2025屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

啟用前注意保密

2025屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）

數(shù)學(xué)2025.1

本試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和準考證號

填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案

不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題

目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合人={|二2k,k￡Z},B={x|logT<3},則APB=

A.{2,4}B.{4,6}C.{0,2,4}D.{2,4,6)

2.復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2i,其中i為虛數(shù)單位,則|z|=

A.2B.2V2C.1D.V2

3.已知平面向量/?的夾角為60。，且同=2,可=2百廁歷|=

A.1B.2C.2V2D.4

4.若1,加為兩條不同的直線，a,B為兩個不同的平面，則

A.若/〃a,mua,則I//m

B.若/〃a,m//a,則/〃加

C.若/_La,m±p,Z±m(xù),則a_l_p

D.若/〃a,a〃B，則/〃B

5.下列四組數(shù)據(jù)中，方差最小的為

A.29,25,37B.30,46,25C.38,40,35D.40,18,30

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)第1頁（共4頁）

6.早在兩千年前，古人就通過觀測發(fā)現(xiàn)地面是球面，并會運用巧妙的方法估算地球半

徑.如圖所示，將太陽光視為平行光線，0為地球球心，A,B為北半球上同一經(jīng)

度上的兩點，且A,B之間的經(jīng)線長度為L,于同一時刻在A,B兩點分別豎立一

根長桿AAi和BBi，通過測量得到兩根長桿與太陽光的夾角為a和B(a和。的單位

為弧度)，由此可計算地球的半徑為

D.L

si"(a+￡)

7.設(shè)函數(shù)7(%)=Zn(e2x+1)+|x|-%,則不等式./(2x-1)-/(%+1)<0的解集為

A.(-8,2]B.[0,2]

C.[2,+°°)D.(-8,o]u[2,+8)

8.已知拋物線產(chǎn)=4%的弦AB的中點橫坐標為5,則1AB1的最大值為

A.12B.11C.10D.9

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知直線1:kx-y+2k=0和圓/+必=%貝|]

A.直線/恒過定點(2,0)

B.存在左使得直線/與直線x-2y+2=0垂直

C.直線1與圓。相交

D.若k=T,直線1被圓O截得的弦長為：2夕

10.已知函數(shù)/(%)=sin%-+cos2%則

A./(x)是奇函數(shù)B./(x)的最小正周期為兀

C./(x)在[0用上單調(diào)遞增D./(x)的最小值為-,

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)

11.設(shè)曲線Cl：y=eX,拋物線C2：y2=2p久(p)0),記拋物線的焦點為F,M,Q為分別為

曲線Ci，C2上的動點，1為曲線Cl的切線，則

A.若Ci與C疣公共點，則p@(O,e)

2

B.若1過點F,貝也被C搬得的弦長為p+彘哀

V5一

C.當(dāng)p=l時，|FM|>2

V2丁

D.當(dāng)p=l時，|MQ|>

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.雙曲線9=1的左，右焦點分別為Fi，F(xiàn)2，點P在雙曲線右支上，若|P%

|=4,則乙F1PF2=

13.在4ABC中，已知C=y,tanA-tanB=2一8，則cos(A-B)=_.

14.有三個袋子，每個袋子都裝有〃個球，球上分別標有數(shù)字1,2,3,…，n.現(xiàn)從

每個袋子里任摸一個球，用X,Y,Z分別表示從第一，第二，第三個袋子中摸出

的球上所標記的數(shù)，則事件“X+Y=Z”的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知等差數(shù)列｛所｝滿足an,an,是關(guān)于X的方程.久2—4n久+bn=0的兩個根.

(1)求a］；

(2)求數(shù)列｛(-1)叫能｝的前〃項和Sn.

16.(15分)

在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a",c,AD為邊BC上的中線.

(1)證明：AD—|72(^2+c2)—a2;

(2)若2=(a=2,求AD的最大值.

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)

17.(15分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD，平面ABCD,AB

//DC,BC=CD=AD=2,AB=4.

(1)證明：PA±BD;

(2)若四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為25%求

二面角C—AB—P的余弦值.

18.(17分)

數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)工具研究數(shù)列性質(zhì).比如，為了研究數(shù)列冊=。

+；)%CN*)的性質(zhì)，對通項公式取對數(shù)得，1哈=bi(l+丁,則可通過研究函數(shù)y

1

(1+%浜的性質(zhì)，得到數(shù)列伉霰的性質(zhì)，進而得到｛。咒｝的性質(zhì).請根據(jù)以上材料，解決如下

問題：

(1)若不等式cxNl”(l+x)對任意xNO恒成立，求實數(shù)c的取值范圍，并證明：e

>(1+/

11

(2)是否存在常數(shù)m使得：V"GN*有，1一。二〈29〈而一1?若存在，求a的值；

n

若不存在，請說明理由.

(注：e為自然對數(shù)的底數(shù))

19.(17分)

線段MN的長為3,端點M,N分別在y軸和x軸上運動，點E滿足砒=2EN,

記點E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)曲線C與x軸的左右兩個交點分別為A,B,P為C上異于A,B的動點.過點D

(1,0)分別作直線/i〃AP,直線RIBP,其中。與曲線C交于G,H兩點，,2交直線x=T

于點R,點/滿足|DG|南=|D4|范.

