第五章 四邊形 章節(jié)構建二 特殊四邊形的性質及判定 學案（含答案）2025年中考數(shù)學人教版一輪復習

章節(jié)構建二特殊四邊形的性質及判定

回歸教材·過基礎

【考點清單】

知識點特殊四邊形的定義及性質

特殊四邊形平行四邊形矩形菱形正方形

圖形

四條邊②,四條邊相等,

邊對邊①對邊相等且平行

對邊③對邊平行

兩組對角分別四個角④四個角相等

角兩組對角分別相等

相等(都是直角)(都是直角)

互相平分且垂直、

互相⑤,

對角線互相平分互相平分且相等相等,平分一組對

平分⑥

性質角

既是中心對稱圖既是中心對稱圖既是中心對稱圖

中心對稱圖形形,也是軸對稱圖形,也是軸對稱圖形,也是軸對稱圖

對稱性形,有2條對稱軸形,有2條對稱軸形有4條對稱軸

對稱中心為對角線的交點

周長C=2(a+b)C=2(a+b)C=4aC=4a

面積S=ahS=abS=ah=mnS=a2=m2

11

22

【基礎演練】

1.矩形的性質與判定:

(1)如圖1,在?ABCD中,AC,BD相交于點O,請?zhí)砑右粋€條件(寫出一個即可),

使四邊形ABCD是矩形.

(2)在(1)的結論下,

①若∠BAC=30°,則∠AOD=;

②若∠ADO=60°,BD=8,則OA的長為,矩形ABCD的面積為;

③過點O作OE∥DC交BC于點E,若OE=8,BE=6,則AC的長為,

矩形ABCD的周長為.

(3)如圖2,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,對角線AC,BD相交于點O,M,N分別是OC,BC的中點,

連接ON,MN,則△OMN的周長為.

2.菱形的性質與判定:

(1)如圖1,在?ABCD中,AC,BD相交于點O,請?zhí)砑右粋€條件(寫出一個即可),

使四邊形ABCD是菱形.

(2)在(1)的結論下,完成下列問題:

①若AC=12,BD=16,則AO=,BO=,AB=,AD=;

②若∠ABC=60°,AB=4,則∠BAD=,∠BAC=,∠ABD=,

AC的長是,BD的長是,四邊形ABCD的面積是,

四邊形ABCD的周長是;

③若tan∠BAC=,AC=12,則BD的長是;

4

3

④若AB=10,E是CD的中點,連接OE,則OE的長是;

⑤過點O作OF⊥BC于點F,若AC=12,BD=16,則OF的長是.

(3)如圖2,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,過點A作AH⊥BC于點H,

若cos∠ABC=,CH=4,則AH的長是,AC的長是,菱形ABCD的面積為.

3

5

3.正方形的性質與判定:

如圖1,已知在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O.

(1)∠ABC=,∠BAC=,∠AOD=;

(2)若AD=4,則AB=,BC=,AC=,BD=,BO=;

(3)若OC=2,則正方形ABCD的邊長是,面積是,周長是;

(4)如圖2,在正方形ABCD的外側作等邊△DCE,則∠EAC=.

真題精粹·重變式

考向1矩形的性質與判定6．年．4．考．

1.(2021·福建)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E,F分別是邊AB,BC上的動點,點E不與點A,B

重合,且EF=AB,G是五邊形AEFCD內滿足GE=GF且∠EGF=90°的點.現(xiàn)給出以下結論:

①∠GEB與∠GFB一定互補;

②點G到邊AB,BC的距離一定相等;

③點G到邊AD,DC的距離可能相等;

④點G到邊AB距離的最大值為2.

其中正確的是.(寫出所2有正確結論的序號)

熱點訓練

2.如圖,將矩形紙片ABCD的兩個直角進行折疊,使CB,AD恰好落在對角線AC上,點B',D'分別是

點B,D的對應點,折痕分別為CF,AE.若AB=4,BC=3,則線段B'D'的長是()

A.B.2C.D.1

53

22

考向2菱形的性質與判定6．年．1．考．

3.(2023·福建)如圖,在菱形ABCD中,AB=10,∠B=60°,則AC的長為.

熱點訓練

4.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點C作CE∥BD交AB的延長線于點

E,下列結論不一定正確的是()

A.OB=CE

1

2

B.△ACE是直角三角形

C.BC=AE

1

2

D.BE=CE

考向3正方形的性質與判定6．年．2．考．

5.(2024·福建)如圖,正方形ABCD的面積為4,E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,AD的中點,則四邊形

EFGH的面積為.

6.(2021·福建)如圖,在正方形ABCD中,E,F為邊AB上的兩個三等分點,點A關于DE的對稱點為

點A',AA'的延長線交BC于點G.

