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文檔簡介
微專題29與圓有關(guān)的位置關(guān)系
考點精講
構(gòu)建知識體系
考點梳理
1.點與圓的位置關(guān)系
點在圓外d＝OA①r
點在圓上d＝OB②r
點在圓內(nèi)d＝OC③r
2.直線與圓的位置關(guān)系(2024年首次涉及考查)
位置關(guān)系相離相切相交
d與r的
d④rd⑤rd⑥r(nóng)
關(guān)系
交點的
沒有公共點有且只有一個公共點有兩個公共點
個數(shù)
示意圖
3.切線的性質(zhì)與判定(6年6考)
(1)性質(zhì)定理：圓的切線⑦于過切點的半徑(或直徑)
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(2)性質(zhì)：①切線和圓只有一個公共點；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切
線垂直于過切點的半徑；④經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；⑤經(jīng)過切點
且垂直于切線的直線必過圓心
(3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
(4)判定方法：①直線與圓公共點已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點未知：
作垂直，證半徑
4.切線長與切線長定理
圖示
在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點與⑧之間的線段的長
切線長
度，叫做這點到圓的切線長
從圓外一點可以引圓的⑨條切線，它們的切線長⑩，這
切線長定理一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.(探索并證明切線長定理*
選學(xué))
5.三角形的內(nèi)切圓
(1)定義：與三角形各邊都相切的圓
(2)圓心O：內(nèi)心(三角形的內(nèi)切圓圓心或三角形三條?的交點)
(3)性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形?的距離相等
(4)角度關(guān)系：如圖③，圖④，∠BOC＝90°＋∠BAC
1
【知識拓展】2
任意三角形的內(nèi)切圓直角三角形的內(nèi)切圓
圖③圖④
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利用等面積法可得：＝
r＋＋
利用等面積法可得：＝△??
r＋＋
2?????＋?－?
利用切線長定理可得：r＝
???
???
2
練考點
1.已知☉O的半徑為3，P為平面內(nèi)一點，OP＝4，則點P在☉O.(填
“內(nèi)”“上”或“外”)
2.已知圓的半徑為3，圓心到某直線的距離為2，則此直線與圓的位置關(guān)系
為.(填“相交”“相切”或“相離”)
3.如圖，AC是☉O的直徑.
(1)若BC是☉O的切線，則∠ACB＝°；
(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，則BC與☉O.(填“相交”“相切”或“相
離”)
第3題圖
4.如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，連接AB，OA，OB，PO，PO
交☉O于點C，交AB于點D，∠OAB＝30°.
第4題圖
(1)∠APB的度數(shù)為；
(2)若OA＝4，則OP的長為.
5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r
＝.
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第5題圖
6.如圖，△ABC的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線CD上，若AB＝CD，
則△ABC的面積為.
第6題圖
高頻考點
考點與切線有關(guān)的證明及計算(6年6考)
一、切線的判定(6年4考)
方法解讀
1.利用平行證垂直：
當(dāng)需要證明的切線有一條垂線時，可證明過切點的半徑與這條垂線平行.
2.利用等角轉(zhuǎn)換證垂直：
題干中直接給出角度關(guān)系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角
代換來證明.
3.利用三角形全等證垂直：
常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構(gòu)造全等三
角形來證得垂直.
4.作垂直，證半徑：
過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長等于半徑.
方法一連半徑、證垂直
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例1(利用平行證垂直)核心設(shè)問如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為
直徑的☉O交BC于點E，過點E作EF⊥AB于點F.求證：EF是☉O的切線.[2019
廣東24(2)題考查]
例1題圖
例2(利用等角轉(zhuǎn)換證垂直)如圖，AB是☉O的直徑，C是圓上一點，過點C的
直線CD交BA延長線于點D，且∠DCA＝∠B，求證：CD是☉O的切線.
例2題圖
例3(利用三角形全等證垂直)核心設(shè)問如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
以BC為直徑作☉O，交AB于點D，點E為AC上一點，連接DE.若DE＝CE，
求證：DE是☉O的切線.[2020廣東22(1)題考查]
例3題圖
方法二作垂直、證半徑
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例4核心設(shè)問如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一點O為圓心，
OC長為半徑作☉O，連接BO，若BO平分∠ABC，求證：AB是☉O的切線.[2024
廣東17(2)題考查]
例4題圖
二、切線性質(zhì)的相關(guān)證明及計算(6年2考)
方法解讀
1.證明角相等的方法：
(1)根據(jù)直角三角形中兩銳角互余，進(jìn)行等量代換找到對應(yīng)的角；
(2)根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換找到相對應(yīng)的角；
(3)通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)的角相等.
2.求線段長的方法：
(1)若題干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出現(xiàn)三角函數(shù)sin、cos、tan時，
考慮利用三角函數(shù)求線段長；
(2)若題干無特殊角或三角函數(shù)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)已知邊與所求邊分別所在的三角形
存在相似關(guān)系，考慮作輔助線將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用相似三角形
求線段長.
3.證明線段平行的方法：
(1)通過角之間的等量代換，利用同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的方法
證明兩直線平行.
(2)設(shè)法將兩條線段放在同一個三角形中，利用中位線(或等分點)的性質(zhì)證明兩直
線平行.
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例5如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一點，以BE為直徑的☉O
與AC相切于點D，連接BD，DE.
例5題圖①
(1)求證：∠ABD＝∠CDE；
(2)求證：BD平分∠ABC；
(3)若∠ABD＝30°，AD＝，求OC的長；
3
(4)如圖②，若F為CD的中點，連接EF，∠C＝30°，求證：EF∥AB.
例5題圖②
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真題及變式
命題點切線的判定及性質(zhì)(6年6考)
1.(2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，
AB是☉O的直徑，CO平分∠BCD.
(1)求證：直線CD與☉O相切；
(2)如圖②，記(1)中的切點為E，P為優(yōu)弧上一點，AD＝1，BC＝2.求tan∠APE
的值.?