2024-2025學(xué)年云南省曲靖市宣威市高二上冊9月月考數(shù)學(xué)檢測試卷合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省曲靖市宣威市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則（

）A．0 B．1 C． D．22．已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題3．已知集合，，則（

）A． B． C． D．4．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．15．已知向量分別是直線的一個方向向量，若，則（

）A．-3 B．-4 C．3 D．46．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．如圖，平行六面體的各棱長均為，則（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間中三點，則下列說法正確的是（

）A．B．與是共線向量C．和夾角的余弦值是1D．與同向的單位向量是10．某市舉辦了“愛國愛黨”知識競賽.把1000名參賽者的成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（

）A．的值為0.035B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90C．估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為89D．估計成績低于80分的有350人11．若函數(shù)則（

）A．的最小正周期為10 B．的圖象關(guān)于點對稱C．在上有最小值 D．的圖象關(guān)于直線對稱三、填空題（本大題共3小題）12．某校在高一、高二、高三三個年級中招募志愿者50人，現(xiàn)用分層抽樣的方法分配三個年級的志愿者人數(shù)，已知高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為4:3:3，則應(yīng)從高三年級抽取名志愿者．13．若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為．14．某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．則當漏診率時，誤診率.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，正方體中，為的中點．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．16．設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若，且的面積為，求的周長．17．記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．18．如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?9．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點．(1)求B點到平面PCD的距離；(2)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】若，則.故選C.2．【正確答案】B【分析】對于兩個命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.【詳解】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選B.3．【正確答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選C．【一題多解】因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選C．4．【正確答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選B.5．【正確答案】C【分析】利用空間向量共線的充要條件計算即得.【詳解】由，可得，所以，解得，所以.故選C.6．【正確答案】C【分析】依據(jù)題目中的垂直關(guān)系，可建立空間直角坐標系，求出向量與的坐標，即可求得異面直線與所成角的余弦值．【詳解】由題意可知，三線兩兩垂直，所以可建立空間直角坐標系，如圖所示：則，∴，∴，異面直線與所成角的余弦值為．故選C．7．【正確答案】B【詳解】由已知可得，，兩邊平方得，，所以.故選：B.8．【正確答案】B【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.9．【正確答案】AD【分析】對于A，求出模長即可；對于B，向量共線定理；對于C，向量數(shù)量積求角度；對于D，計算同向的單位向量，再比較即可【詳解】對于A，，，A正確；對于B，，，，不共線，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，其同向的單位向量為，D正確.故選AD.10．【正確答案】ABD【分析】利用頻率分布直方圖頻率之和為1，求解眾數(shù)、百分位數(shù)問題.【詳解】易知，解得，所以A錯誤；由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間，用區(qū)間中點表示眾數(shù)即85，所以B錯誤；由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，前三組頻率之和為.故第70百分位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)第70百分位數(shù)為，則，解得，所以正確；成績低于80分的頻率為，所以估計成績低于80分的有人.故D錯誤.故選ABD.11．【正確答案】AD【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式可求A，通過代入求值的方法可判斷BD選項，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷C.【詳解】，A正確.因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，B錯誤.因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.若，則，由的圖象可知，在上有最大值，沒有最小值，C錯誤.故選AD.12．【正確答案】15【分析】根據(jù)分層抽樣的特征可知，抽取人數(shù)等于樣本容量乘以抽樣比，即可求出．【詳解】高三年級抽取的人數(shù)為．故15．13．【正確答案】/【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因為直線與直線垂直，直線的斜率為，則，因為，因此，.故答案為.14．【正確答案】【詳解】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，由右邊的頻率分布直方圖可得.故15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則為中點，在中，因為為的中點，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)正方體的棱長為2，則，，設(shè)為平面的一個法向量，由，得，即，令得設(shè)與平面所成角大小為，則，所以與平面所成角的正弦值為．16．【正確答案】(1)(2)6【詳解】（1），由正弦定理可得，又，所以，因為為銳角三角形，故．（2）的面積為，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周長為．17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.【詳解】（1）因為平面平面，所以，同理，所以為直角三角形，又因為，，所以，則為直角三角形，故，又因為，，所以平面.（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因為二面角為銳二面角，所以二面角的大小為.19．【正確答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）取中點為，連接，可以證明平面，，故可建立如圖所示的空間直角系，計算出平面的法向量及后可得點到平面的距離．設(shè)，用表示的坐標，從而平面的法向量也可以用表示，根據(jù)二面角的余弦值為可得到的值從而得到．【詳解】在中，，為中點，∴.又∵側(cè)面底面，平面平面，平面，∴平面.在中，，，∴.在直角梯形中，為的中點，，∴.以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，(1)∴．設(shè)平面的法向量為，則即取，得．則點到平面的距離.(2)設(shè)．∵，∴，∴，∴，∴．設(shè)平面的法向量為，則即，取，得．平面的一個法向量為，∵二面角的余弦值為，∴.整理化簡，得.解得或(舍去)，∴存在，且.（1）空間中一點到平面的距離可由空間向量來計算，在平面中取一點，則．與線段上的動點相關(guān)的問題，如果用空間向量來解決，則需設(shè)，因為此時的坐標是關(guān)于的一次式，這樣的形式便于計算．2024-2025學(xué)年云南省曲靖市宣威市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足zi=3+2i，則復(fù)數(shù)z(1－i)的虛部為（

