2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：橢圓（四大考向）含解析

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)-第十五講-橢圓（四大考向）-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

-：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，

1.高考對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)是橢圓的定義和弦長(zhǎng)

16

（1）橢圓的定義、幾何圖

2023?新高考I卷，

形、標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的離心率

5

（2）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2022?新高考n卷，

（范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心16

率）。直線(xiàn)與橢圓的應(yīng)用

2023?新高考n卷,

（3）直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系5

及綜合應(yīng)用。2024?新高考n卷,

橢圓的軌跡方程

5

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專(zhuān)題會(huì)解讀。n卷考查了

橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線(xiàn)的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定

義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，尤其是對(duì)離心率的求解，更是

高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計(jì)2025年高考還

是主要考查橢圓的定義和離心率。

三：試題精講

一、單選題

1.（2024新高考H卷—5）已知曲線(xiàn)C：x2+y2=16（y>0）,從C上任意一點(diǎn)尸向x

軸作垂線(xiàn)段尸P,P為垂足，則線(xiàn)段PP的中點(diǎn)/的軌跡方程為（）

2222

A.二+匕=1(y>0)B.土+匕=1(歹>0)

164168

2222

C.匕+土=1(歹>0)D.匕+土=1(y>o)

164168

高考真題練

一、單選題

22

1.（2023新高考I卷-5）設(shè)橢圓。1：1+/=1（4>1）,02：上+/=1的離心率分別為

a4

若4=也5,貝!）。=（）

A.述B.V2C.V3D.V6

3

r2

2.（2023新高考II卷6）已知橢圓C:?+r=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線(xiàn)

y=x+m與c交于4,3兩點(diǎn)，若△片面積是△8N8面積的2倍，則加=（）.

A.|B.—C.--D.--

3333

二、填空題

22

3.（2022新高考I卷?16）已知橢圓C:0+t=l（a>6>O）,C的上頂點(diǎn)為/,兩個(gè)焦

ab

點(diǎn)、為耳,F2,離心率為：.過(guò)耳且垂直于“耳的直線(xiàn)與C交于。，￡兩點(diǎn)，1。?=6,

則Y4DE的周長(zhǎng)是.

4.（2022新高考n卷?16）已知直線(xiàn)/與橢圓上+==1在第一象限交于48兩點(diǎn)，/

63

與x軸，y軸分別交于跖N兩點(diǎn),S.\MA\^\NB\,\MN\^273,貝U/的方程

為.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳片的距離之和等于常數(shù)2“（2°>|耳心|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語(yǔ)

言表示為：｛尸||尸用+1尸6|=2a｛2a>\F凡|=2c>0）｝

注意：當(dāng)2。=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段;

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

焦點(diǎn)的位

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

置

*

3

圖形4kO1

5；q/

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程(…>0)

a2b2V)

統(tǒng)一方程mx2+ny2—l(m>0,n>0,加w〃)

[x=acos0、r,/、fx=acos0、，-w,/、

參數(shù)方程\7.為參M數(shù)zz(。￡[0,2利)7.為參數(shù)(?！闧0,2幻)

[y=bsm0[y=bsmO

第一定義到兩定點(diǎn)與、旦的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFi\+\MF2\=2a(2a>|不心|)

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A](-〃,0)、A2(?,0)A"。,-。)、A2(0,a)

頂點(diǎn)

詢(xún)、B2(O,6)B](-a0)、B2(fe,0)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2々，短軸長(zhǎng)=26長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2〃，短軸長(zhǎng)=26

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

焦點(diǎn)耳(-c,0)、玲(c,0)耳(0,-c)、鳥(niǎo)(0,c)

焦距閨閶=2c(c2=a2-b2)

離心率

準(zhǔn)線(xiàn)方程

c

點(diǎn)和橢圓Si一外外

宣+遍_(kāi)苗+卑=10點(diǎn)（X。,％）在橢圓<

=1O點(diǎn)（//o）在橢圓工上上

a2b2ab

的關(guān)系<1內(nèi)內(nèi)