①求點/的軌跡方程；

②AIDR的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

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2025屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)班聯(lián)合模擬考試（一）

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求的.

題號12345678

答案DDBCCABA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案BCDADAD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

n-\

12.120°13.—14

2-彳

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）

解:（1）法一：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

由韋達定理得=4〃，1分

%+%=4

于是有《3分

%+%=8'

a3=4=2d,則d=2,5分

故4=。］+%=2q+d,則q=l.6分

法二：由韋達定理得=4”,1分

數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共10頁）

高考直通車

因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,所以q+（"-l）d+%+"d=4〃，

即2nd+2q-d=4〃，2分

]2d=4

所以4分

[2a]-d=0

故d=2,%=1.6分

(2)由(1)知q=l,d=2,

故(=%+(〃-1)4=2〃一1,7分

由韋達定理知”=可匕向，故（一1）”加=（―。+■向=（―1）”—+—

““凡+】I?！胺?】）

所以（-喘=（-唬*1

H------10分

2〃+1

s“T；+（H*H泊卜…+（川圭+"=-"㈠）磊

.................13分

16.（15分）

解：（1）方法一：因為AD為BC邊上中線，通=；（荏+就），.............1分

得而2=：（初+可，

即而2=；（力§2+402+2AB/Ccoj）=：（c?+/+2cb-coU）....3分

在A4BC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc-cosA<.........4分

所以2bc-cosA=b2+c2-a2>.........5分

所以而+..................6分

即AD=12(/+巧一42..................7分

數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共10頁）

高考直通車

方法二：因為4。為BC邊上中線，所以BD=CD,

在A/4BC中，Z-ADB+ZADC=71,cosZADB+coszL4Z)C=0,.........3分

*A1門r,工n?AT-XX-,..A.aj-jijTfTizaAD^+BD^—AB^AD?+CZ)2~AC^

在MDB和A4DC中，由余弦定理得：----------------+------------------=0,

2ADBD2ADBD

BP2AD2+BD2+CD2-AB2-AC2=0)..................5分

所以32=g1/c2+4B2-；8c2),.................6分

即AD=^2(b2+c2)-a2；.................7分

冗

(2)因為4=—,4=2,所以儲二方2+。2-6c,..................9分

3

^l,b2+c2-4=bc<^(b2+c2),BPZ>2+c2<8-..................U分

當(dāng)且僅當(dāng)"b=cc』c+4'即kc=2時等號成立'

13分

所以40=1^2(Z>2+c2)-a2=或2伊+。2)—4<；J16—4=6.....14分

故40的最大值為J1.15分

17.(15分)

解：（1）過。作。EL28于E，過C作匿_LN8于/

則跖=QC=2,

所以4E=/1B=1，

又因為40=2,所以NZM8=60°，.......2分

在A4BZ）中，由余弦定理得

BD=ylAB2+AD2-2AB-ADcosZDAB=^\6+4-2x4x2x^=2y/3,……3分

數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共10頁）

高考直通車

所以。82+Z￡)2=4B2,即4DJL肛..................4分

又因為PDJ■面48CD,所以PDLBD,...............................5分

又因為PZ)n4E)=O,P24Du面尸4D,

所以BD_L面尸40,...............................6分

又因為"u面D4D,所以8Q_LP4；...............................7分

(2)方法一：取48的中點?！簞t/。=/?=2,

又???NZM8=60。，

二為等邊三角形，

0}D=O^A=0}B=0c=2,

即01為四邊形4BC。外接圓的圓心，且半徑，=。/=2,..............................8分

過0i作平面力8C。的垂線/,則PZ)/〃,

在平面PDOi內(nèi)作尸。的垂直平分線交/與。點,

則OP=0D=0A=OB=0C>

即。為四棱錐尸一/BCD的外接球的球心，..................9分

且半徑R=OD=J呼y+八,

S=ATTR2=25TT>R=—,...............................]0分

2

PD=3,...............................12分

連接PE,???26_1。瓦28_1尸。,。瓦尸。0：平面尸。石，DEcPD=D,

???/Bl平面POE,

又PEu平面PDE,

數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共10頁)

高考直通車

二.AB1PE,

???々￡。為二面角。一45-尸的平面角，..................13分

tan"ED=出=2=6,.................14分

DE百

二.二面角C-43-P的余弦值為L..................15分

2

方法二：等腰梯形4BCD的外接圓，即為及的外接圓，

取4B的中點?！竸tQ為4BCD等腰梯形的外接圓的圓心，.............8分

且半徑廠=。/=2,過Q作平面4BCD的垂線/,則尸。/〃,

在平面尸內(nèi)作的垂直平分線交/與。點,

則OP=0D=0A=OB=0C,

即。為四棱錐尸一力BCD的外接球的球心，.................9分

且半徑R=。。=J與y+產(chǎn),

S=4^7?2=2571,.................10分

2

（當(dāng)）"“小率.................”分

PD=3,.................12分

VPD±PC.PD1DE,DE1DC,

以。為原點，0E,QC,OP所在直線分別為x軸，7軸，z軸,建立空間直角坐標系

D-xyz?

