工程數學-概率統計簡明教程-第二章-隨機事

第2章事件概率概率概念2.1幾何概型2.3古典概型2.2概率公理化定義2.4首頁本章重點第1頁了解事件頻率概念，了解概率統計定義3.了解概率古典定義，會計算簡單古典概率

重點：2.熟悉關于排列與組合基本知識，掌握求排列數與組合數公式返回4.了解概率公理化定義，掌握概率基本性質第2頁隨機事件頻率FrequencyA=“出現正面”隨機試驗拋擲一枚均勻硬幣試驗總次數n

將硬幣拋擲n次隨機事件事件A出現次數m出現正面m次隨機事件頻率第3頁

拋擲硬幣試驗Experimentoftossingcoin歷史紀錄第4頁

隨機事件A在相同條件下重復屢次時，事件A發(fā)生頻率在一個固定數值p附近擺動，隨試驗次數增加愈加顯著頻率和概率

頻率穩(wěn)定性

事件概率

事件A頻率穩(wěn)定在數值，說明了數值能夠用來刻劃事件Ａ發(fā)生可能性大小，能夠要求為事件A概率，記為第5頁

對任意事件Ａ，在相同條件下重復進行n次試驗，事件Ａ發(fā)生頻率m/n，伴隨試驗次數n增大而穩(wěn)定地在某個常數p附近擺動,那么稱p為事件Ａ概率

概率統計定義

當試驗次數足夠大時，能夠用事件A發(fā)生頻率近似代替事件A概率第6頁排列組合相關知識復習加法原理：完成一件事情有n類方法，第i類方法中有mi

種詳細方法，則完成這件事情共有種不一樣方法乘法原理：完成一件事情有n個步驟，第i個步驟中有mi

種詳細方法，則完成這件事情共有種不一樣方法第7頁選排列

從n個不一樣元素中，任取m個(不放回地）按一定次序排成一列，不一樣排法共有全排列可重復排列

從n個不一樣元素中可重復地取出m個排成一排,不一樣排法有種第8頁組合從n個不一樣元素中取出m個(不放回地）組成一組，不一樣取法共有第9頁

有限性

每次試驗中，每一個可能結果發(fā)生可能性相同，即

每次試驗中，全部可能發(fā)生結果只有有限個，即樣本空間Ω是個有限集Ω=

ω1,ω2,,ωn

.

等可能性其中

古典（等可能）概型第10頁

設試驗結果共有n個,即基本事件ω1，ω2，...，ωn，而且這些事件發(fā)生含有相同可能性古典概型計算公式

確定試驗基本事件總數事件Ａ由其中m個基本事件組成

確定事件A包含基本事件數第11頁

拋擲一顆勻質骰子,觀察出現點數,求“出現點數是大于3偶數”概率．Ａ=“出現點數是大于3偶數”古典概率計算：拋擲骰子事件A試驗拋擲一顆勻質骰子,觀察出現點數基本事件總數={4，6}Ω={1，2，3，4，5，6}n=6m=2事件A概率第12頁

設在100件產品中，有4件次品，其余均為正品．古典概率計算：正品率和次品率n＝100這批產品次品率任取3件，全是正品概率任取3件，剛好兩件正品概率mA＝4第13頁

古典概率計算：有放回抽樣和無放回抽樣

設在10件產品中，有2件次品，8件正品．A={第一次抽取正品，第二次抽取次品}第一次抽取后，產品放回去第一次抽取后，產品不放回去第14頁故{生日“無重復”}概率為：某班有30個同學，求他們生日“無重復”概率。（一年按365天計算，并設人在一年內任一天出生是等可能）當人數為40時，{生日“無重復”}概率為：0.11當人數為50時，{生日“無重復”}概率為：0.03當人數為20時，{生日“無重復”}概率為：0.59當人數為10時，{生日“無重復”}概率為：0.88

古典概率計算：生日問題解：全部可能結果有事件A={生日“無重復”}對應結果有第15頁

古典概率計算：抽簽

10個學生抽簽方式分配3張音樂會入場券，抽取10張外觀相同紙簽，其中3張代表入場券.求A={第五個學生抽到入場券}概率。基本事件總數有利于A基本事件數第五個學生抽到入場券另外9個學生抽取剩下9張第16頁例某班有20個同學，采取抽簽方式分配三張音樂會門票,求同學甲抽到門票概率.故所求概率是：原來無須爭先恐后！解：制作20張外觀無差異紙簽，其中三張代表門票。20個同學抽簽共有20！種方式，同學甲抽到門票有種抽法，其它同學抽取余下簽有19！種方式。第17頁若P(A)0.01,則稱A為小概率事件.小概率事件

一次試驗中小概率事件普通是不會發(fā)生.若在一次試驗中竟然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理————(即實際推斷原理)第18頁例區(qū)長辦公室某一周內曾接待過9次來訪,這些來訪都是周三或周日進行,是否能夠斷定接待時間是有要求？解

假定辦公室天天都接待，則P(9次來訪都在周三、日)==0.0000127這是小概率事件,普通在一次試驗中不會發(fā)發(fā)生.現竟然發(fā)生了,故可認為假定不成立,從而推斷接待時間是有要求.

第19頁幾何概型(古典概型推廣)幾何概型

設樣本空間為有限區(qū)域,若樣本點落入內任何區(qū)域G中概率與區(qū)域G

測度成正比,則樣本點落入G內概率為第20頁例某人表停了，他打開收音機聽電臺報時，已知電臺是整點報時，問他等候報時時間短于十分鐘概率9點10點10分鐘第21頁2、規(guī)范性：Ｐ(Ω)=1概率公理化定義

給定一個隨機試驗，Ω是它樣本空間，對于任意一個事件Ａ，賦予一個實數，假如滿足以下三條公理，那么，稱為事件Ａ概率．3、完全可加性：兩兩互斥時，有1、非負性：第22頁證實由公理3知

所以

概率性質：

不可能事件概率為零

性質1第23頁設A1，A2，…,An兩兩互不相容，則證實

性質2

有限可加性

在公理3中,取第24頁

P(B－A)=P(B)－P(A)

性質3差事件概率若AB，則P(B－A)=P(B)－P(A)且P(A)≤P(B)第25頁

推廣

對任意兩個事件A,B,有

BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)B–AB=B-AAB第26頁對任意兩個隨機事件Ａ、Ｂ，有

性質4

加法定理第27頁BCA

加法定理推廣

第28頁

性質5逆事件概率第29頁例已知P(A)＝0.9，P(B)=0.8，試證：解：由性質4得：且即所以，由以上可證命題成立。第30頁例已知P(A)=0.3，P(B)=0.6,試在以下兩種情形下分別求出P(A-B)與P(B-A)(1)事件A,B互不相容(2)事件A,B有包含關系解(1)因為,所以(2)由已知條件和性質3,推得必定有第31頁

甲、乙兩人同時向目標射擊一次，設甲擊中概率為0.85，乙擊中概率為0.8．兩人都擊中概率為0.68．求目標被擊中概率．解

設Ａ={甲擊中目標}，Ｂ表示“乙擊中目標”，Ｃ={目標被擊中}，則

＝0.85＋0.8－0.