誓+矍=1(&,%)為切點(diǎn))岑+苦=1（（X。,%）為切點(diǎn)）

abab

切線(xiàn)方程對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)（%,%）的切線(xiàn)方程，只需將橢圓方程中f換為X/,/換

為y（）y可得

切點(diǎn)弦所

在的直線(xiàn)理+H=i（點(diǎn)（%,%）在橢圓外）理+警=1（點(diǎn)（X。,%）在橢圓外）

abab

方程

2b2

①cos*——1&以=/片瓦的（3為短軸的端點(diǎn)）

0上|九|,焦點(diǎn)在工軸上

②S"Fa=]sin0=btan—=<(6=4尸&)

2[cXI,焦點(diǎn)在y軸上

焦點(diǎn)三角

形面積

c當(dāng)尸點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),(/]^)min=Z72

③4一

當(dāng)尸點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí),(z]^)max=a2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

[\MFt\+\MF2\=2a(2a>2c)

"樹(shù)得=JWH即作M)

|lg|2=|1p_1\\1

咫/+pF]2PFiPF2cosNFF*

左焦半徑：\MF]=a+ex0上焦半徑：\MF^=a-ey0

焦半徑

又焦半徑：阿耳|=a-ex。下焦半徑：\MF\=a+ey0

焦半徑最大值a+c,最小值a-c

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=2%（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）

通徑

a

設(shè)直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為4（石,必），8（x2，%），心=k,

2

則弦長(zhǎng)|，同=J1+左2上一引=J1+左2+%2）-4%JX2

弦長(zhǎng)公式

=+歹2>-4凹%+

（其中〃是消歹后關(guān)于X的一元二次方程的X2的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

1、過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線(xiàn)被橢圓所截得的線(xiàn)段稱(chēng)為橢圓的通徑，其長(zhǎng)

為也.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)

端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

2、橢圓的切線(xiàn)

22

①橢圓三+2=1（。>6>0）上一點(diǎn)尸（后,%）處的切線(xiàn)方程是岑+綽=1；

abab

22

②過(guò)橢圓—+與=1（a>6>0）外一點(diǎn)尸（x。，%）,所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是

ab

■V-

a十Rb"一1；

22

③橢圓（〃>八。）與直線(xiàn)"+研。=。相切的條件是看"%』

名校模擬練

一、單選題

22

1.（2024?湖北荊州?三模）已知橢圓C：二+卷=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,2）,則上的值為

8k

()

A.4B.8C.10D.12

222

2.（2024?山東煙臺(tái)?三模）若橢圓三+匕=1與橢圓/+方=1（6>1）的離心率相同,

43

則實(shí)數(shù)b的值為（)

4

A.正B-HD

3-1

22

3.（2024?江西九江三模）已知橢圓心…）的左右焦點(diǎn)分別為片，已過(guò)

耳且傾斜角為2的直線(xiàn)交C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線(xiàn)段46的中點(diǎn)在了軸上,片外的

6

面積為26,則。的方程為（）

222

2%+>-1

A.—+y=1B.--------1---------1

332

22

CD.土+匕=1

96

22

4.(2024?河南?三模)已知橢圓C:5+2=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，短軸長(zhǎng)為2百,

ab

點(diǎn)〃在橢圓上，若I價(jià)I的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

A.3B.4C.1D.2

22

5.（2024?浙江紹興?三模）已知直線(xiàn)尸陽(yáng)已0）與橢圓C：1r+}=1（。>6>0）交于

A,8兩點(diǎn)，以線(xiàn)段相為直徑的圓過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)耳，若出/|=2出同，則橢圓C的離

心率是（）

A.0B.-C.—D.-

2439

22

6.（2024?江西鷹潭?三模）已知橢圓C:三+==1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

綜月，傾斜角為45。且過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)/交橢圓于MN兩點(diǎn).若|〃^=閨閭，設(shè)橢圓的離

