《高等數(shù)學(xué) 》課件-第7章

第7章矩陣與行列式7.1矩陣的概念7.2矩陣的運(yùn)算7.3方陣的行列式7.4逆矩陣7.5矩陣的初等變換*7.6線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用7.7用MATLAB計(jì)算矩陣和解線性方程組 7.1矩陣的概念

現(xiàn)實(shí)生活中的許多數(shù)量關(guān)系可用數(shù)的表格表示.

引例7-1

某班部分學(xué)生某學(xué)期的成績表如表7-1所示.表7-1某班部分學(xué)生某學(xué)期成績表如果取出表7-1中的成績數(shù)據(jù)并保持原來的相對位置，則可得到一個(gè)數(shù)表

80

85

70

90

78

88

80

91

75

75

81

90

數(shù)學(xué)上將這樣的矩形數(shù)表稱為矩陣.因此，矩陣可以看做是數(shù)字表格的抽象形式.

定義7.1

由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣.本書中用大寫黑體字母A、B、C、…表示矩陣，記作在矩陣A中,橫排稱為行，縱排稱為列.m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，數(shù)aij位于矩陣A的第i行第j列.在需要標(biāo)明矩陣A的行數(shù)m和列數(shù)n時(shí)，可寫成Am×n.矩陣A有時(shí)也可記作(aij),或者(aij)m×n.所有元素均為零的矩陣稱為零矩陣，記作O.

行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A稱為n階矩陣或n階方陣，記作An.

方陣A中從左上角到右下角的元素組成方陣A的主對角線.

4.單位矩陣

如果對角矩陣中主對角線上的元素均為1，則稱為單位矩陣，記作E,即

例7-1

設(shè)有某種物資要從m個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往n個(gè)銷地，如果用cij表示從第i個(gè)產(chǎn)地(i=1,2,…,m)運(yùn)往第j個(gè)銷地(j=1,2,…,n)的物資數(shù)量，則相應(yīng)的物資調(diào)運(yùn)方案就可表示成一個(gè)m×n矩陣其中,aij為工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量.

當(dāng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣.如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元素相等，即

aij=bij

(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)

則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B.

7.2矩陣的運(yùn)算

7.2.1矩陣的加法

用矩陣表示有關(guān)的實(shí)際問題不僅形式簡潔，更重要的是可以對矩陣定義具有實(shí)際意義的各種運(yùn)算.

例7-3設(shè)將某物資(單位：t)從四個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往兩個(gè)銷地的兩次調(diào)運(yùn)方案分別用矩陣A和矩陣B表示為那么，從各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地的兩次調(diào)運(yùn)的總調(diào)運(yùn)方案是矩陣A與矩陣B的和.即

定義7.2

設(shè)有兩個(gè)m×n矩陣A=(aij)m×n、B=(bij)m×n,那么矩陣A與B的和記作A+B.規(guī)定為例7-4

設(shè)某廠生產(chǎn)的甲、乙、丙、丁四種產(chǎn)品，上個(gè)月的銷售收入及生產(chǎn)成本(單位：萬元)分別用矩陣A和矩陣B表示為A=(35243018),B=(30192413)那么，該廠上個(gè)月生產(chǎn)這四種產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)是矩陣A與矩陣B的差，即A-B=(35243018)-(30192413)=(35-3024-1930-2418-13)=(5565)7.2.2數(shù)與矩陣相乘

定義7.3

數(shù)λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ,規(guī)定為例7-5

設(shè)某兩個(gè)地區(qū)與另外四個(gè)地區(qū)之間的里程(單位：km)可用矩陣表示為如果每噸貨物每千米的運(yùn)價(jià)為3元，則上述地區(qū)之間每噸貨物的運(yùn)費(fèi)(單位：元/噸)應(yīng)是數(shù)3與矩陣A的乘積.即容易驗(yàn)證，數(shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B為m×n矩陣,λ、μ為數(shù))：

(1)(λμ)A=λ(μA)；

(2)(λ+μ)A=λA+μA；

(3)λ(A+B)=λA+λB.

例7-6

設(shè)矩陣7.2.3矩陣與矩陣相乘

例7-7

某鄉(xiāng)有三個(gè)村，今年農(nóng)作物產(chǎn)量如表7-2所示.

將表7-2寫為產(chǎn)量矩陣A,表7-3寫為價(jià)格矩陣B,表7-4寫為費(fèi)用矩陣C,則表7-4對應(yīng)的費(fèi)用矩陣C就是矩陣A與矩陣B的乘積：

進(jìn)行矩陣乘法時(shí)應(yīng)當(dāng)注意：

(1)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣B的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘；

(2)乘積矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)；

(3)乘積矩陣C的第i行第j列元素cij等于A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和.

例7-8

設(shè)甲、乙兩廠均生產(chǎn)型號(hào)為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三種機(jī)床，其年產(chǎn)量(單位：臺(tái))可用矩陣A表示為甲乙ⅠⅡⅢ生產(chǎn)這三種機(jī)床每臺(tái)的利潤(單位：萬元/臺(tái))可用矩陣B表示為關(guān)于矩陣乘法的運(yùn)算律，必須注意：

(1)矩陣的乘法不滿足交換律.在一般情況下，矩陣的乘法不可以交換，即AB≠BA.這是因?yàn)锳B有意義時(shí)，BA未必有意義.此外，即使AB與BA都有意義，兩者也未必相等.因此，矩陣相乘時(shí)有左乘與右乘的區(qū)別，通常將AB稱為A左乘B,或稱為B右乘A.

