不等式6道習題詳細計算過程A3

不等式六道練習題詳解過程步驟一.證明不等式：8x?≥x?+2x2+5※.函數單調性證明法對不等式證明進行分析，證明：8x?≥(x?+2x2+5)，即證明：ln8x?≥ln(x?+2x2+5),由兩邊同時取對數，變形為：ln8+xlnx-ln(x?+2x2+5)≥0,設f(x)=ln8+xlnx-ln(x?+2x2+5)，并取x＞0，可知：f(1)=ln8+0-ln(1+2+5)=ln8-ln8=0.對x求導有：f'(x)=lnx+1-(4x3+4x)/(x?+2x2+5),=lnx+[(x?+2x2+5-4x3-4x)/(x?+2x2+5)]，=lnx+[(x-1)(x3-3x2-x-5)/(x?+2x2+5)]，本處要用到一個重要不等式，對于任意的不相等正數a,b，有不等式(a-b)/(lna-lnb)≤(a+b)/2成立。本題取a=x，b=1，則有：(x-1)/(lnx-ln1)≤(x+1)/2,化簡為：lnx≥2(x-1)/(x+1),代入有：f'(x)≥2(x-1)/(x+1)+[(x-1)(x3-3x2-x-5)/(x?+2x2+5)],=(x-1)[2*(x?+2x2+5)+(x+1)*(x3-3x2-x-5)]/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)(3x?-2x3-6x+5)/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)(3x?-2x3-x-5x+5)/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)[(x-1)(3x3+x2+x)-5(x-1)]/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)2(3x3+x2+x)-5]/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)2(3x3+x2-4+x-1)/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)2[(x-1)(3x2+4x+4)+x-1]/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)3[(3x2+4x+4)+1]/[(x+1)(x?+2x2+5)],=(x-1)3(3x2+4x+5)/[(x+1)(x?+2x2+5)],1.當x≥1時，f'(x)≥0，2.當0＜x＜1時，f'(x)＜0，所以當x=1時，f(x)有最小值，即：ln8+xlnx-ln(x?+2x2+5)≥f(1)=0,綜上，8x?≥x?+2x2+5得證。二.比較A=9.5868×3.23437，B=9.5867×3.23438的大小通過用逐差法、比商法等兩種方法，介紹本題中兩個數A和B的大小。思路一：逐差法A-B=9.5868×3.23437-9.5867×3.23438=(9.5867+0.0001)×3.23437-9.5867×(3.23437+0.00001)=9.5867×3.23437+0.0001×3.23437-9.5867×3.23437-9.5867×0.00001=0.0001×3.23437-9.5867×0.00001=0.00001*(32.3437-9.5867)>0所以A>B,即：9.5868×3.23437>9.5867×3.23438。思路二：比商法A/B=9.5868×3.23437/9.5867×3.23438=(9.5867+0.0001)(3.23438-0.00001)/9.5867×3.23438=[9.5867×3.23438+0.00001×(32.3438-9.5867-0.0001)]/9.5867×3.23438=1+0.00001×(32.3438-9.5868)/9.5867×3.23438∵32.3438-9.5868>0,∴A/B>1,即：9.5868×3.23437>9.5867×3.23438。三.證明不等式：142x?≥x?+69x2+72※.函數單調性證明法對不等式證明進行分析，證明：142x?≥(x?+69x2+72)，即證明：ln142x?≥ln(x?+69x2+72),由兩邊同時取對數，變形為：ln142+xlnx-ln(x?+69x2+72)≥0,設f(x)=ln142+xlnx-ln(x?+69x2+72)，并取x＞0，可知：f(1)=ln142+0-ln(1+69+72)=ln142-ln142=0.對x求導有：f'(x)=lnx+1-(4x3+138x)/(x?+69x2+72),=lnx+[(x?+69x2+72-4x3-138x)/(x?+69x2+72)]，=lnx+[(x-1)(x3-3x2+66x-72)/(x?