心率為e,則/=（）

A.V2-1B.2-V2

C.73-1D.3-73

7.（2024?天津河西?三模）已知耳，耳是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公

7T

共點(diǎn)，且4尸巴=§,若橢圓的離心率為G，雙曲線(xiàn)的離心率為02，則e；+e；的最小值

為（）

A.3+V3B.C.D.4

22

22

8.（2024?四川?三模）已知橢圓C:土+白=13>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo)，點(diǎn)尸

4b

是橢圓上一點(diǎn)，若aw瓦的內(nèi)心為M,連接所并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)。，且

\PM\=^\QM\,則橢圓的短軸長(zhǎng)為（）

A.2B.272C.2A/3D.墳

3

22

9.（2024?廣東汕頭?三模）已知橢圓C：J+J=l的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,「是C

上任意一點(diǎn)，則下列不正確的是（）

A.C的離心率為:B.|即|的最小值為2

C.|尸團(tuán)?〔尸閶的最大值為16D.可能存在點(diǎn)P,使得/耳咤=65。

22

10.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:?+3=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

”,過(guò)￡向圓/+/=：〃引切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若尸|=|。閭，則橢

圓的離心率為（）

22

11.（2024?浙江?三模）已知橢圓「邑+2=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),

ab2

過(guò)巴的直線(xiàn)/與橢圓「相交于/、3兩點(diǎn)，與了軸相交于點(diǎn)C.連接耳C,丹/.若。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)XCLFXA,見(jiàn)=2S△皿6，則橢圓「的離心率為（）

A.巫VTo

5To-DY

二、多選題

22

12.（2024?河南開(kāi)封?三模）橢圓C:一二+J=l（m>0）的焦點(diǎn)為￡,F2,上頂點(diǎn)為

m+1m

jr

A,直線(xiàn)4片與c的另一個(gè)交點(diǎn)為3,若/片/工=§,貝IJ（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長(zhǎng)為2G

C.C的離心率為1D.△/陷的周長(zhǎng)為8

2

13.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距分別為2°、2b和2c的橢圓

。，點(diǎn)/是橢圓。與其長(zhǎng)軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)8是橢圓。與其短軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)々和

月為其焦點(diǎn)，48,幽?點(diǎn)尸在橢圓。上，若空心=；,貝U（）

A.a,b,c成等差數(shù)列

B.a,b,。成等比數(shù)列

C.橢圓。的離心率0=石+1

D.”明的面積不小于A(yíng)P耳區(qū)的面積

22

14.（2024?河南?三模）已知橢圓C:j+q=l（a>6>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（血,1）,且離心率為

ab

—.記c在p處的切線(xiàn)為/,平行于。尸的直線(xiàn)，'與c交于4B兩點(diǎn),則（）

2

22

A.C的方程上+匕=1

42

B.直線(xiàn)OP與/的斜率之積為-1

C.直線(xiàn)OP,/與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

D.直線(xiàn)P/,必與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

22

15.（2024?全國(guó)?二模）已知圓O：/+/=3經(jīng)過(guò)橢圓C：3+==1（a>/?>0）

ab

的兩個(gè)焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2,且P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且△/￥；耳的面積

為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2B.橢圓C的短軸長(zhǎng)為2

C.橢圓C的離心率為:D.點(diǎn)P的坐標(biāo)為彳,《一

22

16.（2024-江西南昌三模）將橢圓。邑+4=1（“>6>0）上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

ab

角，得到橢圓C2的方程：x2+y2-xy=6,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.a=2后B.橢圓的離心率為由

3

C.（2,2）是橢圓C?的一個(gè)焦點(diǎn)D.e=S

4

17.（2024?江西宜春?三模）設(shè)橢圓C：4+4=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,坐

84

標(biāo)原點(diǎn)為。若橢圓C上存在一點(diǎn)尸，使得Q尸|=彼，則下列說(shuō)法正確的有（）

3—--.