(2)矩陣的乘法不滿足消去律.兩個(gè)非零矩陣的積可能是零矩陣，例如，設(shè)7.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置

定義7.5

把矩陣A的行和列互換就得到一個(gè)新的矩陣，稱為這個(gè)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT.例如矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置也是一種運(yùn)算，滿足下述運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的)： 7.3方陣的行列式

7.3.1二階與三階行列式

1.二階行列式

對于二階方陣圖7-1圖7-2

n階方陣的行列式稱為n階行列式.方陣的有關(guān)術(shù)語如行、列、元素、主對角線、轉(zhuǎn)置以及方陣的有關(guān)名稱如上三角、下三角、對角等對行列式也都通用.

為了給出n階行列式的定義，先來研究三階行列式與二階行列式的關(guān)系.三階行列式可用二階行列式表示如下：上式給了我們一個(gè)啟示，高階行列式可由低階行列式來表示.

定義7.6

對于n階方陣A=(aij)n×n(i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)構(gòu)成的n階行列式7.3.3行列式的性質(zhì)

在一般情況下，n階行列式可按照定義化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算，但當(dāng)n比較大時(shí),計(jì)算是相當(dāng)困難的.

為了簡化n階行列式的計(jì)算，下面介紹行列式的有關(guān)性質(zhì).記行列式detAT稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)7.1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.

性質(zhì)7.2、性質(zhì)7.3、性質(zhì)7.6介紹了行列式關(guān)于行或列的三種運(yùn)算，即ri

rj、ri×k、ri+krj和ci

cj、ci×k、ci+kcj,這些運(yùn)算可簡化行列式的計(jì)算.特別是運(yùn)算ri+krj(或ci+kcj)可以把行列式中某些元素化為0,從而把行列式化為上三角行列式，算得行列式的值.例7-15計(jì)算

例7-16計(jì)算

解這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各列4個(gè)數(shù)之和都是6.今把第2、3、4行同時(shí)加到第1行，提出公因子6，然后各行減去第一行：7.3.4行列式按行(列)展開

按定義n階行列式可以化為第一行元素與對應(yīng)的n-1階行列式之積的代數(shù)和來計(jì)算，稱為行列式按第一行展開.行列式也能按其他行(列)展開.為此，先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念.

在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij；記Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.例如四階行列式

定理7.1

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

detA=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin

或 detA=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj

定理7.1叫做行列式按行(列)展開法則.利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，可以簡化行列式的計(jì)算.例7-17

計(jì)算下列行列式 7.4逆矩陣

下面從線性方程組的求解問題引進(jìn)逆矩陣的概念.

設(shè)給定線性方程組矩陣方程AX=B在形式上與最簡單的代數(shù)方程ax=b非常類似，分析代數(shù)方程ax=b的求解過程，對于求解矩陣方程會(huì)有啟發(fā).

當(dāng)a≠0時(shí)，存在著a的倒數(shù)(a-1也可以叫做a的逆元素).a-1乘方程ax=b的兩端，因?yàn)閍a-1=a-1a=1,所以得到方程的解x=a-1b.如果對n階方陣A也定義它的逆方陣A-1,使之滿足AA-1=A-1A=E,那么，用A-1乘矩陣方程AX=B的兩端就得到方程的解X=A-1B.7.4.1逆矩陣的概念與性質(zhì)

定義7.7

對于n階矩陣A,如果有矩陣B,使得

AB=BA=E

則說矩陣A是可逆的,并稱矩陣B為A的逆矩陣.A的逆矩陣記作A-1,則B=A-1.如果矩陣A是可逆的，那么A的逆矩陣是唯一的.這是因?yàn)椋涸O(shè)B、C都是A的逆矩陣，則有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C所以A的逆矩陣是唯一的.

關(guān)于矩陣的逆運(yùn)算具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)7.7

可逆矩陣A的逆矩陣A-1也是可逆矩陣，并且

(A-1)-1=A

性質(zhì)7.8

非零數(shù)k與可逆矩陣A的乘積矩陣kA也是可逆矩陣，并且

性質(zhì)7.9

兩個(gè)同階可逆矩陣的乘積矩陣是可逆矩陣，并且

(AB)-1=B-1A-1

性質(zhì)7.10

可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是可逆矩陣，并且

(AT)-1=(A-1)T

7.4.2方陣可逆的條件

設(shè)n階方陣

由方陣A中元素aij的代數(shù)余子式Aij(i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)按轉(zhuǎn)置方式排成的n階方陣，稱為方陣A的伴隨矩陣，記作

定理7.3

n階方陣A可逆的充分必要條件是detA≠0,并且當(dāng)A可逆時(shí)，A的逆矩陣可表示為其中,A*是A的伴隨矩陣.

上述定理不僅說明了n階方陣可逆的條件，而且在方陣可逆的情況下，給出了應(yīng)用伴隨矩陣求逆矩陣的方法.例7-19求矩陣X使?jié)M足 7.5矩陣的初等變換

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔?，為引進(jìn)矩陣的初等變換，先來分析用消元法解線性方程組的例子.

引例7-2

求解線性方程組：(B1)(B2)(B3)(B4)這里，式(1)→式(B1)是為了消去x1作準(zhǔn)備.式(B1)→式(B2)是保留式⑤中的x1,消去式⑥、式⑦、式⑧中的x1.式(B2)→式(B3)是保留式⑩中的x2并把它的系數(shù)變?yōu)?,然后消去式11、式12中的x2,此時(shí)恰好把x3也消去了.式(B3)→式(B4)是消去x4,此時(shí)恰好把常數(shù)也消去了，得到恒等式0=0(如果常數(shù)項(xiàng)不能消去，就將得到矛盾方程0=1,則說明方程組無解).至此消元完畢.式(B4)形式的線性方程組稱為階梯型方程組.

