2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

類型十二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)0（0,0）,E。。,。），矩形A3CD的邊

在線段OE上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C,。在拋物線上，設(shè)8,0）,當(dāng)f=2時(shí)，BC=4.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)r為何值時(shí)，矩形A3CO的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？

（3）保持/=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)

交點(diǎn)G,H,且直線G”平分矩形ABC。的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.

1541

【答案】⑵當(dāng)r=l時(shí)，矩形A3CO的周長(zhǎng)有最大值，最大值為彳；（3）4

【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為＞=依（》-10）（。/0）,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的

坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）由拋物線的對(duì)稱性得==則AS=10-2f,再得出根據(jù)矩

42

形的周長(zhǎng)公式，列出矩形周長(zhǎng)的表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；

（3）連接AC,8。相交于點(diǎn)P,連接OC,取OC的中點(diǎn)Q,連接尸。，根據(jù)矩形的性質(zhì)和

平移的性質(zhì)推出四邊形OCHG是平行四邊形，則PQ=CH,PQ=^OA.求出f=2時(shí)，點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（8,0）,則CH=（OA=4,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解:設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為、=依（工-10）（。/0）.

:當(dāng)/=2時(shí)，BC=4,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,T）.

將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得2a（2-10）=T,

解得”!?

，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為>=［尤2-2-

42

(2)解：由拋物線的對(duì)稱性得：AE=OB=t,

：.AB=10-2r.

當(dāng)x=7時(shí)，BC=--t2+-t.

42

，矩形"CD的周長(zhǎng)為

2(AB+BC)=2(10-2?)+l-^2+|d

1,

=——t2+t+20

2

1/八241

=一?T)+V

2

41

當(dāng)』時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值’最大值為萬.

(3)解：連接AC,BD相交于點(diǎn)尸，連接。C,取0c的中點(diǎn)。，連接PQ.

V直線GH平分矩形ABCD的面積，

直線GH過點(diǎn)P..

由平移的性質(zhì)可知，四邊形0cWG是平行四邊形,

PQ=CH.

?.?四邊形ABCD是矩形，

是AC的中點(diǎn).

PQ=^OA.

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,0),

CH=-OA=4.

2

上拋物線平移的距離是4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì).

2.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=-d+4x的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,

經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)3（1,3）,與y軸父于點(diǎn)C.

圖3

⑵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線軸于點(diǎn)E,與直線

交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加.

①當(dāng)尸。=，OC時(shí)，求機(jī)的值；

2

②當(dāng)點(diǎn)?在直線A3上方時(shí)，連接。尸，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)Q,BQ與OP交于點(diǎn)F,連

接DF.設(shè)四邊形F。即的面積為S,求S關(guān)于機(jī)的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值.

【答案】（l）y=-x+4,點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0,4）；（2）①2或3或②s=_/一鼻+（,

s的最大值為9:

【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線48的函數(shù)表達(dá)式，再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（2）①分當(dāng)點(diǎn)P在直線上方和點(diǎn)P在直線43下方時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)尸￡>=2列一

元二次方程求解即可；

②證明推出凡2=T〃+4,再證明四邊形尸。即為矩形，利用矩形面積公

式得到二次函數(shù)的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：由y=-d+4x得，當(dāng)y=0時(shí)，-Y+4x=0.

解得％=0,%2=4.

?點(diǎn)A在x軸正半軸上.

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）.

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為y=（左70）.

將48兩點(diǎn)的坐標(biāo)（4,0）,（1,3）分別代入丫=履+》，

得。⑷+t+66==30'

\k=-\

解得八，，

[b=4

；?直線A3的函數(shù)表達(dá)式為，=-》+4.

將x=0代入y=-x+4,得y=4.

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）；

（2）①解：-點(diǎn)P在第一象限內(nèi)二次函數(shù)y=-尤2+以的圖象上，且尸軸于點(diǎn)E,與直

線A8交于點(diǎn)D,其橫坐標(biāo)為機(jī).

