形與多邊形 學(xué)案（含答案）

微專題24平行四邊形與多邊形

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.平行四邊形的性質(zhì)與判定(6年7考)

(1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形

(2)平行四邊形的性質(zhì)

邊兩組對(duì)邊分別平行，兩組對(duì)邊分別①

角兩組對(duì)角分別②

對(duì)角

對(duì)角線互相③

線

對(duì)稱是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(北師獨(dú)

性有)

(3)平行四邊的判定

1.兩組對(duì)邊分別④的四邊形是平行四邊形(定義)；

邊2.兩組對(duì)邊分別⑤的四邊形是平行四邊形；

3.一組對(duì)邊⑥的四邊形是平行四邊形

角兩組對(duì)角分別⑦的四邊形是平行四邊形(人教獨(dú)有)

對(duì)角線對(duì)角線⑧的四邊形是平行四邊形

2.平行四邊形面積

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面積計(jì)算公式：S＝ah(a表示一條邊長(zhǎng)，h表示此邊上的高).

【拓展知識(shí)】

①每條對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形；

②平行四邊形中的面積關(guān)系：

S1＝S2＝S3＝S4

S1＝S2

(源于人教八下P51習(xí)題)

S1＋S3＝S2＋S4

S1·S3＝S2·S4

(源于北師八下P158習(xí)題)

3.多邊形(6年2考)

(1)概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形

(2)多邊形的性質(zhì)(n≥3，n為整數(shù))

內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和等于⑨

外角和定理任意多邊形的外角和等于⑩

過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可引(n－3)條對(duì)角線，把這個(gè)n邊形分成(n－2)

對(duì)角線

(－)

個(gè)三角形，n邊形共有條對(duì)角線

??3

【溫馨提示】n(n＞3)邊形具有不穩(wěn)定性2

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(3)正多邊形的性質(zhì)(n≥3，n為整數(shù))

邊正n邊形各條邊?

內(nèi)角各個(gè)內(nèi)角相等，正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為?

外角各個(gè)外角相等，正n邊形的每個(gè)外角為?

練考點(diǎn)

1.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.

第1題圖

(1)若∠BCD－∠ADC＝60°，則∠ADC＝°；

(2)若?ABCD的周長(zhǎng)為42，AB∶BC＝3∶4，則AB＝，AD＝；

(3)若AC＋BD＝26，AB＝11，則△OCD的周長(zhǎng)為.

2.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點(diǎn)O，再添加一個(gè)條件，

不一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()

A.AD＝BCB.AB∥CD

C.AB＝CDD.OA＝OC

第2題圖

3.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，線段EF過點(diǎn)O，分別交

AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn).陰影部分的面積之和為10，則?ABCD的面積為()

第3題圖

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A.16B.18

C.20D.24

4.九邊形的內(nèi)角和為.

5.若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為.

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的證明及計(jì)算(6年4考)

例1已知在?ABCD中，AB＞AD，E是AB邊上一點(diǎn)，連接DE.

(1)核心設(shè)問如圖①，若DE⊥AB，AB＝6，AD＝2，∠C＝45°，求BE的長(zhǎng)；

[2023廣東19(1)題考查]2

例1題圖①

(2)核心設(shè)問如圖②，連接CE，若CE平分∠BCD，AE＝3，EB＝5，DE＝4.[2021

廣東16題考查]

①求證：∠DEA＝90°；

②求CE的長(zhǎng)；

例1題圖②

(3)如圖③，連接CE，若E是AB的中點(diǎn)，∠CED＝90°，DE＝4，且＝，

??

求四邊形BCDE的面積；??3

例1題圖③

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(4)如圖④，若DE平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，AF平分∠DAB交DC于點(diǎn)F，過點(diǎn)

E作ED的垂線交DC于點(diǎn)G.求證：FG＝BC.

例1題圖④

考點(diǎn)2平行四邊形的判定

例2(北師八下習(xí)題改編)如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，分別過點(diǎn)B，D

作AC的垂線，垂足為E，F(xiàn).

(1)如圖①，若四邊形ABCD是平行四邊形，分別延長(zhǎng)BE，DF，交AD于點(diǎn)G，

交BC于點(diǎn)H，求證：四邊形BGDH是平行四邊形；

例2題圖①

(2)如圖②，連接DE，BF，若BE＝DF，AF＝CE.