）A．－5 B．－5i C．－3 D．－3i2．已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．3．某產(chǎn)品售后服務(wù)中心選取了10個工作日，分別記錄了每個工作日接到的客戶服務(wù)電話的數(shù)量（單位：次）：則這組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù)是30 B．分位數(shù)是30.5C．極差是37 D．中位數(shù)是434．已知直線：，：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．7．某校課外活動期間開展跳繩、踢鍵子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（

）A． B． C． D．8．過定點M的直線與過定點N的直線交于點P，則的最大值為()A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．下列說法正確的是（）A．直線的傾斜角的取值范圍是B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為10．某社團開展“建黨100周年主題活動——學(xué)黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨立，則（

）A．兩人均獲得滿分的概率B．兩人至少一人獲得滿分的概率C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率D．兩人至多一人獲得滿分的概率11．扎馬釘（圖1），是古代軍事戰(zhàn)爭中的一種暗器.如圖2所示，四個釘尖分別記作，連接這四個頂點構(gòu)成的幾何體為正四面體，組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．為正四面體的中心C．D．四面體的外接球表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為.13．將一張坐標紙對折，如果點與點重合，則點與點重合.14．學(xué)校為了解學(xué)生身高(單位：情況，采用分層隨機抽樣的方法從名學(xué)生（男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個容量為的樣本.其中，男生平均身高為，方差為，女生平均身高為，方差為，用樣本估計總體，則該學(xué)校學(xué)生身高的方差為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的正弦值．16．為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡的分組區(qū)間是：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組.