點(diǎn)P,D的坐標(biāo)分別為P^m,-nr+4〃z）,D（m,-m+4）.

PE=-m2+4m,DE=-m+4,OE=m.

??,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,

???OC=4.

?：PD=-OC

2f

：?PD=2.

如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在直線A3上方時(shí)，PD=PE-DE=-m1+4m-(-m+4)=-m2+5m-4.

PD=2,

-m2+5m-4=2.

解得叫=2,丐=3.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在直線A3下方時(shí)，PD=DE-PE=-m+4-^-m2+4帆）=4-5帆+4.

m2—5m+4=2?

解得時(shí)呼

*.*0<m<1,

,5-V17

??m=-----

2

綜上所述，加的值為2或3或￥

②解：如圖3,由（1）得，OE=〃z,PE=-根？+4%OE=—%+4.

???5。，無軸于點(diǎn)。，交OP于點(diǎn)尸，點(diǎn)5的坐標(biāo)為(1,3),

???OQ=1.

??,點(diǎn)尸在直線AB上方，

EQ=m-1.

???軸于點(diǎn)E,

ZOQF=ZOEP=90°.

：.FQ//DEfZFOQ=ZPOEf

：.△FOQS&OE.

,FQ=OQ

??PE-OE?

.??FQ=1

—m2+4mm

,「人-m2+4m/

..FQ=------------=—m+4.

一m

：.FQ=DE.

???四邊形/。皮>為平行四邊形.

*.*P￡_Lx軸，

???四邊形/。皮>為矩形.

S=E2-F2=(m-l)(-m+4).

BPS=-m2+5m-4.

2u/C579

Sc=—m+5m-4=—m——+—

I2j4

Vl<m<4,

5Q

???當(dāng)加=1時(shí)，S的最大值為彳.

24

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股

定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含機(jī)

的代數(shù)式表示出FQ是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線G：y=，上有兩點(diǎn)

A.B,其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,拋物線：y=-尤?+bx+c過點(diǎn)4反過

備用圖

⑴求拋物線C2的解析式；

⑵將矩形ACDE向左平移m個(gè)單位，向下平移n個(gè)單位得到矩形A!CD'E',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C

落在拋物線Ci上.

①求”關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量機(jī)的取值范圍；

②直線AE'交拋物線于點(diǎn)尸，交拋物線C?于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)E'為線段P。的中點(diǎn)時(shí)，求加的

值；

③拋物線C?與邊ED、AC分別相交于點(diǎn)/、N,點(diǎn)/、N在拋物線C2的對(duì)稱軸同側(cè)，當(dāng)

時(shí)，求點(diǎn)C'的坐標(biāo).

3

25

【答案】(l)y=-f_2x+4；(2)@n=-m+4/n(0</n<4)；@tn=~^；③C'［莊,

21636I

【分析】(1)根據(jù)題意得出點(diǎn)人(-2,4),3(1,1),待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)①根據(jù)平移的性質(zhì)得出C'(2,4-〃)，根據(jù)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在拋物線G上，可得

(2-rnf=4-n,進(jìn)而即可求解；

②根據(jù)題意得出網(wǎng)-2-私1+4m+4),2(-2-2m+4),求得中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意

即可求解；

2

③連接MN,過點(diǎn)N作NGLED于點(diǎn)G,勾股定理求得MG=§,設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為

—2a+4),貝ijMQ2—2a+6),將M—o2—2a+6)代入y=—x2-2,x+4,

求得。"，求得N僧,If],進(jìn)而根據(jù)C'落在拋物線G上，將y=代入G：y=v,即可

6<636J36

求解.