式(B4)是4個(gè)未知量3個(gè)有效方程的方程組.這樣，只需用“回代”的方法便能求出解.x1=x3+4x2=x3+3x4=-3其中,x3可任意取值.若令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的解可記作x1=c+4x2=c+3x3=c

x4=-3消元法解方程組所進(jìn)行的變換，可歸納為三種基本變換：

(1)互換兩個(gè)方程的位置；

(2)用一個(gè)非零的數(shù)乘一個(gè)方程；

(3)用一個(gè)數(shù)乘一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程上.

基本變換(1)、(2)、(3)稱為線性方程組的同解變換.

在上述變換過程中，實(shí)際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算.把方程組的上述三種基本變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換.定義7.8下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：

(1)對調(diào)兩行(對調(diào)i、j兩行，記作ri

rj)；

(2)以數(shù)k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,記作ri×k)；

(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上(第j行的k倍加到第i行上，記作ri+krj).

若把定義7.8中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(所用記號(hào)是把r換成c).矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.用矩陣的初等行變換解線性方程組更簡便.如對于引例7-2中求解的線性方程組2x1-x2-x3+x4=2①x1-x2-x3+x4=4②４x1-6x2+2x3-2x4③3x1+6x2-9x3+7x4=9④對其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換如下：

最后得到的矩陣稱為階梯型矩陣(全為零的行在矩陣的最下面；且不全為零的行的第一個(gè)不為零的元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)增加而嚴(yán)格增加).對應(yīng)的方程組為階梯型方程組回代即得方程組的解矩陣經(jīng)過初等行變換化為的階梯型矩陣中，不全為零的行的行數(shù)稱為矩陣的秩.該秩與對應(yīng)的階梯型方程組中有效的方程的個(gè)數(shù)相同.

用伴隨矩陣的方法求逆矩陣，需要計(jì)算眾多的代數(shù)余子式，這對于階數(shù)較大的矩陣來說是相當(dāng)困難的.下面介紹應(yīng)用行初等變換求逆矩陣的方法.

將n階可逆矩陣A與n階單位矩陣E并列，構(gòu)成一個(gè)n×2n矩陣(AE).對(AE)施行初等行變換，就相當(dāng)于對A和E施行相同的初等行變換，當(dāng)將左邊的A化為E時(shí)，右邊的E就隨之化為A-1了.即(AE) (EA-1)初等行變換

例7-20

用行初等變換的方法判斷下列方陣是否可逆?如果可逆，求其逆矩陣.至此，左邊的方陣中最后一行元素全部為零，所以B不可逆，即B-1不存在. *7.6線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

7.6.1投入/產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型

引例7-3表7-5是某地一個(gè)經(jīng)濟(jì)周期的投入/產(chǎn)出表.

在表7-5中有工業(yè)、農(nóng)業(yè)和其他三個(gè)部門，其中每個(gè)部門既是生產(chǎn)部門又是消耗部門.從表的橫行看，每一部門是生產(chǎn)部門，它向各部門提供中間產(chǎn)品作為各部門的生產(chǎn)消耗，并向社會(huì)提供最終產(chǎn)品以滿足消費(fèi)、積累和出口的需求；從表的縱列看，每個(gè)部門又是消耗部門，它消耗各部門所投入的生產(chǎn)資料和勞動(dòng).表7-5價(jià)值型投入/產(chǎn)出表投入/產(chǎn)出是研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門之間表現(xiàn)為投入與產(chǎn)出的相互依從關(guān)系的一種數(shù)量經(jīng)濟(jì)關(guān)系.它是經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.投入是指生產(chǎn)中的消耗，包括原材料、輔助材料、燃料、動(dòng)力的消耗及固定資產(chǎn)折舊和勞動(dòng)力等的消耗.產(chǎn)出是指生產(chǎn)出來的產(chǎn)品總量及其分配使用的去向和數(shù)量(生產(chǎn)消費(fèi)、生活消費(fèi)、積累和出口等).投入/產(chǎn)出模型種類很多，按編制劃分，有世界模型、全國模型、地區(qū)模型、部門模型、企業(yè)模型；按計(jì)量單位劃分，有價(jià)值模型和實(shí)物模型；按分析時(shí)期的不同，又可分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型.表7-5就是靜態(tài)價(jià)值型投入/產(chǎn)出表.下面通過靜態(tài)價(jià)值型投入/產(chǎn)出模型介紹投入/產(chǎn)出模型的基本原理和計(jì)算方法.

1.投入/產(chǎn)出表

將投入、產(chǎn)出兩部分按一定順序排列成棋盤式的表叫做投入/產(chǎn)出表.價(jià)值型投入/產(chǎn)出表中各產(chǎn)品都以貨幣單位計(jì)量，投入/產(chǎn)出表可分為四個(gè)部分，又稱為四個(gè)象限,如圖

7-3所示.圖7-3表7-6價(jià)值型投入/產(chǎn)出表

2.平衡方程

由表7-5可以看出，第Ⅰ部分和第Ⅱ部分的每一行都構(gòu)成一個(gè)等式，從而構(gòu)成一組等式:97+40+43+166=34634+35+26+122=21731+18+12+70=131一般地，在表7-6中，有方程組：x11+x12+…+x1n+y1=x1x21+x22+…+x2n+y2=x2

…xn1+xn2+…+xnn+yn=xn或簡寫為同樣，在表7-6中的第Ⅰ部分和第Ⅲ部分的列也構(gòu)成方程組:x11+x21+…+xn1+z1=x1x12+x22+…+xn2+z2=x2

…x1n+x2n+…+xnn+zn=xn或簡寫為其中表示第j部門在生產(chǎn)過程中消耗各部門的產(chǎn)品總和.我們把上述方程組叫做消耗平衡方程組.