(1)求證:DE∥A'F.

(2)求∠GA'B的大小.

(3)求證:A'C=2A'B.

熱點訓練

7.四邊形具有不穩(wěn)定性,對于四條邊長確定的四邊形,當內角度數(shù)發(fā)生變化時,其形狀也會隨之改

變.如圖,改變正方形ABCD的內角,正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC'D'.若∠D'AB=30°,則菱形ABC'D'

的面積與正方形ABCD的面積之比是()

A.1B.C.D.

123

222

核心突破·拓思維

考點1矩形的性質和判定

如圖,在?ABCD中,AC⊥BC,過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E,M為AB的中點,

連接CM.

(1)求證:四邊形ADEC是矩形.

(2)若CM=5,AC=8,求四邊形ADEB的面積.

如圖,在矩形ABCD中,點E在邊BC上,F是AE的中點,AB=6,AD=ED=10,則BF的長為

()

A.B.2C.D.2

551010

如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AB=6,BC=8,P是AD上不與點A,D重合的

一個動點,過點P分別作AC和BD邊上的垂線,垂足分別為E,F,則PE+PF的值為()

A.B.C.D.

48322412

5555

已知菱形ABCD的對角線AC,BD交于點O,CE∥OD,DE∥OC.求證:四邊形OCED是矩

形.

如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.

(1)求證:DF=CF.

(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面積.

考點2菱形的性質和判定

如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上,BE=BF,DE,DF分別與AC交于點M,N.

(1)求證:

①△ADE≌△CDF.

②ME=NF.

(2)連接BM,BN,求證:四邊形BMDN是菱形.

(3)若AB=4,BD=2,∠MDN=60°,求AM的長及菱形ABCD的面積.

如圖,在△ABC中,D是AC的中點,過點D作DE⊥AC交BC于點E,過點A作AF∥BC

交DE的延長線于點F,連接AE,CF.

(1)求證:四邊形AECF是菱形.

(2)若CF=8,∠FAC=30°,∠B=45°,求AB的長.

考點3正方形的性質和判定

探究:(課本改編)如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊上一點,點F在AB的延長線上,且

BE=BF,延長AE交CF于點M,連接BM.

(1)猜想AE與CF的關系,并證明你的結論.

(2)求證:AM⊥CF.

(3)求證:AE·ME=CE·BE.

(4)求證:∠AMB=45°.

(5)如果正方形ABCD的邊長為2,E是邊BC的中點,求FM的長.

(6)猜想AM,CM,BM之間的數(shù)量關系,并證明你的結論.

參考答案

回歸教材·過基礎

考點清單

①相等且平行②相等③平行④相等⑤平分且垂直⑥一組對角

基礎演練

1.(1)∠ABC=90°(2)①60°②416③2056(3)4

2.(1)AB=AD3

(2)①681010②120°60°30°448

16③16④5⑤33

24

5

(3)8480

3.(1)90°545°90°

(2)44442

(3)282822

(4)30°22

真題精粹·重變式

1.①②④2.D3.104.D

5.2解析:如圖,連接HF,EG.

∵正方形ABCD的面積為4,

∴BC∥AD,BC=AD=2.

∵H,F分別為邊DA,BC的中點,

∴四邊形BFHA是平行四邊形,

∴AB=HF=2,AB∥HF.

同理BC=EG=2,BC∥EG.

∵AB⊥BC,

∴HF⊥EG,

∴四邊形EFGH的面積是EG×HF=×2×2=2.

11

22

故答案為2.

6.解析:(1)證明:如圖,設AG與DE的交點為O,連接GF.

∵點A關于DE的對稱點為A',

∴AO=A'O,AA'⊥DE.

∵E,F為邊AB上的兩個三等分點,

∴AE=EF=BF,

∴DE∥A'F.

(2)∵AA'⊥DE,

∴∠AOE=90°=∠DAE=∠ABG,

∴∠ADE+∠DEA=90°=∠DEA+∠EAO,

∴∠ADE=∠EAO.

在△ADE和△BAG中,

∠ADE=∠EAO,

AD=AB,

∴∠△DAAED=E≌∠A△BBGA=G9(A0°S,A),

∴AE=BG,

∴BF=BG,

∴∠GFB=∠FGB=45°.

∵∠FA'G=∠FBG=90°,

∴F,B,G,A'四點共圓,

∴∠GA'B=∠GFB=45°.

(3)證明:設AE=EF=BF=BG=a,

∴AD=BC=3a,FG=a,

∴CG=2a.2

在Rt△ADE中,DE===a=AG.