【詳解】(1)解：依題意，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為1,代入拋物線G：y=，

，當(dāng)尤=—2時(shí)，y=(—2)~=4,則A(-2,4),

當(dāng)x=l時(shí)，y=l,貝U3(1,1),

2

將點(diǎn)4(-2,4),3(1,1),代入拋物線C2-.y=-x+bx+c,

.1-(-2)2-2/?+C=4

-l+b+c=1

[b=-2

解得：,

[c=4

A拋物線C2的解析式為y=-丁-2x+4；

(2)①解：：AC〃x軸交拋物線q：y=/另一點(diǎn)為點(diǎn)c,

當(dāng)y=4時(shí)，x=±2,

/.C(2,4),

:矩形ACDE向左平移加個(gè)單位，向下平移”個(gè)單位得到矩形ACDE,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落

在拋物線G上

C'(2—m,4—n),(2—m)2=4—n

整理得n=—m*2+4m

m>0,n>0

0<m<4

n=一>+4m（0<m<4）；

②如圖所示，

\T

\ED

A

X

VA（-2,4）,C（2,4）

：.AC=4,

-：AE=-AC=2

2

：.￡（-2,6）,

由①可得A（-2—m,m2-4機(jī)+4）,E'[-2—4m+6）

?'.P,。的橫坐標(biāo)為-2—機(jī)，分別代入G：>=—,y=—x2—2x+4

2—m,m2+4m+4）,Q（—2—根，—加之—2機(jī)+4）,

.m2+4m+4-m2-2m+4.

??----------------=m+4

2

.tP0的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-私小+4）

??,點(diǎn)￡為線段尸。的中點(diǎn)，

m2—4m+6=m+4

解得：m=-"2或加=5+\/F7（大于％舍去）

22

③如圖所示，連接過點(diǎn)N作NGLE'D于點(diǎn)G,

222

MG=yjMN-MG=4f-2=-,

t3J3

設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,—Y—2a+4),貝!]M^a——,—a2—2a+6

將Af(a-1,—/—2a+6)代入y=—x2—2x+4,

+4=-a2—2a+6

5，一2上+4=絲

當(dāng)〃=:，—a1—2a+4=—

6I636

559

：.N

6'36「

59

將y=ff代入G：y=x2

36

屈

解得:

6

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?安徽）如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊

BC為12米，另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，

(2)在隧道截面內(nèi)(含邊界)修建“E”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所

示，點(diǎn)片，巴在x軸上,MN與矩形《244的一邊平行且相等.柵欄總長(zhǎng)1為圖中粗線段耳￡,

%P3R，MN長(zhǎng)度之和.請(qǐng)解決以下問題：

(i)修建一個(gè)“E”型柵欄，如圖2,點(diǎn)尸2，乙在拋物線AED上.設(shè)點(diǎn)片的橫坐標(biāo)為

m(O<m<6),求柵欄總長(zhǎng)1與m之間的函數(shù)表達(dá)式和1的最大值；

(ii)現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為is的柵欄，有如圖3所示的修建“rn”型或“R”型柵型

兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形［巴4門面積的最大值，及取最大值

時(shí)點(diǎn)打的橫坐標(biāo)的取值范圍(片在巴右側(cè)).

【答案】(1)丫=一：(+8

6

(2)(i)l=-1m2+2m+24,1的最大值為26；(ii)方案一：-a+9WP1橫坐標(biāo)W同；

Q

方案二：-e+5WPl橫坐標(biāo)w期

【分析】(1)通過分析A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)(i)結(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標(biāo)為(m,—：而+8),然后列出函數(shù)關(guān)系式，利

O

用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值；

(五)設(shè)1i支1=11,分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值，

從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍.

(1)由題意可得：A(—6,2),D(6,2),

又：E(0,8)是拋物線的頂點(diǎn)，

設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?+8,將A(-6,2)代入，

(—6)—+8=2,解得：a=--,

6

???拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-9X?+8；

6

(2)(i),?,點(diǎn)Pi的橫坐標(biāo)為m(0VmW6),且四邊形PF2P3P4為矩形，點(diǎn)P2,P3在拋物線AED

上，

二?P2的坐標(biāo)為(m,--m2+8),

6

.1.PIP=PP4=MN=--III::+8,PP=2m,

23623

.*.1=3(-—m2+8)+2m=--m2+2m+24=(m—2)2+26,

622

<0,.?.當(dāng)m=2時(shí)，1有最大值為26,

2

即柵欄總長(zhǎng)1與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l=-gm2+2m+24,1的最大值為26；