3.直接消耗系數(shù)

為了描述各部門之間在生產(chǎn)技術(shù)上的數(shù)量關(guān)系，下面引入直接消耗系數(shù)的概念.

在表7-5中，農(nóng)業(yè)部門的總產(chǎn)品價(jià)值為217億元，即x2=217,但農(nóng)業(yè)部門在生產(chǎn)過程中消耗了工業(yè)部門40億元的產(chǎn)品，即x12=40,這就是說，農(nóng)業(yè)部門每生產(chǎn)價(jià)值1元的產(chǎn)品，需要直接消耗工業(yè)部門元的產(chǎn)品.類似地，農(nóng)業(yè)部門在生產(chǎn)過程中每生產(chǎn)價(jià)值1元的產(chǎn)品，還需要直接消耗本部門元的產(chǎn)品和其他部門元的產(chǎn)品.

定義7.9

我們把第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品直接消耗第i部門的產(chǎn)品量，叫做第j部門對第i部門的直接消耗系數(shù)，記作aij,即i=1,2,…,n；j=1,2,…,n

直接消耗系數(shù)構(gòu)成的n階矩陣叫做直接消耗系數(shù)矩陣，記作A,即在一定的技術(shù)水平和生產(chǎn)組織的條件下，直接消耗系數(shù)是相對穩(wěn)定的，因此利用關(guān)系式(E-A)X=Y可以對下期計(jì)劃進(jìn)行預(yù)測.如果已知總產(chǎn)品X，則由(E-A)X=Y可求最終產(chǎn)品Y；如果已知最終產(chǎn)品Y，則可證明矩陣(E-A)非奇異，于是由(E-A)X=Y可求得總產(chǎn)品X，即X=(E-A)-1Y

如果記如果已知總產(chǎn)品X，則由(E-D)X=Z可求行新創(chuàng)造的價(jià)值

Z；如果已知新創(chuàng)造的價(jià)值Z,則可證明矩陣(E-D)非奇異，于是由(E-D)X=Z可求得總產(chǎn)品X，即X=(E-D)-1Z

事實(shí)上，有

例7-21

設(shè)某單位有三個(gè)部門,在某一經(jīng)濟(jì)周期內(nèi)各部門的生產(chǎn)消耗量和社會(huì)需求的最終產(chǎn)品如表7-7所示.求:表7-7價(jià)值型投入/產(chǎn)出表

(1)總部門的總產(chǎn)品x1、x2、x3；

(2)各部門的最終產(chǎn)品y1、y2、y3；

(3)直接消耗系數(shù)矩陣.

解

(1)根據(jù)消耗平衡方程，得x1=30+50+30+90=200x2=60+100+100+140=400x3=30+30+60+180=300

4.完全消耗系數(shù)

我們知道，國民經(jīng)濟(jì)各部門之間除了發(fā)生直接聯(lián)系產(chǎn)生直接消耗外，還存在著間接的聯(lián)系，產(chǎn)生間接消耗.例如，鋼鐵工業(yè)生產(chǎn)中不僅直接消耗電力，同時(shí)還要消耗煤炭、機(jī)械、耐火材料等產(chǎn)品，而生產(chǎn)這些產(chǎn)品也同樣需要消耗電力.我們把第j部門生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)通過其他部門間接消耗第i部門的產(chǎn)品稱為第i部門對第j部門的間接消耗.定義7.10

第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品時(shí)對第i部門完全消耗的產(chǎn)品量稱為第j部門的完全消耗系數(shù)，記作bij,即(i,j=1,2,…,n),其中表示間接消耗的總和.

完全消耗系數(shù)從最終產(chǎn)品和總產(chǎn)品量的關(guān)系上闡明了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的規(guī)律，準(zhǔn)確、完整地反映了提供單位產(chǎn)品將對各部門總產(chǎn)品的完全消耗量的需求.在最終產(chǎn)品確定之后，預(yù)測各部門的總產(chǎn)品是非常有用的.

如果記B=(bij)則B稱為完全消耗系數(shù)矩陣.于是等式(i=1,2,…,n)的矩陣形式為

(2)由分配平衡方程組X=AX+Y,得即X=(150,200,150)T.7.6.2線性規(guī)劃模型

1.線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

引例7-4某加工廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ型電子產(chǎn)品，生產(chǎn)這兩種電子產(chǎn)品都需A、B兩種零件，生產(chǎn)一件Ⅰ型電子產(chǎn)品需在A、B零件上分別花時(shí)2h和1h，可獲利30元；生產(chǎn)一件Ⅱ型電子產(chǎn)品需在A、B零件上分別花時(shí)1h和2h，可獲利40元.

零件A每天最多加工工時(shí)為100h，零件B每天最多加工工時(shí)為90h.加工廠每天應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能使利潤最大？

解設(shè)Ⅰ、Ⅱ型電子產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別為x、y件.

對于零件A需滿足:2x+y≤100；

對于零件B需滿足：x+2y≤90.

又考慮到零件數(shù)都是件數(shù)且非負(fù),則x,y≥0且為整數(shù).

每天的利潤值為

S=30x+40y

該線性函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，本題就是求它在約束條件下的最大值.經(jīng)過上面的討論，得到線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為maxS=30x+40y

約束條件：2x+y≤100x+2y≤90x,y≥0且為整數(shù)上面這個(gè)例子具有這樣一類數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),表示約束條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式都是線性不等式(或等式)，表示問題的最優(yōu)化指標(biāo)的函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))都是線性函數(shù).我們把具有這種模型的問題稱為線性規(guī)劃問題.線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，線性規(guī)劃在科技、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛.

