已知兩點坐標四種方法計算x軸點P到兩點距離和最小值的方法步驟A9

-4-已知A(2,39),B(3,10),求x軸上點P到A,B距離和最小值主要內容：本文通過解析幾何直線性質、三角形三邊關系以及導數法，介紹已知A(2,39),B(3,10)求x軸上點P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對稱分析法根據兩點間直線距離最短，先找出其中1個點關于x軸對稱點，再與另外一個點連成直線，則直線與x軸的交點即為所求的p點。☆.找關于A點對稱步驟：A(2,39)B(3,10) xP(eq\f(137,49),0)A1(2,-39)此時A關于x軸的對稱點為A1(2,-39)，此時直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(10-(-39),3-2)=49,則其直線方程為:y-10=49*(x-3).令y=0，代入求出x=eq\f(137,49),所以p(eq\f(137,49),0).☆.找關于B點對稱步驟：A(2,39)B(3,10) xP(eq\f(137,49),0)B1(3,-10)此時B關于x軸的對稱點為B1(3,-10)，此時直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(39-(-10),2-3)=-49,則其直線方程為:y-39=-49(x-2).令y=0，代入求出x=eq\f(137,49),所以p(eq\f(137,49),0).?.三角形分析法已知A(2,39),B(3,10),求x軸上點P有其到A,B距離和最小，即問題轉化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(842)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(2,39)B(3,10)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當BP與AP的夾角越接近180°時，AP+PB的值最小,設p點坐標為P(x,0)，x∈(2,3),此時AP和PB的斜率絕對值相等。又Kap=eq\f(39,2-x)，kbp=eq\f(10,3-x)，所以：|eq\f(39,2-x)|=|eq\f(10,3-x)|，求出x=eq\f(137,49)，其中x=eq\f(97,29)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時間最短路程傳播。B(3,10)A(2,39) 90°-θθP(x,0)x所求點即為光線的入射角，光線從A點出發(fā)，在p點反射后，經過點B,設PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據斜率關系有：tanθ=kbp=eq\f(10,3-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(39,2-x),所以：10(2-x)=-39(3-x),即：x=eq\f(137,49)。?.導數分析法設p的坐標為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x-2)2+392)+eq\r((x-3)2+102),是關于x的函數，對x求導有d'x=eq\f(x-2,eq\r((x-2)2+392))+eq\f(x-3,eq\r((x-3)2+102)),令d'x=0，則eq\f(x-2,eq\r((x-2)2+392))=-eq\f(x-3,eq\r((x-3)2+102)),(3-x)eq\r((x-2)2+392)=(x-2)eq\r((x-3)2+102),可知2<x<3,方程兩邊平方有:102(x-2)2=392(