(ii)方案一：設(shè)P2Pi=n,則P2P3=18—3n,

：.矩形RP2P3P4面積為(18—3n)n=-3n2+18n=—3(n—3)2+27,

V-3<0,

.,.當(dāng)n=3時(shí)，矩形面積有最大值為27,

此時(shí)P2Pl=3,P2P3=9,令-!x°+8=3,解得：x=±>/30,

6

止匕時(shí)Pi的橫坐標(biāo)的取值范圍為-而+9WP1橫坐標(biāo)(同，

方案二：設(shè)P#j=n,則BP3=9—n,

Q81

22

...矩形PiP2P3P4面積為(9—n)n=-n+9n=—(n——)+一，

24

981

1<0,.?.當(dāng)n=；時(shí)，矩形面積有最大值為號(hào)，

24

Qq1a

此時(shí)P2Pl=5,P2P3=萬，令-7x2+8=],解得：x=±-721>

q

此時(shí)Pi的橫坐標(biāo)的取值范圍為-72i+-^Pi橫坐標(biāo)wV21.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識(shí)圖，確定關(guān)鍵點(diǎn)

的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

5.(2021?四川中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=-尤2+6x+c交x軸于點(diǎn)A

和C(1,O),交了軸于點(diǎn)3(0,3),拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.

A?

(i)求拋物線的解析式；

(2)將線段OE繞著點(diǎn)。沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段。？，旋轉(zhuǎn)角為(/(0。</<90。)，連接

AE',BE',求的最小值.

(3)M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為

頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)恒；(3)存在，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2,-1,一"下

32

或上g

2

【分析】

(1)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，設(shè)解析式為yn-f+bx+c將C(1,O),3(0,3)兩點(diǎn)代

入求得6,c的值即可；

(2)胡不歸問題，要求BE'+gAE，的值，將折線化為直線，構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)化

為;OE,再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得最值；

(3)分2種情形討論：①AB為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質(zhì)可以求得

N點(diǎn)的坐標(biāo)；

②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),RN=1AB,利用兩點(diǎn)距離公式求解方程可得N點(diǎn)的

坐標(biāo).

【詳解】

解：（1）;y=-%2+6%+c過C（1,O）,3（0,3）

.{-l+b+c=0

?,〔c=3

Z?=—2,c=3

:?拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3

(2)在OE上取一點(diǎn)。，使得OD=goE,連接BD

'：OD=-OE=-OE'

33

對(duì)稱軸x='I=-1.

E（-1,0）,OE=1

OE'=OE=1,OA=3

.OE'OP_1

ZDOE'=ZE'OA

-OF-3

：.ADOE^AE'OA

：.DE^-AE1

3

...BE'+-AE'=BE'+DE'

3

當(dāng)5,E',。三點(diǎn)在同一點(diǎn)直線上時(shí)，BE+DE最小為BD.

在RtABOD中，OD=~,OB=3

3

/.BD=y/OB2+OD2=

即工AE，最小值為恒.

33

(3)情形①如圖，AB為矩形的一條邊時(shí)，

fy=0

聯(lián)立一29「

[y=—x—2x+3

得[[yx==o-3[\xy=o\

A(—3,0),OA=3

OB=3

.?.VABO是等腰尺八，2540=45。

分別過A8兩點(diǎn)作AB的垂線，交y=-V-2x+3于點(diǎn)N”Nz，

過乂,但作軸，Njlx軸，

2QBN、=/PAN[=45°

△AMP也是等腰直角三角形

設(shè)。8=m，則N[Q=7",所以N](TW,〃Z+3)

代入＞=-X2-2X+3,解得叫=1,?2=。(不符題意，舍)

乂(-1,4)

同理，設(shè)。尸=〃，貝lJPN=〃+3,所以必(a-77-3)