線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般形式是：

求一組變量x1,x2,…,xn的值，使其滿足約束條件:并使S=c1x1+c2x2+…+cnxn最大(或最小).我們稱x1,x2,…,xn為決策變量；滿足約束條件的解稱為線性規(guī)劃問題的可行解；使目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的可行解為最優(yōu)解；最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值為最優(yōu)值.

本小節(jié)我們先舉一些例子來討論如何建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，然后講述用圖解法求解兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題，

最后簡單介紹求解一般線性規(guī)劃問題的單純形法.

例7-24(產(chǎn)品決策問題)某汽車廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的汽車，已知生產(chǎn)每輛汽車所用的鋼材分別是2t和2t，該工廠每年供應(yīng)的鋼材為2000t.工廠每5h可生產(chǎn)甲型汽車，每2.5h可生產(chǎn)乙型汽車，工廠全年的有效工時(shí)為3500h.甲型汽車發(fā)動(dòng)機(jī)年供貨量為600臺(tái).每出售一臺(tái)甲型汽車可獲利5千元，出售一臺(tái)乙型汽車可獲利4千元.問在這些條件下，工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)才能使工廠獲利最大？

解設(shè)x1為年生產(chǎn)甲型汽車的數(shù)量(輛)，x2為生產(chǎn)乙型汽車的數(shù)量(輛).全年的利潤值：S=5x1+4x2

我們的目標(biāo)是使利潤越大越好，所以這個(gè)函數(shù)我們稱之為目標(biāo)函數(shù).約束條件是：

(1)原材料的限制:2x1+2x2≤2000；

(2)工時(shí)限制:5x1+2.5x2≤3500；

(3)甲型汽車發(fā)動(dòng)機(jī):x1≤600；

(4)非負(fù)限制：x1≥0,x2≥0；

所以我們可以用數(shù)學(xué)模型來表達(dá)：2x1+2x2≤20005x1+2.5x2≤3500x1≤600x1≥0,

x2≥0

例7-25(配方問題)某工廠配制某種飲料由甲、乙兩種原料合成.甲種原料每千克分別含糖20g、蛋白質(zhì)50g，購買此種飲料的價(jià)格為5元/千克；乙種飲料每千克分別含糖30g、蛋白質(zhì)20g，購買此種飲料的價(jià)格為3元/千克.現(xiàn)要求這批飲料至少含糖100g、蛋白質(zhì)120g，問如何配料，使得成本最低.

解設(shè)這批飲料有甲種飲料x1(kg)，乙種飲料x2(kg)，因此這批飲料至少含糖為：20x1+30x2≥100；至少含蛋白質(zhì)為:50x1+20x2≥120；又x1、x2是非負(fù)實(shí)數(shù),表示為x1≥0,x2≥0,上面得到的線性不等式為約束條件.這批飲料的成本為S=5x1+3x2(元)，這個(gè)線性函數(shù)即為目標(biāo)函數(shù)，依題意就是在約束條件下的最小值，即最優(yōu)解.經(jīng)過上面的討論，得到這個(gè)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型：

2.兩個(gè)變量線性規(guī)劃問題的圖解法

圖解法是一種求解線性規(guī)劃問題的幾何方法，該方法比較直觀，對理解線性規(guī)劃問題的性質(zhì)和解的情況有較大幫助.下面通過例子說明

圖解法.

例7-26

用圖解法求解下列線性規(guī)劃問題：maxS=2x1+5x2

x1≤4x2≤3x1+2x2≤8x1≥0,

x2≥0

解

(1)畫出可行域.我們把x1、x2看成坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，那么滿足約束條件中每一個(gè)不等式的點(diǎn)集就是一個(gè)半平面.因?yàn)榧s束條件是由五個(gè)不等式組成的，所以滿足約束條件的點(diǎn)集是五個(gè)半平面的相交部分.即圖7-4中凸多邊形OABCD上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)，都同時(shí)滿足約束條件中的五個(gè)不等式；凸多邊形外任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都不能同時(shí)滿足這五個(gè)不等式.所以凸多邊形OABCD上的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)線性規(guī)劃問題的一個(gè)可行解.凸多邊形上點(diǎn)的全體構(gòu)成這一線性規(guī)劃問題的可行解全體，稱為可行解集.凸多邊形OABCD所確定的區(qū)域?yàn)榭尚杏?

(2)作等值線.我們再在全體可行解中找一個(gè)最優(yōu)解，就是找使目標(biāo)函數(shù)值最大的可行解.為此，給定一個(gè)值，比如S=4,那么2x1+5x2=4是坐標(biāo)平面上一條直線.在該直線介于凸區(qū)域中的線段上任何一點(diǎn)都使目標(biāo)函數(shù)取值為4,我們稱這樣的直線為等值線.

(3)再令目標(biāo)函數(shù)值分別為8、15、19…作平行直線族，由圖7-4可以看出，當(dāng)該值愈大，直線離開原點(diǎn)愈遠(yuǎn).