+69x2+72)]，本處要用到一個重要不等式，對于任意的不相等正數a,b，有不等式(a-b)/(lna-lnb)≤(a+b)/2成立。本題取a=x，b=1，則有：(x-1)/(lnx-ln1)≤(x+1)/2,化簡為：lnx≥2(x-1)/(x+1),代入有：f'(x)≥2(x-1)/(x+1)+[(x-1)(x3-3x2+66x-72)/(x?+69x2+72)],=(x-1)[2*(x?+69x2+72)+(x+1)*(x3-3x2+66x-72)]/[(x+1)(x?+69x2+72)],=(x-1)(3x?-2x3+201x2-6x+72)/[(x+1)(x?+69x2+72)],設g(x)=3x?-2x3+201x2-6x+72,進行配方有：g(x)=3(x?-2x3/3+x2/9)+201x2-x2/3-6x+72=3(x2-x/3)2+602x2/3-6x+72=3(x2-x/3)2+602/3*(x2-18x/602+92/6022)+72-27/602,=3(x2-x/3)2+602/3*(x-9/602)2+(72*602-27)/602,可知g(x)＞0，則：1.當x≥1時，f'(x)≥0，2.當0＜x＜1時，f'(x)＜0，所以當x=1時，f(x)有最小值，即：ln142+xlnx-ln(x?+69x2+72)≥f(1)=0,綜上，142x?≥x?+69x2+72得證。四.含自然數2201有關的三組數大小比較本文介紹與自然數2201有關的三組數大小比較的具體方法和步驟。第一組:比較2201^2202與2202^2201的大小具體過程如下：設:y=lnx/x,且x≥3,則:y'=(1-lnx)/x^2,∵x≥3，∴1-lnx<0,即:y為單調減函數。對于本題：∵2201<2202,∴l(xiāng)n2201/2201>ln2202/2202，即：2202*ln2201>2201*ln2202，ln2201^2202>ln2202^2201，所以：2201^2202>2202^2201。第二組:比較2201*2202與2203*2200的大小使用代數式差法比較：2201*2202-2203*2200=2201*(2201+1)-(2201+2)(2201-1)=2201^2+2201-(2201^2+2201-2)=2201^2+2201-(2201^2+2201)+2=2>0.所以：2201*2202>2203*2200。第三組:比較3^2201與2^2202的大小具體過程如下：設:y=3^n-2^(n+1),且n≥2,則利用數學歸納法有：(1)當n=2時，y(2)=3^2-2^3=1>0(2)假設n=k時，有y(k)=3^k-2^(k+1)>0成立，則當n=k+1時需證明3^(k+1)-2^(k+2)>成立，左邊=3^(k+1)-2^(k+2)=3[3^(k+1)-2^(k+1)]+4*2^(k+1)-2^(k+2),=3[3^(k+1)-2^(k+1)]+2*2^(k+1),>0+2*2^(k+1)>0,得證。即有：3^2201>2^2202。五.解不等式|x-213|-|x-137|>95通過零點去絕對值法，介紹絕對值不等式|x-213|-|x-137|>95的計算步驟。解：找到絕對值的兩個零點137,213,將數軸分成三部分，去絕對值討論如下：(1)當x≥213時，此時兩個絕對值均為正數，有：x-213-x+137>95,即-76>95;此時矛盾，不等式無解。(2)當x≤137時，此時兩個絕對值均為負數，有：213-x+x-137>95,即76>95；此時矛盾，不等式無解。(3)當137<x<213時，此時兩個絕對值一正一負，有：213-x-x+137>95,即:213+137-2x>95,2x<255,x<255/2，此時矛盾，不等式無解。綜上：不等式無解。六.解不等式練習題1.利用不等式的性質解下列不等式：(1)x-19＞36；(2)26x＜25x+11；(3)eq\f(4,5)x＞40;(4)-13x＞89.2.用不等式的性質解下列不等式，并在數軸上表示解集：(1)x+83＞-109；(2)72x＜17x-18；(3)eq\f(1,42)x＜eq\f(293,294);(4)-120x＞40.3.用不等式表示下列題意并寫出解集，并在數軸上表示解集：(1)y的2倍大于或等于90；(2)x與289的差不大于0；(3)y與31的和不小于24；(4)x的eq\f(5,6)小于或等于-16.解不等式練習題參考答案：1.(1)x＞55；(2)x＜11；(3)x＞50；(1)x＜-eq\f(89,13).2.(1)x＞-192：-1920x(2)x＜-eq\f(18,55)：0-eq\f(18,55)x0-eq\f(18,55)x(3)x＜eq\f(293,7)：0eq\f(293,7)x(4)x＜-eq\f(1,3)：0x-eq\f(1,3)3.(1)不等式為：2y≥90，不等式解集為：y≥eq\f(45,1)。0eq\f(45,1)x(2)不等式為：x-289≤0，不等式解集為：x≤289。0289