2222

AD+AE9a+a10

∵sin∠EAO=sin∠ADE,

∴=,

OEAE

AEDE

∴=,∴OE=a,

OEa10

a10a10

∴AO===a=A'O,

2

222a310

AE-OEa-1010

∴A'G=a.

210

∵AO=A'5O,AE=EF,

∴A'F=2OE=a.

10

∵∠FA'G=∠F5BG=90°,

∴∠A'FB+∠A'GB=180°.

∵∠A'GC+∠A'GB=180°,

∴∠A'FB=∠A'GC.

又∵==,

A'F1BF

A'G2CG

∴△A'FB∽△A'GC,

∴=,

A'B1

A'C2

∴A'C=2A'B.

7.B

核心突破·拓思維

例1解析:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,點E在BC的延長線上,

∴DA∥CB,即DA∥CE.

又∵DE∥AC,

∴四邊形ADEC是平行四邊形.

∵AC⊥BC,

∴∠ACB=∠ACE=90°,

∴平行四邊形ADEC是矩形.

(2)∵在平行四邊形ABCD中,AC是對角線,且AC⊥BC,

∴△ABC是直角三角形.

∵M為斜邊AB的中點,且CM=5,AC=8,

∴AB=2CM=2×5=10,

∴BC===6.

2222

由(1)可知A平B行-A四C邊形10A-D8EC是矩形,AC⊥BC,DE⊥BE,

∴AC=DE=8,AD=CE=BC=6,∴BE=12,

∴S四邊形ADEB===72.

(AD+BE)·AC(6+12)×8

22

變式1C

變式2C

變式3證明:∵CE∥OD,DE∥OC,

∴四邊形OCED是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,

∴平行四邊形OCED是矩形.

變式4解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴OC=AC,OD=BD,AC=BD,

11

22

∴OC=OD,

∴∠ACD=∠BDC.

∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,

∴∠CDF=∠DCF,

∴DF=CF.

(2)由(1)可知DF=CF.

∵∠CDF=60°,

∴△CDF是等邊三角形,

∴CD=DF=6.

∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,

∴△OCD是等邊三角形,

∴OC=OD=CD=6,

∴BD=2OD=12.

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠BCD=90°,

∴BC===6,

2222

∴S矩形ABBCD=-BCCD·CD=162-6×6=363.

例2解析:(1)①證明:∵3四邊形A3BCD是菱形,

∴DA=DC,∠DAE=DCF,AB=CB.

∵BE=BF,∴AE=CF.

在△ADE和△CDF中,

DA=DC,

∠DAE=∠DCF,

∴A△E=ADCEF,≌△CDF(SAS).

②證明:由①知△ADE≌△CDF,

∴∠ADM=∠CDN,DE=DF.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠DAM=∠DCN.

∵∠ADM=∠CDN,∴∠DMA=∠CND,

∴∠DMN=∠DNM,∴DM=DN,

∴DE-DM=DF-DN,∴ME=NF.

(2)證明:如圖,連接BD,交AC于點O.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,OB=OD,

由(1)②知DM=DN,

∴OM=ON,

∴四邊形BMDN是菱形.

(3)如圖,∵四邊形ABCD是菱形,BD=2,AB=4,

∴AC⊥BD,OB=OD=1,

∴OA=OC==.

22

∵DM=DN,∠4M-D1N=6105°,

∴∠MDO=∠NDO=30°,

∴MD=2MO,

∴DM2=(2OM)2=OM2+OD2,

即3OM2=1,

∴OM=,

3

3

∴AM=OA-OM=-,

3

153

∴S菱形ABCD=AC·BD=×2×2=2.

11

22

變式解析:(1)證明:在△AB15C中,D是15AC的中點,

∴AD=DC.

∵AF∥BC,

∴∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED.

在△AFD和△CED中,

∠FAD=∠ECD,

∠AFD=∠CED,

∴A△D=AFCDD≌,△CED(AAS),∴AF=CE,

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∵EF⊥AC,

∴平行四邊形AECF是菱形.

(2)如圖,過點A作AG⊥BC于點G.

由(1)知四邊形AECF是菱形,

又∵CF=8,∠FAC=30°,

∴AE=CF=8,∠FAE=2∠FAC=60°,

∴∠AEB=∠FAE=60°.

∵AG⊥BC,

∴∠AGB=∠AGE=90°,

∴∠GAE=30°,

∴AG=AE=4.

3

23

∵∠B=45°,

∴∠GAB=∠B=45°,

∴AB=AG=4.

例3解2析:(1)AE6=CF.

證明:∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°=∠CBF,AB=CB.

在△ABE和△CBF中,

AB=CB.

∠ABC=∠CBF,

∴B△E=ABBEF≌,△CBF(SAS),

∴AE=CF.

(2)證