①求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

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例2題圖②

②求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

變式1(2024佛山二模)如圖，點(diǎn)E是?ABCD邊AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，

CE，BD，BE與CD交于點(diǎn)F，添加以下條件，不能判定四邊形BCED為平行四

邊形的是()

A.DE＝DAB.∠ABD＝∠DCEC.EF＝FBD.∠DEB＝∠BCD

變式1題圖

考點(diǎn)3多邊形(6年2考)

例3如圖①是一個(gè)八角亭，亭子的八個(gè)立柱在地面上圍出了一個(gè)正八邊形結(jié)

構(gòu)，如圖②，若從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其他頂點(diǎn)，該多邊形

被分成的三角形個(gè)數(shù)為()

例3題圖

A.5B.6C.8D.16

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變式2(人教八下習(xí)題改編)如圖是一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中

一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是()

A.9B.10C.11D.12

變式2題圖

變式3(2024佛山模擬)如圖，在正五邊形ABCDE中，∠BCD的平分線交AE

于點(diǎn)F，連接CE，則∠ECF的度數(shù)為()

變式3題圖

A.15°B.18°C.36°D.54°

真題及變式

命題點(diǎn)1與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算(6年7考)

1.(2022廣東8題3分)如圖，在?ABCD中，一定正確的是()

A.AD＝CDB.AC＝BDC.AB＝CDD.CD＝BC

第1題圖

2.(2021廣東16題4分)如圖，在?ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝.過點(diǎn)

4

D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE＝.5

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第2題圖

2.1變條件——將邊的高線變?yōu)榻瞧椒志€

如圖，在?ABCD中，AD＝8，∠A＝60°，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，連接

DE.若BE＝2AE，則DE的長(zhǎng)為.

變式2.1題圖

拓展訓(xùn)練

3.(2024棗莊)如圖，點(diǎn)E為?ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC＝5，CE＝1，連

接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接BF，則BF為()

第3題圖

A.B.3C.D.4

57

命題2點(diǎn)2多邊形(6年2考)2

4.(2020廣東4題3分·人教八上習(xí)題改編)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則該

多邊形的邊數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

4.1變條件——結(jié)合內(nèi)外角的倍數(shù)關(guān)系

若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為.

拓展訓(xùn)練

5.(2023陜西)如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AB，CD相交于點(diǎn)E，則線段

BE的長(zhǎng)為.

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第5題圖

新考法

6.[綜合與實(shí)踐](2024達(dá)州改編)

【主題】在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的

倍，某數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶?duì)角線和邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究.2

【探究發(fā)現(xiàn)】步驟具體如下：

如圖①，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.

∴AB2＝AO2＋BO2.

又∵AC＝2AO，BD＝2BO，

∴AB2＝＋.

化簡(jiǎn)整理得AC2＋BD2＝.

【猜想與探究】

(1)補(bǔ)全【探究發(fā)現(xiàn)】中的步驟；

(2)如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)說明邊長(zhǎng)與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系.

第6題圖

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考點(diǎn)精講

①相等②相等③平分④平行⑤相等⑥平行且相等⑦相等⑧互相

平分⑨(n－2)×180°

(－)°°

⑩360°?相等??

?2×180360

練考點(diǎn)??

1.(1)60；(2)9，12；(3)24

2.C

3.C【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△AOD＝S△BOC，S△BOE＝S△DOF，

S△FOC＝S△AOE，∴S?ABCD＝2(S△AOD＋S△BOE＋S△COF)＝2×10＝20.

4.1260°

5.6【解析】設(shè)所求正多邊形邊數(shù)為n，則120°·n＝(n－2)·180°，解得n＝

6.

高頻考點(diǎn)

例1(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠C＝45°.

∵DE⊥AB，

∴在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠A＝45°，

∴AE＝AD·cosA＝2×＝2，

2

∴BE＝AB－AE＝6－2＝42；

(2)①證明：∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠DCE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AB∥CD，

∴∠BEC＝∠DCE，

∴∠BEC＝∠BCE，

第10頁共16頁

∴BC＝BE＝5，

∴AD＝5，

∵AE＝3，DE＝4，32＋42＝52，

∴AE2＋DE2＝AD2，

∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°；

②解：由(1)可知，∠DEA＝90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE＋EB＝3＋5＝8，

在Rt△EDC中，由勾股定理得CE＝＋＝＋＝4，

2222

∴CE的長(zhǎng)為4；????485

(3)解：如解圖，5取CD的中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)E作EH⊥CD，垂足為H.

∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BE∥CF，BE＝CF，即四邊形BCFE為平行四邊形.