(1)求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；(2)估計抽出的100名志愿者年齡的第75百分位數(shù)；(3)若在抽出的第2組、第4組和第5組志愿者中，采用按比例分配分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加中心廣場的宣傳活動，再從這6名中采用簡單隨機抽樣方法選取2名志愿者擔任主要負責人.求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.17．已知點，直線和(1)過點作的垂線，求垂足的坐標；(2)過點作分別于交于點，若恰為線段的中點，求直線的方程．18．已知函數(shù)滿足，且在上有最大值.(1)求，的值；(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．已知中，角，，的對邊分別是，，，.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點，且，求周長的最小值.1．A【分析】由復(fù)數(shù)的運算法則求得復(fù)數(shù)z(1－i)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的定義得結(jié)論．【詳解】由已知，，其虛部為．故選：A2．B【分析】根據(jù)空間基底的概念，結(jié)合選項，判斷每組向量是否共面，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以不能作為一組空間基底；對于B中，假設(shè)共面，則存在，使得，即，可得，此時方程組無解，所以不共面，所以向量可以作為空間的一組基底；對于C中，由，所以不能作為空間的一組基底；對于D中，由，所以不能作為空間的一組基底.故選：B.3．B【分析】由眾數(shù)定義可判斷A錯誤，將數(shù)據(jù)從小到大排列后根據(jù)中位數(shù)、極差、百分位數(shù)定義可判斷CD錯誤，B正確.【詳解】根據(jù)題意可知，每個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是一次，即眾數(shù)不是30，即A錯誤；將這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為；易知為整數(shù)，所以分位數(shù)是第一個數(shù)與第二個數(shù)的平均值，即為，即B正確；易知其極差為，即可得C錯誤；中位數(shù)為第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均數(shù)，即，可得D錯誤.故選：B4．C【分析】根據(jù)兩直線平行與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】因為，所以，解得，所以“”是“”的充要條件，故選：C.5．A【分析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故選：A6．A【分析】y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，可知當A，P，B三點共線時取得最小值可得答案.【詳解】，則y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，即，則可知當A，P，B三點共線時，取得最小值，即．故選：A.7．C【分析】畫出樹狀圖，利用概率公式求解即可【詳解】設(shè)跳繩、踢毽子、韻律操分別為A、B、C，畫樹狀圖如下，共有9種等可能的結(jié)果，甲、乙恰好選擇同一項活動的有3種情況，故他們選擇同一項活動的概率是，故選：C．8．D【分析】求出直線與直線過的定點，由得到兩直線垂直，從而得到，由勾股定理得到，結(jié)合基本不等式求出最大值.【詳解】動直線經(jīng)過定點，動直線，即，令，解得：，故直線過定點，因為直線，所以過定點的直線與定點的直線始終垂直，又是兩條直線的交點，，，故（當且僅當時取“=”）.故選：D.9．ACD【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A選項，利用兩直線的垂直及充要條件的定義即可判斷B選項，利用空間向量的基本定理可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，直線的傾斜角為，則，因為，所以，所以，故A正確；對于B選項，因為直線與直線互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要條件，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故B錯誤；對于C選項，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，不妨設(shè)這兩個非零向量不共線，設(shè)這兩個非零向量為，由空間向量的基本定理可知，在空間中必存在非零向量，使得為空間的一個基底，假設(shè)不成立，故這兩個非零向量共線，故C正確;對于D選項，因為向量，所以在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10．ACD【分析】利用獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式逐一求解即得.【詳解】設(shè)“甲獲得滿分”，“乙獲得滿分”，則,對于A，“兩人均獲得滿分”可表示為,因兩人能否獲得滿分相互獨立，故,

即A正確；對于B，因“兩人至少一人獲得滿分”的對立事件為“兩人都沒獲得滿分”,則“兩人至少一人獲得滿分”的概率為：，故B錯誤；對于C，“兩人恰好只有甲獲得滿分”可表示為，其概率為：，故C正確；對于D，因“兩人至多一人獲得滿分”的對立事件為“兩人都獲得滿分”，則“兩人至多一人獲得滿分”為：,故D正確.故選：ACD.11．AB【分析】容易判斷B；將圖形還原成正四面體，取CD中點F，進而證明平面ABF，然后判斷A；設(shè)E為A在平面BCD上的投影，設(shè)出正四面體的棱長，進而根據(jù)勾股定理求出棱長，然后判斷C；根據(jù)球的表面積公式可以判斷D.【詳解】如圖，正四面體ABCD，由題意，，則O為正四面體ABCD的中心，B正確；設(shè)E為A在平面BCD上的投影，易知點E為三角形BCD的中心，連接CF交CD于F，則F為CD的中點，連接AF，則，而，所以平面ABF，所以.A正確；設(shè)該正四面體棱長為，則，因為，，聯(lián)立解得a=263.C錯誤；易知該四面體外接球半徑為1，則外接球的表面積為.故選：AB.12．【分析】由，借助模長公式得出的長.【詳解】因為所以即故13．【分析】先求線段的中垂線方程，再根據(jù)點關(guān)于直線對稱列式求解即可.【詳解】已知點與點，可知線段的中點為，且，則線段的中垂線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以所求點為.故答案為.14．【分析】根據(jù)題意，求出樣本的平均數(shù)和方差，結(jié)合用樣本估計總體的思路，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由于男女生人數(shù)之比為，則樣本中男女生人數(shù)之比為，其中，男生平均身高為，方差為，女生平均身高為，方差為，則樣本的平均數(shù)，樣本的方差，用樣本估計總體，則該學(xué)校學(xué)生身高的方差為．故．15．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由中位線易證明四邊形是平行四邊形，進而得到，進而得到平面；（2）由題易知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，通過平面與平面的夾角計算公式計算余弦值，再用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算正弦值；【詳解】（1）如圖所示，連接．

因為，分別是棱，的中點，所以，因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則．因為平面，平面，所以平面．（2）因為平面，平面,所以，又因為，所以，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由題中數(shù)據(jù)可得，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．因為，,所以平面平面的一個法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則．故，即平