A.cosZF^=-B.PF「PF?=5

C.△耳P鳥(niǎo)的面積為2D.△月P匕的內(nèi)切圓半徑為亞7

三、填空題

18.（2024?上海?三模）已知橢圓C的焦點(diǎn)耳、耳都在x軸上，尸為橢圓C上一點(diǎn),

△P/例的周長(zhǎng)為6,且忸胤，閨囚，|尸閭成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

為_(kāi)_____

19.（2024?四川攀枝花?三模）已知橢圓C:=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

月、月，點(diǎn)在C上，且肥=3荻，后而，可，則橢圓C的離心率為.

22

20.（2024?山西三模）已知橢圓。邑+5=1（〃>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大,月，若

C上存在一點(diǎn)尸，使線(xiàn)段尸片的中垂線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與，則C的離心率的最小值是.

22

21.（2024?陜西咸陽(yáng)?三模）已知橢圓C:土+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,M為

54

橢圓C上任意一點(diǎn)，尸為曲線(xiàn)￡：/+/一6工-4>12=0上任意一點(diǎn)，則|叱|+|四|的

最小值為.

2

22.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知橢圓匕+x2=l,尸為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作

9

與直線(xiàn)4：歹=3x和4：y=-3x平行的直線(xiàn)，分別交4，4交于M,N兩點(diǎn),則的最

大值為?

22

23.（2024?重慶三模）已知橢圓，+勺=1缶>6>0）的左右焦點(diǎn)為片，工，若橢圓上存

在不在X軸上的兩點(diǎn)/,8滿(mǎn)足耳1+布=斤尺，^sinZFiAB=2sinZF2AB,則橢圓離

心率e的取值范圍為

參考答案與詳細(xì)解析

考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，

1.高考對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)是橢圓的定義和弦長(zhǎng)

16

(1)橢圓的定義、幾何圖

2023?新高考I卷，

形、標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的離心率

5

(2)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2022?新高考n卷,

(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心16

率)。直線(xiàn)與橢圓的應(yīng)用

2023?新高考n卷,

(3)直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系5

及綜合應(yīng)用。2024?新高考n卷,

橢圓的軌跡方程

5

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專(zhuān)題會(huì)解讀。n卷考查了

橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線(xiàn)的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定

義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，尤其是對(duì)離心率的求解，更是

高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計(jì)2025年高考還

是主要考查橢圓的定義和離心率。

三：試題精講

一、單選題

1.(2024新高考II卷6)已知曲線(xiàn)C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x

軸作垂線(xiàn)段尸P,P為垂足，則線(xiàn)段PP的中點(diǎn)/的軌跡方程為()

A.—+^=1(y>0)B.—+^=1(y>0)

164168

2222

C.匕+土=1(y>0)D.匕+土=1(…)

164168

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)/（x，V）,由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸（羽2歷，代入圓的方程即可

求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)則P（X,%）,P〈X,O）,

因?yàn)镸為PP的中點(diǎn)，所以為=2了，即P（x,2y）,

又尸在圓一+/=16&>0）上，

所以x2+4y~=16（y>0）,即/=l（y>0）,

164

22

即點(diǎn)加的軌跡方程為￡+V=?>0）.

164

故選：A

高考真題練

一、單選題

22

1.（2023新高考I卷-5）設(shè)橢圓Ci：=+/=i（q>i）c：土+/=i的離心率分別為

a4

若4=，貝!1。二（）

A.38B.V2C.V3D.V6

3

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.

【詳解】由02=6弓，得e；=3e；,因此±ll=3x",而。>1,所以°=刎1.

4a3

故選:A

丫2

2.（2023新高考II卷-5）已知橢圓C:?+/=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線(xiàn)

>=x+加與C交于/,3兩點(diǎn)，若面積是△鳥(niǎo)面積的2倍，貝U%=（）.