代入y=-d-2x+3,解得n|=2,%=-3(不符題意，舍)

..?能(2,-5)

V

-

5

,0

B

p

T

345X

-5-4-\2

②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn)，則&V=；AB

A(-3,0),B(0,3)

33______

-R(一,5)，AB=v32+32=3^/2

:.RB=-AB=^~

22

RN=-AB

2

「.RN二還

2

設(shè)N(X,-￡—2x+3),貝lj

(X+|)2+(d+2x—|)2=(乎)2

整理得：x(x+3)，+D=0

解得：芯=0(不符題意，舍)，X2=-3(不符題意，舍)，

T+百-1-75

X=-----------，X.=-----------

22

???綜上所述：N點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2,-1,士@或土心.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數(shù)與一

次函數(shù)交點(diǎn)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離計(jì)算等知識(shí),

能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?甘肅中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=gx2+bx+c與坐標(biāo)軸交

于4(0,-2),3(4,0)兩點(diǎn)，直線3C：y=-2x+8交》軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。為直線A3下方拋物線上

一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為G,DG分別交直線于點(diǎn)E,尸.

(1)求拋物線y=g/+6尤+c的表達(dá)式；

(2)當(dāng)GF=；,連接3。，求廳的面積；

(3)①“是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形3EHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足PH=PC+2,求△尸”8周長(zhǎng)的最小值.

【答案】(1)y=|x2-1x-2；⑵、；(3)①"(0,3)；②4行+7

【分析】

(1)直接利用待定系數(shù)法即可求出答案.

(2)由題意可求出05=4,OA=2.利用三角函數(shù)可知在及乃Q1和及—3G尸中，

tan/A20=g'=空，由此即可求出GB=1,從而可求出0G=3.即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，繼

OBGB

而求出G￡>=2.再根據(jù)GP=1,即可求出FD的長(zhǎng)，最后利用三角形面積公式即可求出最

2

后答案.

(3)①連接交所于點(diǎn)N.根據(jù)矩形的性質(zhì)可知附=八反=128=]￡？，

22

HFBC.由￡F〃4c,可推出型=/=變=1.由“F8C,可推出里=空=1.再

OGCEAFAHAF

根據(jù)直線BC的解析式可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出0C的長(zhǎng)，由此可求出AC的長(zhǎng)，即可求出

CH的長(zhǎng)，最后即得出0H的長(zhǎng)，即可得出H點(diǎn)坐標(biāo).

②在Rt0BH中,利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)。-皿二尸以+依+加結(jié)合

PH=PC+2可推出CWffl=PC+PB+7,即要使CWB最小，就要PC+P3最小，由題意可

知當(dāng)點(diǎn)P在3c上時(shí)，PC+PB=BC為最小.即求出BC長(zhǎng)即可.在Rf0BC中，利用勾股

定理求出BC的長(zhǎng)，即得出汨周長(zhǎng)的最小值為3C+7.

【詳解】

解：(1)?.?拋物線、=；無2+灰+0過4(0,—2),3(4,0)兩點(diǎn)，

Jc=-2

■■(8+4/?+c=0，

：3

u-------

解得，\2,

(2)3(4,0),

..03=4.

同理，OA=2.

又軸，軸，

在RtBOA和RtBGF中，tanNABO=---=---，即22

°BGB-=-

.\OG=OB-GB=4-1=3.

i3

當(dāng)x=3時(shí)，y=-x32—x3—2=—2,

D22

...0(3,一2),即GD=2.

13

:.FD=GD-GF=2——=-,

22

1133

:.S洶=—FDBG=—x—xl=—.

BDF2224

(3)①如圖，連接BH,交EF于點(diǎn)、N.

???四邊形BEHF是矩形，

/.EF=BH,BN=NH=-BH.

2

又二EF//AC,,

.BN_BF

**AW-AF-'

BGBEBFi

,'OG~CE~~\F~,

???四邊形5石"F是矩形，

/.HF//BC.