(4)找最優(yōu)解.這一問題變成為：在以上平行線中找出一條，使其與凸多邊形OABCD相交，而又盡可能地離原點(diǎn)最遠(yuǎn).從圖7-4中顯然可見，經(jīng)過B點(diǎn)的一條即符合要求，即B點(diǎn)坐標(biāo)既滿足約束條件，又使目標(biāo)函數(shù)取最大值.解x2=9x1+2x2=8得最優(yōu)解為x1=2,

x2=3.相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的最大值為S=2×2+5×3=19圖7-4

例7-27

用圖解法求解下列線性規(guī)劃問題：maxS=2x1+2x2

x1≤4x2≤3x1+2x2≤8x1≥0,

x2≥0解畫出可行域：畫出直線x1-x2=1,x1-2x2=0；并確定四個(gè)半平面，x1-x2≥1、x1-2x2≥0、x1≥0、x2≥0的重疊部分，記作OBC(參見圖7-5).

畫等值線：令S=0,2,4,…在可行域OBC上作目標(biāo)函數(shù)等值線(圖7-5中的虛線).可以看出，當(dāng)?shù)戎稻€在可行域中向上平移時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值增大，且在可行域內(nèi)的C點(diǎn)處取最大值.而C點(diǎn)的坐標(biāo)由解方程組得到x1=2,x2=2,目標(biāo)函數(shù)的最大值S=6.圖7-5

例7-28

用圖解法求解下列線性規(guī)劃問題：maxS=3x1+2x2

-x1+x2≥1x1+x2≤-1x1≥0,x2≥0

解在平面直角坐標(biāo)系中畫出四個(gè)半平面-x1+x2≥1、x1+x2≤-1、x1≥0、x2≥0.可以看出，這四個(gè)半平面無公共部分，所以無可行域(參見圖7-6)，該線性規(guī)劃問題無可行解，故無最優(yōu)解.圖7-6

3.單純形法

對于變量較少的線性規(guī)劃問題可以用圖解法從可行域的有限個(gè)定點(diǎn)中找到最優(yōu)解，但變量較多的時(shí)候該方法就受到局限.20世紀(jì)40年代末期，美國數(shù)學(xué)家丹齊克首先運(yùn)用了單純形法，隨著單純形法的使用，線性規(guī)劃問題得到更廣泛的應(yīng)用.

1)基本概念

線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的一般形式中包含了多種形式，

給求解帶來諸多不便，因此，通常把一般線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式.

定義7.11

線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型為(7-1)(7-2)i=1,2,…,m；bi≥0xi≥0,

j=1,2,…,n

(7-3)

通過上述定義我們知道線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

(1)求目標(biāo)函數(shù)的最大值.

(2)所有的約束方程都用等式表示.

(3)所有的變量都是非負(fù)的.

(4)約束方程等式右邊的常數(shù)(稱為約束常數(shù))都是非負(fù)的.對一般的線性規(guī)劃問題，可通過下面幾種變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

(1)如果目標(biāo)函數(shù)是求最小值，即求minS=CX,則只需令S′=-S即可化為求minS′=-CX的標(biāo)準(zhǔn)形式.

(2)單純形法是在標(biāo)準(zhǔn)形式下進(jìn)行的，而線性規(guī)劃問題的問題模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，變量的個(gè)數(shù)就會(huì)增加.如果在約束條件中含有的不等式為ai1x1+ai2x2+…+ainxn≤bi

則在不等式的左邊加一個(gè)非負(fù)變量xn+i,使得不等式變?yōu)榈仁?，即ai1x1+ai2x2+…+ainxn＋xn＋i＝bi

如果在約束條件中含有的不等式為ai1x1+ai2x2+…+ainxn≥bi

則在不等式的左邊減一個(gè)非負(fù)變量，使得不等式變?yōu)榈仁?，即ai1x1+ai2x2+…+ainxn-x-xn+i=bi

這里，我們把引進(jìn)的新變量xn+i稱為松馳變量(也稱為人工變量).

(3)如果約束常數(shù)bi<0,則只需在第i個(gè)約束方程的兩邊同乘以-1,便可使得-bi>0.

(4)如果約束某一變量xj無非負(fù)限制，則可用兩個(gè)非負(fù)新變量xjm和xjn之差代替，即將

xj=xjm-xjn

代入原問題中.

定義7.12

對于線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式，如果在含有n個(gè)變量的m個(gè)約束方程的系數(shù)矩陣中，存在m階單位矩陣，或經(jīng)過行的初等變換后有m階單位矩陣，我們就把m階單位矩陣所在列對應(yīng)的變量稱為基變量；其余變量稱為非基變量.

例如某約束方程的系數(shù)矩陣為x1

x2

x3

x4

-1

1

1

01

2

0

1A=則x3、x4為基變量，x1、x2為非基變量.同時(shí)把x3、x4所對應(yīng)的列形成的矩陣稱為基陣，記為定義7.13在線性規(guī)劃問題中，非基變量取零值時(shí)所得到的解稱為基本解.如果基本解又滿足非負(fù)條件，則稱為基本可行解，簡稱基可行解.能使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的基可行解，則稱為最優(yōu)基可行解.

從上述定義可以看出，基本可行解一定是基本解，也一定是可行解，但反之不然.