A.fB.—C.--D.--

3333

【答案】C

【分析】首先聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用△＞（）,求出加范圍，再根據(jù)三角形面積

比得到關(guān)于加的方程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線(xiàn)＞=x+m與橢圓聯(lián)立，2消去》可得+6mx+3m2—3=0,

——+y=1

[3,

因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相交于45點(diǎn)，貝”=36/一4x4（3/—3）＞0,解得一2＜加＜2,

設(shè)可到的距離4A到AB距離B，易知片卜叵0）,匕（后,0）,

則4」一母刈|V2+m|

V2

|-V2+mI

號(hào)卜2,解得…9或一3a（舍去）,

S.F2AB\4i+m\

V2

故選：C.

二、填空題

22

3.（2022新高考I卷-16）已知橢圓C:=+==l（a＞6＞0）,C的上頂點(diǎn)為4兩個(gè)焦

點(diǎn)為￡,F2,離心率為，過(guò)百且垂直于/月的直線(xiàn)與C交于D,E兩點(diǎn)，|^|=6,

則V4DE的周長(zhǎng)是.

【答案】13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為白+￡=1，即婷+4/一12c2=0,根據(jù)離心

率得到直線(xiàn)4巴的斜率，進(jìn)而利用直線(xiàn)的垂直關(guān)系得到直線(xiàn)OE的斜率，寫(xiě)出直線(xiàn)。E

的方程：x=^y-c,代入橢圓方程少+4y2-12c2=0,整理化簡(jiǎn)得到：

111Q

13/-6V3cy-9c2=0,利用弦長(zhǎng)公式求得。=白得-2c=?,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性將V/DE

84

的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△耳DE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4a=13.

【詳解】?.?橢圓的離心率為e，=：,.“=2c,./=a2-c2=3c2,...橢圓的方程為

a2

22

意■+（7=1,即3尤2+4/一12c2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為￡,右焦點(diǎn)為鳥(niǎo)，如圖所示，V

TT

AF?=a,OF2=C,Q=2C,???乙4鳥(niǎo)。=§,???△Z片g為正三角形，??,過(guò)丹且垂直于4月的

直線(xiàn)與C交于D,E兩點(diǎn)，OE為線(xiàn)段/耳的垂直平分線(xiàn)，二直線(xiàn)?！甑男甭蕿闊o(wú)，斜

3

率倒數(shù)為右，直線(xiàn)的方程：x=^y-c,代入橢圓方程,+4/-12/=0,整理化簡(jiǎn)

得至!）：13y2-6V3cy-9c2=0,

判別式A=（6GC）2+4X13X9C2=6?X16XC2,

加

???c=——13,得a=2-c=——13,

84

???OE為線(xiàn)段盟的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，NE=E8,的周長(zhǎng)等

于△笈￡）￡的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為

口工|+|%|+|。同=|DF]|+|EF21+|DF\|+|EF、卜|DF1|+|。段+|跖%|%|=2a+2a=4〃=13.

故答案為：13.

4.（2022新高考n卷T6）已知直線(xiàn)/與橢圓±+==1在第一象限交于8兩點(diǎn)，I

63

與x軸，》軸分別交于跖N兩點(diǎn)，S.\MA\^\NB\,\MN\^273,貝I」/的方程

為.