易知平面CAB的一個法向量

記=(0,0,1),A=(0,T,0),B(瓜3,0),尸(0,0,：

通=(0,4,0),萬=(-國3),

數(shù)學(xué)參考答案第5頁

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設(shè)平面48尸的法向量是力=（%）/）,

n-AB=O4y=0

則《一

n-AP=O-y/3x+y+3z=0

不妨取z=l,則乃=(6,0,1),.................13分

則cos〈后，方〉="：〃=會=1,.................14分

人JI利|〃|1x22

由圖可知二面角C—ZB—P為銳角，

???二面角C-AB-P的余弦值為.................15分

2

18.【詳解】（1）42加（1+刈對任意丫20恒成立，取x=l,得cNln2>0,...1分

令(p(x)=cx-ln(l+x),xG[0,+co),(p(0)=0,

，/、1c-l+cx

(p(x)=c-----=--------................2分

l+xl+x

①當(dāng)cNl時，（p\x）>0r°。）在區(qū)間[0,+oo）上單調(diào)遞增,

所以7%€[0,+8）,0（%）="一1（1（1+丫）20（0）=0,所以cNl符合要求；.....3分

②當(dāng)Ovcvl時，令"（x）=0=x=^~,

c

當(dāng)工￡（0,^~-）,（p\x）<0,所以9（x）在區(qū)間（0,1—￡）上單調(diào)遞減，

cc

所以當(dāng)xG（0,三）時,0（%）〈0,這與題意矛盾！.................4分

C

綜上所述，CN1.5分

取c=l,根據(jù)上述證明可知：VxG(0,4<X>),X-In(1+X)>^(0)=0,即x>ln(l+x)

.................6分

令》=工，—>Inf1+—^?即l>/71n[l+L]=lnh+L],

nnvn)\nJ\n)

數(shù)學(xué)參考答案第6頁（共10頁）

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所以]+3)<e..................7分

(2)取〃=1可知1一工〈2〈。-1,即a>3.................8分

2--2

(i)由一va"-1可得：cin>1H—

nn

由4?：>1+2可得。>。+2],取對數(shù)，得：lna>〃ln[l+2

nIkn

記c=3g,c>0,則2c>〃ln(l+2),即至>ln[l+2j

即至一ln0+2]>0,.................9分

nynJ

考慮函數(shù)0(x)=cx-ln(l+x),xw(O,+8),

由(1)知：c>l,即生區(qū)之1,則aNe?..................10分

2

_17?--f1V

(ii)YnsN",\-a"<一,即V〃wN*,l——<an=—

nn\a)

22—<1V

當(dāng)〃=1,2時，1一一<0,\--<an=-恒成立，..................H分

nn)

\fn>3,neN\—>J1--j，兩邊取對數(shù)，得一lna>〃ln[l-2

a\n)In

-->lnfl--l令c=￥，c>0,則一至>in[_2],即_軍_山(1-2]>0.

n\nJ2n\nJn\J

.................12分

考慮函數(shù)0(x)=cxTn(l+x),xG(-1,0),d(x)=c_^—=c廣"

①當(dāng)c>l時，令"(x)=0nx==w(—l,0),8。)在區(qū)間(三,0)上單調(diào)遞增，

數(shù)學(xué)參考答案第7頁(共10頁)

高考直通車

1_c

所以----,0),(p(x)=ex-In(1+x)<^(0)=0；

這與V〃eN*,s1—2]=-至-2]>0矛盾！，故c>l不符合條件：

VnJnIn)

.................14分

②當(dāng)0<c41時，當(dāng)XG(—l,0),d(x)<0,夕(x)在區(qū)間(一1,0)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xe(—1,0)時,(p(x)>0(0)=0,

--|>0,即一生一In?！?]>0,所以C41符合題意.

n\\

所以，要使V〃eN",至—lnh+2]>0,則c41,即皿41

nyn)2

BPa<e2..................16分

綜合(i)(ii),a=e2..................17分

19.【詳解】(D設(shè)E(xj),則國=正正，

,2分

21

BPX2=4(1-/),....3分

丫2

曲線C的方程為二+*=1..........4分

4

(2)(i)因為|Z)G|后=|。〃|而，

所以也=四，

\DH\\IH\

不妨設(shè)用=4而，則方存=一九兩，????5分

設(shè)G■，%),、。2,必)，/(%，%)，

數(shù)學(xué)參考答案第8頁(共10頁)

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則手+弁=1①，字+%2=]②

Xj—1=-Ax2+2

由DG=—XDH>得(再—I,x)=—A,(工2—1，8)，"

、弘=一儀

%1+=1+久

gp.

乂+辦2=0

...........6分

X-X=2(X-X)

由k=丸應(yīng)，得（%一%,弘-%）=4（々-%，%-％），則，1020

.乂f=〃％-%)'

X,-2X2

x