CHBF1

/.----=——=l,

AHAF

*.*當(dāng)x=0時(shí)，/=8,

???OC=8,

AC=OC+AO=8+2=10,

:.CH=5,

:.OH=OC—CH=3—5=3,

.\H（0,3）.

②在心OBH中,HB=^OH2+OB1=A/32+42=5^

PH=PC+2.

.\CPHR=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7

，要使CpRB最小，就要PC+總最小.

PC+PB>BC,

...當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，尸C+尸3=BC為最小.

在Rf08c中,BC=>]OC2+OB2=782+42=4A/5-

二一周長(zhǎng)的最小值是4石+7.

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)綜合題.考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的圖象和性

質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形三邊關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng),

較難.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

7.(2021?山東中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線了=。尤2+桁-4交x軸

于4(-1,0),3(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接尸B,過點(diǎn)C作CQ//BP交X軸于點(diǎn)Q,連接尸。，

求△PB。面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線、=辦2+法一4向右平移經(jīng)過點(diǎn)(；,0)時(shí)，得到新拋物線

>9,點(diǎn)片在新拋物線的對(duì)稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)尸，使得以A、

P、E、產(chǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

參考：若點(diǎn)片(/%)、2(%,%)，則線段44的中點(diǎn)4的坐標(biāo)為[土產(chǎn)，，11

【答案】(1)該拋物線的表達(dá)式為：y=x2-3x-4；(2)△尸8。面積最大值為8,此時(shí)P

點(diǎn)的坐標(biāo)為：P(2,-6)；(3)*-2,-3+省)或網(wǎng)一2,-3-班)或尸(6,T)或尸/g]

【分析】

(1)將兩個(gè)點(diǎn)分別代入拋物線可得關(guān)于a,b的二元一次方程組，可解得a,b;

(2)設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用三角形相似，及三角形面積公式，代入化簡(jiǎn)可得一個(gè)二次函

數(shù)，求其最大值即可；

(3)拋物線的平移可確定拋物線解析式及對(duì)稱軸，設(shè)出點(diǎn)E、F,應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及矩形

特點(diǎn)分成的三角形為直角三角形，可得出答案.

【詳解】

解：(1)將A(-1,0),B(4,0)代入拋物線y=以2+力力一4可得：

(a-b-4=0

116a+48-4=0'

:?該拋物線的表達(dá)式為：y=f—3x-4；

(2)過點(diǎn)P作PN_Lx軸于點(diǎn)N,如圖所示:

設(shè)尸（七,%）且（0<玉<4,弘<0）,0（%2,0）,

OQ=x2,BN=4-X],PN=lyi,OC=4,

?.?CQ//BP,

:.LCOQS.PNB,

即*，

BNPN4一々一%

_4^-16

X2=，

“4一3,

?'-SBPQ=；5Q.|4|=gx14_4x；16卜一yj,

?.?點(diǎn)P&,yJ在拋物線上，

%=x；-3x1-4,

SBPQ=—2才+8%,（0<jq<4）,

b8

根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)：對(duì)稱軸為%=一五=-2x（-2）=2在。<%<4內(nèi),

??SBPQ在*=2取得最大值，代入得：SBPQ=8,

2

當(dāng)再=2時(shí)，yx=2—3x2—4=—6,

，△心。面積的最大值為8,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：尸(2,-6).

(3)在(2)的條件下，原拋物線解析式為y=V-3x-4,將拋物線向右平移經(jīng)過點(diǎn)

3

可知拋物線向右平移了I個(gè)單位長(zhǎng)度,

化簡(jiǎn)得平移后的拋物線：y=x2-6x+^,

對(duì)稱軸為：尤=一白b=一m—=63,

2a2x1

由(2)得：A(-1,0),P(2,—6),點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，

.,.設(shè)E(3,e),點(diǎn)F(m,n),矩形AEPF,

當(dāng)以AP為矩形的對(duì)角線時(shí)，則AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為：［二宇，等；EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為:

根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，兩個(gè)中點(diǎn)坐標(biāo)相同，可得:

-1+23+m

2-2

<

0-6e+n

.丁?丁

fm=—2①

解得：3

[e+〃=-6②

:矩形AEPF,

&田為直角三角形，

AE2+AF-=EF2,③

AE2=(-l-3)2+(O-e)\

AF2=(加一(-1))~+(M-0)",

EF2=(m-3)2+(?-e)2,

代入③化簡(jiǎn)可得：en=4,④

.,?將②代入④可得：(-6-冷”=4,

化簡(jiǎn)得：/+6幾+4=0,

根據(jù)判別式得：/_4〃c=62-4xlx4〉0,

勺=-3+A/S，4=—3_y/s

：.廠(-2,—3+如)或尸(一2,-3—君)；

當(dāng)以AP為矩形的邊時(shí)，如圖所示：

過點(diǎn)P分別作PGLx軸于點(diǎn)G,PH〃x軸，過點(diǎn)F作PH的垂線，垂足為H,設(shè)拋物線的對(duì)稱

軸與x軸的交點(diǎn)為M,如圖，

???AG=3,尸G=6,ZAGP=ZEMA=ZFHP=90°,AM=4,

tanZGAP=—=2,

AG

??,四邊形"PE是矩形，

ZEAP^ZAPF=90°,AE=PF,

.??ZGAP+ZAPG=ZGAP+ZEAM=ZAPG+ZGPF=ZFPH+Z.GPF=90°,

ZEAM=ZAPG=NFPH,

：.^AME^PHF^AAS},

：.AM=PH=4,EM=FH,

ZEAM+ZAEM=90°,

ZAEM=ZGAP,

tanZAEM=tanZ.GAP=2,

AM

JEM==2,

tanZAEM

???FH=2,

???點(diǎn)P（2,-6）,

當(dāng)以AP為矩形的邊時(shí)，如圖所示:

綜上所述：以A、P、E、月為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，網(wǎng)-2,-3+⑹或網(wǎng)-2,-3-⑹或

尸（6,-4）或

【點(diǎn)睛】

題目考查確定二次函數(shù)解析式及其基本性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等，難點(diǎn)主要是依據(jù)圖

像確定各點(diǎn)、線段間的關(guān)系，得出答案.

8.（2021?黑龍江中考真題）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+2x+c（aw0）與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于

點(diǎn)C,連接BC,OA=1,對(duì)稱軸為尤=2,點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上C,D兩點(diǎn)之間的距離是

(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE.求3CE面積的最大值；

(4)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

125iOS73

【答案】(1)y=--x+2x+-:(2)20；(3)皆；(4)(7,4)或(-3,-R或(3,-R

或(3,4).

【分析】

(1)先根據(jù)對(duì)稱軸可得。的值，再根據(jù)。4=1可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可

得；

(2)利用拋物線的解析式分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得；

(3)過點(diǎn)E作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)、F,先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)

點(diǎn)E的坐標(biāo)為++從而可得0</<5和下的坐標(biāo)，然后根據(jù)

S/XBCE=S^EF+S^BEF可得$BCE關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；

(4)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為P(2,根)，分①當(dāng)8C為矩形BCP。的邊時(shí)，②當(dāng)3c為矩形BCQ尸的

邊時(shí)，③當(dāng)3C為矩形BPC。的對(duì)角線時(shí)三種情況，再分別利用待定系數(shù)法求直線的解析式、

矩形的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換規(guī)律求解即可得.