【答案】x+V2_y-2>/2=0

【分析】令48的中點(diǎn)為E，設(shè)/（西，乂），3（x2，%）,利用點(diǎn)差法得到自=-；，

設(shè)直線(xiàn)48：y=kx+m,k<09m>0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)求出左、m,即

可得解；

【詳解】［方法一］:弦中點(diǎn)問(wèn)題：點(diǎn)差法

令22的中點(diǎn)為E,設(shè)/（國(guó),%），8（%,%），利用點(diǎn)差法得到曝也B=-g，

設(shè)直線(xiàn)48：歹=履+加，k<0,m>0,求出〃、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)求出左、機(jī)，即可得解；

解：令48的中點(diǎn)為￡,因?yàn)?所以|友回=|NE|,

2222

設(shè)/&,/）,B（x2,y2）,則當(dāng)+01,亳+勺=1,

所以式.一互+正一支.=0,即（網(wǎng)一七）（％+））?（必+%）（，-%）=0

663363

所以（（：二票二卜;,即噎也設(shè)直線(xiàn)女尸…

A<0,m>09

令工=0得》=加，令〉=0得%=一；，即M-；,0,N（0,〃z）,

k\k）

所以E

m

即左xVr=-1，解得人=一#或％=交（舍去）,

1nz22

X|ACV|=2A/3,gp\MN\=yjm2+=273,解得%=2或加=-2（舍去）,

所以直線(xiàn)AB:「冬+2,即x+島-2貶=0；

故答案為：x+sfly-2V2=0

［方法二］:直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點(diǎn)E既為線(xiàn)段的中點(diǎn)又是線(xiàn)段MN的中點(diǎn),

設(shè)/（再,必）,B（x2,y2）,設(shè)直線(xiàn)=kx+m9k<0,m>09

則M卜拳,0N&m）,E［一棄泉因?yàn)閜W|=26,所以|。同=百

y=kx+m

聯(lián)立直線(xiàn)AB與橢圓方程得X2/消掉y得（1+2F）/+4mkx+2m2—6=0

---1---=1

I63

其中A=（4加IF-4（1+2/2）（2加2-6）X）,Xx+X2=---,

???AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)蕓，又小囁,口.日2mk_m

1+2左2-2k

,??左<0,m>0,.*.k=4,又|?！陓=J（_〃~）2+（生）2=G,解得m=2

21'\2k2

所以直線(xiàn)AB:尸-*+2,即x+岳-2行=0

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳，巴的距離之和等于常數(shù)2a(2°>|耳耳|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語(yǔ)

言表示為:{尸||尸耳|+1PF21=2a(2a>|F1F2|=2c>0)}

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

統(tǒng)一方程

\x=acos0、，公、/、[x=acos0、r—/、

參數(shù)方程\7.八刀為參數(shù)（?！闧0,2加）(7.八，6為參數(shù)(?！闧0,2加)

[y=bsm3[y=bsmO

第一定義到兩定點(diǎn)耳、耳的距離之和等于常數(shù)2a,§.\i\MF1\+\MF2\=2a（2a>|耳乙|）

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A](-Q,°)、(a,0)A40,-Q)、A2(0,a)

頂點(diǎn)

Bi(O,-?、B2(0,b)B](-仇0)、B2(ft,0)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=26長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=26

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

隹占

八'、八、、耳（-c,0）、巴（c,0）々（0,-c）、乙（0,c）

焦距耳閶=2c(c2=a2-b2)

離心率e==(0<-l)

~aVvaVa

準(zhǔn)線(xiàn)方程

c

點(diǎn)和橢圓Si一外>1外

宣+反<

ME.=10點(diǎn)(%,比)在橢圓4上=10點(diǎn)(//0)在橢圓<上

"b2a2b2

的關(guān)系<1內(nèi)<1內(nèi)

筆+矍=i（&,%）為切點(diǎn)）駕：+等=1（際％）為切點(diǎn)）

abab

切線(xiàn)方程對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)（%,%）的切線(xiàn)方程，只需將橢圓方程中一換為X°X,/換

為為y可得

切點(diǎn)弦所

誓+萼=1（點(diǎn)（%,%）在橢圓外）理+苦=1（點(diǎn)（％,%）在橢圓外）

abab

在的直線(xiàn)

方程

①cos”——l，￡ax=NF'BF?,（5為短軸的端點(diǎn)）

桃2’