2)單純形解法

(1)建立初始基本可行解.在線性規(guī)劃問題中，約束條件多為不等式，所以首先要將其化為標(biāo)準(zhǔn)型，如例7-24(產(chǎn)品決策問題)的例子，需要引入三個(gè)變量x3、x4、x5就可化為標(biāo)準(zhǔn)型:

這里新增加的三個(gè)變量x3、x4、x5稱為松弛變量.對應(yīng)的單純形矩陣為取標(biāo)準(zhǔn)形式的約束方程組中的變量x3、x4、x5的系數(shù)列矩陣組成一個(gè)基矩陣B1，則對應(yīng)的基變量為x3、x4、x5,非基變量為x1、x2.當(dāng)x1=x2=0,

得到一個(gè)基本可行解為X0=(0,0,2000,3500,600)T,對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值S0=0,它的物理意義是：兩種汽車都不生產(chǎn)，

因而剩余的材料為2000t,剩余的工時(shí)為3500h，剩余的座椅是600套，利潤為零.(2)最優(yōu)解檢驗(yàn)規(guī)則.找到一個(gè)可行解之后，我們要判斷它是不是最優(yōu)解.判斷的方法是檢查目標(biāo)函數(shù)中是否還有正的系數(shù)，若有正系數(shù)存在，則說明還有更好的解.例如本例的目標(biāo)函數(shù)S=5x1+4x2+0x3+0x4+0x5

說明當(dāng)x3、x4、x5變化時(shí)不會(huì)使S變化，而增加x1或x2卻可以使S增加，因此用非基變量來代替基變量，只有當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)全部為負(fù)值或零時(shí)，此時(shí)的解才是最優(yōu)解.

(3)尋找更好的可行解.

為使目標(biāo)函數(shù)逐步優(yōu)化，可從目標(biāo)函數(shù)S=5x1+4x2分析：因?yàn)閤1、x2的系數(shù)為正數(shù)，所以將它們中的某一個(gè)換成基變量(換入的稱為進(jìn)基變量，換出的稱為出基變量)，為使目標(biāo)函數(shù)值增加得多些，對x1、x2的系數(shù)作如下選擇： max{5,4}=5

即選取系數(shù)最大的非基變量進(jìn)基.有了進(jìn)基變量，就必須從原基變量中換一個(gè)出基.那么將原基變量中的哪一個(gè)換成非基變量呢？我們對式①中x1列的三個(gè)大于零的系數(shù)分別去除同行的常數(shù)項(xiàng)b,取比值最小的那一行的基變量為換出基變量.②其中最小的比值是600,所以取對應(yīng)的x5為換出基變量.有了換入的非基變量x1和換出的基變量x5, 我們得到了一組新的基變量x3、x4、x1,以它們對應(yīng)的系數(shù)為新的基，求出一組新解.將增廣矩陣式②施以行初等變換，使第一列中的第一行和第二行元素為零，得到③因此對應(yīng)約束方程化為④對應(yīng)的基陣是令非基變量x2=x5=0，得到基本可行解X1=(600,0,800,500,0)T,將式④代入對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)得S1=5x1+4x2=5(600-x5)+4x2=3000可見目標(biāo)函數(shù)值增加了，同時(shí)從非基變量x2的系數(shù)為正說明,增加x2還可以使目標(biāo)函數(shù)值增加，因此還需進(jìn)行第二次迭代.(4)尋找更好的可行解.對于S1中的x2的系數(shù)為正，確定x2為換入基變量，讓非基變量x2進(jìn)基，x5保持不變，在其余幾個(gè)原基變量中選定一個(gè)變量出基.用式③中x2列的大于零的系數(shù)去除b項(xiàng)，取比值θ最小的那一行基變量x4為換出基變量，對增廣矩陣式③施以初等行變換，得⑤⑥對應(yīng)的基矩陣為令非基變量x4=x5=0,得一組基本可行解X1=(600,200,400,0,0)T.將式⑥代入目標(biāo)函數(shù)得S2=5x1+4x2

=5(600-x5)+4(200-0.4x4+2x5)=3800-1.6x4+3x5

=3800目標(biāo)函數(shù)值在增加，但式中的x5的系數(shù)為正，說明增加x5還可以使目標(biāo)函數(shù)值增加，因此還需進(jìn)行尋找更優(yōu)解.

(5)尋找最優(yōu)解.對于S2中x5的系數(shù)為正，確定x5為換入基變量，讓非基變量x5進(jìn)基，用x5列的大于零的系數(shù)去除同行的常數(shù)項(xiàng)，取θ最小的那行的基變量x3為換出基變量.⑦⑧

3)單純形表

在上例的解法中，基本思路是把線性規(guī)劃模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從一個(gè)基本可行解開始，用換基迭代方法，轉(zhuǎn)換到另一個(gè)基本可行解，使目標(biāo)函數(shù)值逐步增大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，也就是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.這種方法稱為單純形法.

為簡化這一過程，將它列成一張表格，我們把這張表稱為單純形表.表7-8在例7-24中對應(yīng)的單純形表如表7-8所示，表中第三行第一列的數(shù)為目標(biāo)函數(shù)非基化后的系數(shù)，稱為檢驗(yàn)數(shù).從分析知道，當(dāng)檢驗(yàn)數(shù)全部非正時(shí)，目標(biāo)函數(shù)才取最優(yōu)值.最大正檢驗(yàn)數(shù)所在的列稱為主元列，對應(yīng)的變量為進(jìn)基變量.用主元列中的正分量去除b列所對應(yīng)的分量，取最小比值的元素稱為軸心項(xiàng)(即表中加框的數(shù)),軸心項(xiàng)所在的行對應(yīng)的基變量為出基變量.換基變換的過程稱為換基迭代.它主要是在單純形表中，利用矩陣的初等行變換，將軸心項(xiàng)化為“1”,主元列的其他元素化為“0”.因此上例中的后三步可分別用表7-9、表7-10、表7-11來表示.表7-9表7-10表7-11

解首先將約束條件標(biāo)準(zhǔn)化:例7-29用單純形法求解maxZ=2x1+4x2

maxZ=2x1+4x2

用單純形表作換基迭代，過程如表7-12所示.表7-12

在表7-12中，檢驗(yàn)數(shù)全非正，迭代結(jié)束，最優(yōu)解為X=(2,3,2,0,0)T,最優(yōu)值Z=16.