又∵∠CED＝90°，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，

∴EF＝CD＝CF.

1

∴四邊形2BCFE為菱形.

∴BC＝CF＝CD.

1

∵＝，2

??

∴C??E＝3BC＝CD，

3

∴＝，32

??3

∴∠??CD2E＝60°，∴∠ECD＝30°，

∵DE＝4，

第11頁共16頁

∴CD＝2DE＝8，EH＝DE·sin60°＝4×＝2.

3

∴BE＝AB＝CD＝4，23

11

22

∴S四邊形BCDE＝(BE＋CD)·EH＝×(8＋4)×2＝12；

11

2233

例1題解圖

(4)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，DA＝BC，

∴∠ADC＋∠DAB＝180°，

∵DE平分∠ADC，AF平分∠DAB，

∴∠ADE＝∠ADC，∠DAF＝∠DAB，

11

∴∠DAF＋∠2ADE＝90°，2

∴DE⊥AF，

∵DE⊥EG，

∴AF∥EG，

∴四邊形AEGF是平行四邊形，

∴FG＝AE，

∵DC∥AB，

∴∠CDE＝∠AED，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE＝∠ADE，

∴∠ADE＝∠AED，

∴DA＝AE，

∴FG＝BC.

例2證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

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∴AD∥BC，即DG∥BH，

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥DH，

∴四邊形BGDH是平行四邊形；

(2)①∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠CEB＝∠AFD＝90°，

在△ADF和△CBE中，

＝

＝，

????

＝

∠???∠???

∴?△?AD?F?≌△CBE(SAS)，

∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

②∵AF＝CE，

∴AF－EF＝CE－EF，

即AE＝CF，

由①知AD＝CB，∠EAD＝∠FCB，∴△ADE≌△CBF(SAS)，

∴DE＝BF，

同理△ABE≌△CDF，

∴BE＝DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形.

變式1D【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，

∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四邊形BCED是平行四邊形，故A正確；∵四邊形

ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝

∠DCE，∴∠BDC＝∠DCE，∴BD∥CE，∴四邊形BCED是平行四邊形，故B

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正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FDE＝∠FCB，∠FED

＝∠FBC，又∵EF＝FB，∴△EFD≌△BFC(AAS)，∴DE＝CB.∴四邊形BCED

為平行四邊形，故C正確；由∠DEB＝∠BCD，得出∠DEB＝∠A，但不能得出

四邊形BCED為平行四邊形，故D錯(cuò)誤.

例3B【解析】n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有(n－3)條對(duì)角線，則該八邊形從一

個(gè)頂點(diǎn)可引出5條對(duì)角線，將八邊形劃分為6個(gè)不重合的三角形.

變式2D【解析】依題意，AB＝BC，∠ACB＝15°，∴∠BAC＝∠ACB＝15°，

∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝150°，∴這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為180°

°

－150°＝30°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為＝12.

°

360

變式3B【解析】∵五邊形ABCDE為正30五邊形，∴∠BCD＝∠D＝×(5－

1

2)×180°＝108°，CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝×(180°－∠D)＝356°，

1

∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCD＝×108°＝254°，∴∠ECF＝∠DCF－

11

∠DCE＝54°－36°＝18°.22

真題及變式

1.C【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別

相等可得C選項(xiàng)一定正確.

2.【解析】∵DE⊥AB，AB＝12，AD＝5，sinA＝，∴DE＝4，∴AE＝

9104

505

－＝3，∴BE＝AB－AE＝9，如解圖，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，在?

22

????

ABCD中，AB＝CD＝12，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴DE⊥CD，∴CE＝＋

22

????

＝4，由三角形面積公式可得BE·DE＝CE·BF，∴BF＝，∴sin∠BCE＝

11910??

＝1.02210??

910

50

第14頁共16頁

第2題解圖

變式2.14【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝60°，

BC＝AD＝8，C3D∥AB，∴∠BEC＝∠DCE.∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，

∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC＝8.∵BE＝2AE，∴2AE＝8，解得AE＝4，如解

圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，則∠AFE＝∠DFE＝90°，∴∠AEF＝90°－∠A

＝90°－60°＝30°，∴AF＝AE＝2，EF＝AE＝2，∴DF＝AD－AF＝6，

13

223

在Rt△DEF中，由勾股定理，得ED＝＋＝4.

22

????3

變式2.1題解圖

3.B【解析】如解圖，連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為平行四邊形，

AC＝5，CE＝1，∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO，∴OE＝CO－CE＝.∵EF＝