分>C1.ZJ入2f9jc|Vo焦點(diǎn)在X軸上,A、

②丁2smjta*=V"焦點(diǎn)在，軸上（。=4"）

C落

隹占二角

八、、八、、-?/IJ

形面積

c［當(dāng)尸點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，（64）min=b2

［當(dāng)尸點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，（M）max=/

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

2a⑵>2C）

\\MFX\+\MF2\=

H呷sin/耳尸鳥(niǎo)）

222

|lg|=|PFt\+\PF2I-21PF、||PF21cos/百尸耳

左焦半徑：|孫仁^+玄。上焦半徑：\MF1\=a-ey0

焦半徑

又焦半徑：W/|=a-ex。下焦半徑：\MF^=a+ey0

焦半徑最大值4+C,最小值

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=2%（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）

通徑

a

設(shè)直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為4（演,必），B（x2,y2）,kAB=k,

2

則弦長(zhǎng)=Jl+左27—引=Jl+左21（/+x2）—4XIX2

弦長(zhǎng)公式

=++「2）2+

Vk\a\

（其中。是消y后關(guān)于x的一元二次方程的x2的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

1、過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線(xiàn)被橢圓所截得的線(xiàn)段稱(chēng)為橢圓的通徑，其長(zhǎng)

42/

為——.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)

端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

2、橢圓的切線(xiàn)

22

①橢圓1+5=1伍>6>0）上一點(diǎn)尸（毛，％）處的切線(xiàn)方程是誓+理=1；

abab

22

②過(guò)橢圓?+9=1（a>6>0）外一點(diǎn)P（七，%）,所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是

空出=]

"b2~

22

③橢圓二+與=15>6>0）與直線(xiàn)4c+5y+C=0相切的條件是+勿〃=。2.

ab

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?湖北荊州?三模）已知橢圓C：且+[=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,2）,則左的值為

8k

（）

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)位置即可得解.

【詳解】由題意得，/=4,a2=k9/=8，所以左=4+8=12.

故選：D.

222

2.（2024?山東煙臺(tái)?三模）若橢圓上+二=1與橢圓/+馬=1（b>l）的離心率相同,

43b2

則實(shí)數(shù)b的值為（）

A.-B.-C.如D.-

3324

【答案】A

【分析】由離心率相等列出關(guān)于6的方程求解即可.

222

【詳解】若橢圓-+J=1與橢圓，+與=1（6>1）的離心率相同，

43b2

則上口=。，解得6=型>1滿(mǎn)足題意.

4b23

故選：A.

22

3.（2024?江西九江?三模）已知橢圓C:J+'=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳&過(guò)

ab

F、且傾斜角為丁的直線(xiàn)交C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線(xiàn)段AF,的中點(diǎn)在了軸上,的

O

面積為2G，則C的方程為（）

X2口Y>2

AA.—+y2=1B.——+—=1

332

2222

C.土+工=1D.土+二=1

9396

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到RSME，/陽(yáng)外=￡閥盟|=乙其它邊全部用t表示，運(yùn)

6

用面積為構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進(jìn)而求出c,b即可.

【詳解】如圖,???O為線(xiàn)段與巴的中點(diǎn),8為線(xiàn)段/月的中點(diǎn),r.08〃/鳥(niǎo)，又，x軸,

AF2_Lx軸.

在RtA/耳月中，NAFE=2,設(shè)|盟|=匕則|/胤=2f,閨周=的面積為2g,

6

/.-^-xy/3txt=2A/3,Z=2./.2a=恒用+=3t=6,a=3,

22

2c=|-^-^|=>/3z=2A/3,C=V3,/)2=a2-c2=6,則C的方程為土+匕=1?

96

故選：D.

22_

4.（2024?河南?三模）已知橢圓C:=+A=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，短軸長(zhǎng)為2班,

Qb

點(diǎn)"在橢圓上，若I”尸I的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

A.3B.4C.1D.2

【答案】D

【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于凡，的方程組，解之即可