【詳解】

2

解：(1)■,拋物線y=Q%2+2x+c(QwO)的對(duì)稱軸為x=---=2,

2a

1

a=—,

2

12c

/.y=——x+2x+c,

2

04=1,且點(diǎn)A在九軸負(fù)半軸上，

A(-1,0),

將點(diǎn)4一1,0)代入y=-g/+2x+c得：-1-2+c=0,解得c=g,

則拋物線的解析式為y=-1%2+2x+|；

i51Q

(2)y=——x2+2%+］化成頂點(diǎn)式為y=——(x—2)2+—,

9

則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(2,萬)，

當(dāng)％=0時(shí)，y=-1,即c(o,|o,

22

則拋物線上c,。兩點(diǎn)之間的距離是J(2-O)2+W-g)2=20,

故答案為：20;

(3)如圖，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)F,

3(5,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=履+6,

5k+b=0k=--

將點(diǎn)2(5,0),C(0,今代入得：<2

■,5,解得*

b=—

[2b=-

2

則直線BC的解析式為y=-1x+|,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(r,-g/+2f+|),則0<r<5,+

:.EF=--r+2t+--(--t+-)=--t2+-t,

222222

SBCE=SCEF+S=-t(----t"H-----t)H-----(5—f)(------t~H-----t),

CcrDBiELFr2、22，2、2，

5/5、2125

=——(t——了+——,

4216

由二次函數(shù)的性質(zhì)得：在0<%<5內(nèi)，當(dāng)/5時(shí)，取最大值，最大值為1移25,

即“3CE面積的最大值為寧195；

1O

(4)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸(2,根)，

由題意，分以下三種情況:

①當(dāng)為矩形8CPQ的邊時(shí)，則

設(shè)直線CP的解析式為y=2尤+〃，

將點(diǎn)C。；)代入得：〃=(

則直線CP的解析式為y=2x+|,

將點(diǎn)尸(2,㈤代入得：加=2x2+；5=]13,即尸(2芋13，

.-?將點(diǎn)C先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度可得到點(diǎn)P,

四邊形BCPQ是矩形，

點(diǎn)C平移至點(diǎn)P的方式與點(diǎn)5平移至點(diǎn)Q的方式相同，

8(5,0),

.?.0(5+2,0+4),即。(7,4)；

②當(dāng)3c為矩形BCQ尸的邊時(shí)，則BPLBC,

同(4)①的方法可得：點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(-3,-g)；

③當(dāng)BC為矩形3PC0的對(duì)角線時(shí)，則

：.CP2+BP2=BC2,

即(2-0)2+(771-1)2+(2-5)2+(7W-0)2=(5-0)2+(0-1)2,

3

解得〃2=4或=,

.?.P(2,4)或尸(2,-中3,

當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸(2,4)時(shí)，

3

則將點(diǎn)P先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度可得到點(diǎn)C,

四邊形8PCQ是矩形，

點(diǎn)尸平移至點(diǎn)C的方式與點(diǎn)B平移至點(diǎn)Q的方式相同，

33

2(5-2,0--),即。(3,-2)；

3

同理可得：當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸(2,-5)時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(3,4),

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(7,4)或(-3,-曰7或(3,-：3)或(3,4).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的

是題(4),正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵

9.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0A交二次函數(shù)y=；x?的圖象于點(diǎn)A,/A0B=

4

90°，點(diǎn)B在該二次函數(shù)的圖象上，設(shè)過點(diǎn)(0,m)(其中m>0)且平行于x軸的直線交直

線OA于點(diǎn)M,交直線OB于點(diǎn)N,以線段0M、ON為鄰邊作矩形0MPN.

(1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為8.

①用含m的代數(shù)式表示M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)P能否落在該二次函數(shù)的圖象上？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

(2)當(dāng)m=2時(shí)，若點(diǎn)P恰好落在該二次函數(shù)的圖象上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)滿足條件的所有直

【分析】(1)①求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，直線直線0A的解析式即可解決問題.

②求出直線0B的解析式，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定

系數(shù)法求出m的值即可.

(2)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)A在y軸的右側(cè)時(shí)，設(shè)A(a,42),求出點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系

4

數(shù)法構(gòu)建方程求出a即可.

②當(dāng)點(diǎn)A在y軸的左側(cè)時(shí)，即為①中點(diǎn)B的位置，利用①中結(jié)論即可解決問題.

【解析】(1)①??,點(diǎn)A在y=；x?的圖象上，橫坐標(biāo)為8,