專題3.4 導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題3.4導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題1.函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過(guò)已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問(wèn)題．2.恒(能)成立問(wèn)題是高考的?？伎键c(diǎn)，其中不等式的恒(能)成立問(wèn)題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度略大．3.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題在高考中占有很重要的地位，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或范圍．高考?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，以及函數(shù)零點(diǎn)與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)．考點(diǎn)一函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題考點(diǎn)二恒(能)成立問(wèn)題考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題知識(shí)梳理函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x)；(2)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝enxf(x)；(4)出現(xiàn)f′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,enx).（5）函數(shù)f(x)與sinx，cosx相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見(jiàn)形式F(x)＝f(x)sinx，F(xiàn)′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(fx,sinx)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F(xiàn)′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(fx,cosx)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(f′xcosx＋fxsinx,cos2x).（6）指對(duì)同構(gòu)，經(jīng)常使用的變換形式有兩種，一種是將x變成lnex然后構(gòu)造函數(shù)；另一種是將x變成elnx然后構(gòu)造函數(shù)．2.恒(能)成立問(wèn)題(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.3.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題（1）利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類問(wèn)題在求解過(guò)程中可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件．（2）含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．第一部分核心典例題型一函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題1．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，得.所以，即；又，所以，即，所以.故選：B.2．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，因?yàn)椋?故選：D.3．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，令，則，，.，易知在上單調(diào)遞增．又，而，所以．故選：A.4．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)（），，，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以，令，則，，，考慮到，可得，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故時(shí)，排除選項(xiàng)A，B.下面比較大小，由得，故，所以.故選：D.5．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由圖象易知，令，則由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則在上有唯一解，故在上有唯一解即當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減即，即故選：C題型二恒(能)成立問(wèn)題6．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，考慮到，因此討論分界點(diǎn)為．情形一當(dāng)時(shí)，可得對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，符合題意．情形二當(dāng)時(shí)，，而單調(diào)遞增，所以必然存在唯一正實(shí)數(shù)使得，此時(shí)在區(qū)間上有單調(diào)遞減，而，不符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A.7．若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以所以所以令，則即所以令，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，要使成立，即，則當(dāng)且僅當(dāng)，所以解得，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選:A.8．若函數(shù)，滿足恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，滿足恒成立，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最大值為，故選：C.9．已知函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在恒成立.當(dāng)，記，所以在單調(diào)遞增，，故故，所以，故選：C10．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】依題意，，則（*）．令，則（*）式即為．又在上恒成立，故只需在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，解得．故選：D.題型三函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題11．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，所以函?shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).故選:B12．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，據(jù)此可得函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，結(jié)合題意可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B．13．已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】恰有兩個(gè)零點(diǎn),即恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于，所以恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的大致圖象如圖：要使有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故選：D14．已知函數(shù)，，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以在時(shí)，還有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：A15．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知，，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，與，圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，由于，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，所以，函數(shù)圖象如圖，由圖可知，若與，圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，則，故選：B第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．已知函數(shù)存在減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題可知,因?yàn)楹瘮?shù)存在減區(qū)間,則有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以,因?yàn)橛薪?所以,解得.故選:D.2．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】先用導(dǎo)數(shù)證明這兩個(gè)重要的不等式①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，函數(shù)遞減，函數(shù)遞增故時(shí)函數(shù)取得最小值為0故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，故時(shí)函數(shù)取得最大值為0，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”故故選：C3．函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】恒成立，所以單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè).4．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在其定義域內(nèi)存在，使得，則稱為“有源”函數(shù).已知是“有源”函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，∴，由是“有源”函數(shù)定義知，存在，使得，即有解，記，所以a的取值范圍是就是函數(shù)的值域，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以，即a的取值范圍是.故選：A5．若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且，則關(guān)于x的方程的不同實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】，對(duì)于有是方程的兩根令，則，，，不妨設(shè)，利用有兩根，所以，根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)，可以畫(huà)出的圖像，如圖所示，又因?yàn)?，所以由圖可知，有1個(gè)解，有2個(gè)解故選：A．6．已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，不等式對(duì)任意恒成立可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意時(shí)，所以，解得.故選：C.7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)函數(shù)求導(dǎo)：令，可知令，可知或所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故在時(shí)，有極小值為令則方程化成令，則，，即，根據(jù)圖像可知此時(shí)只有一個(gè)解，排除A；令，則，或（舍去），根據(jù)圖像可知此時(shí)只有一個(gè)解，排除C；令，則，或（舍去），根據(jù)圖像可知此時(shí)有兩個(gè)解，故排除D；故選：B8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，設(shè)，，則即時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)，所以，即，即，令，，則，則在上單調(diào)遞增，則，即，即，綜上所述.故選：A.二、多選題9．已知函數(shù)的圖像為曲線C，下列說(shuō)法正確的有（

）A．，都有兩個(gè)極值點(diǎn)B．，都有零點(diǎn)C．，曲線C都有對(duì)稱中心D．，使得曲線C有對(duì)稱軸【答案】ABC【詳解】A：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，因此本選項(xiàng)正確；B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)是連續(xù)不斷的曲線，所以一定存在，使得，因此本選項(xiàng)正確；C：假設(shè)曲線C的對(duì)稱中心為，則有化簡(jiǎn)，得，因?yàn)?，所以有，因此給定一個(gè)實(shí)數(shù)，一定存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，因此假設(shè)成立，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：由上可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)不可能是關(guān)于直線對(duì)稱，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故選：ABC10．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，，令，解得，?dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在時(shí)取得極大值也是最大值，故A對(duì)；B選項(xiàng)，∵時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，如圖所示：

∴函數(shù)有且只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，∵當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，∵，所以，故C對(duì)；D選項(xiàng)，若在上恒成立，即在上恒成立，由，則，故D錯(cuò)．故選：AC．三、填空題11．已知函數(shù)，若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即因?yàn)?，使成立，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.12．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意知，函數(shù)，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由題意知時(shí)，有兩個(gè)根，即在上有兩個(gè)根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖所示，由函數(shù)圖象，可得，即.故答案為：.四、解答題13．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.(1)若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，因?yàn)闀r(shí)，取到極值，所以，解得.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，符合題意.要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）令，由（1）得，且，故，，則，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故，而，，故.要使有兩個(gè)根，則.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知函數(shù)，若的最大值為(1)求的值；(2)若在上恒成立，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋鶕?jù)題意可得，令，得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；所以，解得（2）由（1）知，因?yàn)?，所以可化為，設(shè)，所以，則在上恒成立，即可得在上單調(diào)遞減，，因此的取值范圍是15．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，判斷在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)僅有一個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；【詳解】（1）由可得，此時(shí)切線斜率為，而；所以切線方程為，即；即曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）根據(jù)題意，若在上單調(diào)遞增，即可得在上恒成立，即恒成立；令，則；顯然在上滿足，而恒成立，所以在上恒成立；即在單調(diào)遞增，所以；所以即可；因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）令，即可得；構(gòu)造函數(shù)，，易知在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，如下圖中實(shí)曲線所示：又函數(shù)恒過(guò)，且，易知，所以函數(shù)在處的切線方程為；又，所以（圖中虛線）在范圍內(nèi)恒在（圖中實(shí)直線）的上方；所以由