實(shí)訓(xùn)7.6

1.填空題.

(1)投入產(chǎn)出表分為

部分，由第

部分組成了分配平衡方程組，由第

部分組成了消耗平衡方程組.

(2)直接消耗系數(shù)aij的計(jì)算公式是

,其中是中間產(chǎn)品，

是總產(chǎn)品.

(3)設(shè)A是直接消耗系數(shù)矩陣，Y是最終產(chǎn)品，則當(dāng)A和Y已知時(shí)，求總產(chǎn)品X的公式是

.

(1)求各部門最終產(chǎn)品；

(2)若各部門固定資產(chǎn)折舊分別為40、80、50,求各部門新創(chuàng)造價(jià)值；

(3)求直接消耗系數(shù)矩陣.

3.兩部門直接消耗系數(shù)矩陣為最終產(chǎn)品，求總產(chǎn)品.

4.兩部門的直接消耗系數(shù)矩陣求完全消耗系數(shù)B.

*5.有兩個(gè)煤廠A、B每月分別進(jìn)煤60t、100t.它們擔(dān)負(fù)供應(yīng)三個(gè)居民區(qū)的用煤任務(wù).這三個(gè)區(qū)每月需用煤分別為45t、75t、40t.A廠離這三個(gè)區(qū)分別為10km、5km、6km，B廠離這三個(gè)區(qū)分別為4km、8km、15km.問這兩個(gè)煤廠如何分配供煤，才使運(yùn)輸量最小，寫出其數(shù)學(xué)形式.*6.某班有男同學(xué)30人、女同學(xué)20人去植樹.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一天男同學(xué)平均每人挖抗15個(gè)，或栽樹30棵，或給25棵樹澆水；女同學(xué)平均每人挖坑10個(gè)，或栽樹20棵，或給15棵樹澆水.問怎樣安排，才能使植樹最多？寫出其數(shù)學(xué)形式.

*7.用圖解法解下列線性規(guī)劃問題：

(1)maxS=3x1+2x2

(2)

maxZ=4x1+3x2

*8.用單純法解線性規(guī)劃問題:maxS=3x1+x2

*9.用單純形法解線性規(guī)劃問題:maxS=x1+2x2+4x3

7.7用MATLAB計(jì)算矩陣和解線性方程組

1.用MATLAB計(jì)算行列式

在MATLAB中用命令函數(shù)det求行列的值，格式如下：

det(A)

其中A為n階方陣.

范例7-1

求矩陣的行列式的值.

解程序如下:

>>clear

>>A=[1021；-1223；2331；0121]；

>>det(A)運(yùn)行結(jié)果:

ans=

14

程序說明:矩陣的輸入可以有兩種格式，除程序中的輸入方式外，還可以如下輸入:A=[1,0,2,1；-1,2,2,3；2,3,3,1；0,1,2,1]

范例7-2

計(jì)算行列式a

1

0

0-1

b

1

00

-1

c

10

0

-1

d的值.

解程序如下:

>>clear

>>symsabcd

[WB]%生成變量

>>A=[a100；-1b10；0-1c1；00-1d]；%生成符號(hào)矩陣

>>DA=det(A)運(yùn)行結(jié)果：

DA=

a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1程序說明：函數(shù)det也可以用于計(jì)算含有變量的行列式.

2.用MATLAB計(jì)算矩陣

范例7-3求矩陣1

2

3

2

1

2

3

3

1與矩陣

3

2

4

2

5

3

2

3

1的和與差.

解程序如下:

>>clear

>>A=[123；212；331]；

>>B=[324；253；231]；

>>C=A+B；

>>D=A-B；

>>C,DB=運(yùn)行結(jié)果:

C=

4

4

7

4

6

5

5

6

2

D=

-2

0

-1

0-4

-1

1

0

0范例7-4

求矩陣與矩陣的乘積.

解程序如下:

>>clear

>>A=[123；212；331]；

>>B=[324；253；231]；

>>C=A*B,D=B*A運(yùn)行結(jié)果:

C=

13

21

13 12

15

13 17

24

22

D=

19

20

17 21

18

19 11

10

13

范例7-5

求矩陣的逆矩陣.解程序如下:

>>clear

>>A=[1-12；01-1；210]；

>>C=inv(A)運(yùn)行結(jié)果:

C=

-1

-2

1 2

4

-1 2

3

-1

范例7-6

利用矩陣的初等行變換求上例矩陣的逆.

解程序如下:

>>clear

>>B=[1-12100；01-1010；210001]；

%矩陣A的增廣矩陣

>>formatrat%以有理格式輸出

>>C=rref(B)%給出矩陣B的行最簡形

C=

1

0

0

-1

-2

1

0

1

0

2

4

-1

0

0

1

2

3

-1

>>D=C(:,4:6)%取矩陣C的4到6列,D即為矩陣A的逆矩陣

D=

-1

-2

1

2

4

-1

2

3

-1

在MATLAB中，矩陣相除可以利用運(yùn)算符“\”（左除）和“/”（右除）進(jìn)行.

范例7-7

求矩陣和相除.

解程序如下：

>>clear

>>A=[123；421；213]；

>>B=[212；121；321]；

>>C=A＼B

%矩陣左除，相當(dāng)于inv(A)*B,inv(A)為矩陣A的逆

C=

0.3333

0.6000

-0.2000

-0.6667

-0.4000

0.8000

1.0000

0.4000

0.2000

>>D=A/B

%矩陣右除，相當(dāng)于A*inv(B)

D=

1.3333

1.3333

-1.0000

0

-0.5000

1.5000

1.6667

0.