浙江省錢塘聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（含答案）

浙江省錢塘聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，1．已知集合A={?2，?1，A．{?2，?1，C．{0，1，2．設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且l?α，A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知圓錐的表面積為27π，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（）A．3 B．32 C．33 4．已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角為π6A．34a B．3+14a 5．若a=34，b=4A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c6．已知sinα?cosα=15，則A．2425 B．?2425 C．?7．龍洗是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇官盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑36cm，盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深5cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（）A．1505π3cm3 B．1665π3c8．已知函數(shù)f(x)A．10 B．12 C．14 D．16二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．若z(1+i)=2i，其中i為虛數(shù)單位，則（）A．|z|=1 B．zC．z的共軛復(fù)數(shù)為1+i D．z的實(shí)部為110．△ABC的內(nèi)角A，B，A．若A=60°，B．若cosC．若a=3，D．若△ABC是銳角三角形，則sinA+sinB>cosA+cosB11．設(shè)a>0，b>0，且A．0<b<1 B．a(chǎn)+b>1C．a(chǎn)?2b的最小值為0 D．a(chǎn)+1b12．阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體組成，目前發(fā)現(xiàn)了共有13個(gè)這種幾何體，而截角四面體就是其中的一種，它是由一個(gè)正四面體分別沿每條棱的三等分點(diǎn)截去四個(gè)小正四面體而得，已知一截角四面體的棱長為2.下列說法正確的是（）A．每一個(gè)截角四面體共有18條棱，12個(gè)頂點(diǎn)B．該截角四面體的表面積為28C．該截角四面體的體積為15D．該截角四面體的外接球半徑為22三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中O'A'=314．若直線a不平行平面α，則以下命題成立的是.①α內(nèi)的所有直線都與a異面；②α內(nèi)不存在與a平行的直線；③α內(nèi)直線都與a相交；④直線a與平面α有公共點(diǎn).15．多面體E?ABCD的各頂點(diǎn)在半徑為2的球面上，ABCD是矩形，AB=3，AD=2，則多面體體積的最大值為16．如圖，設(shè)△ABC中的角A，B，C所對(duì)的邊是a，b，c，已知AB=1，AC=3，DC=3BD，AB|AB|?四、解答題：本題共6小題，共70分.17．已知向量a，b滿足（1）若a//b，求向量（2）若(a+b)⊥b18．已知△ABC內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a（1）求A；（2）若b+c=6，△ABC的面積為3319．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，（1）證明：PE//平面BDF；（2）求三棱錐P?BDF的體積.20．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OM=(2sin2x，（1）求f(x)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，21．在中國很多鄉(xiāng)村，燃放煙花爆竹仍然是慶祝新年來臨的一種方式，煙花爆竹帶來的空氣污染非常嚴(yán)重，可噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測算，每噴灑一個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的去污劑濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=1+（1）若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個(gè)單位的去污劑，要使接下來的3天能夠持續(xù)有效去污，求a的最小值.22．已知函數(shù)f(x)=log3(（1）若k=2且方程f(x)?a+1=0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若f(x)是偶函數(shù)，討論函數(shù)g(x)=(

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵y=x，∴x≥0，∴A∩B={0，1，2}

【分析】重點(diǎn)考察y=2．【答案】D【解析】【解答】

如果兩平面平行，那么平面中的所有直線有可能平行，也有可能異面，所以不充分

如果兩直線平行，兩個(gè)平面有可能平行，也有可能相交，所以也并不必要

【分析】需要根據(jù)平面與直線平行的性質(zhì)與判定雙向思考，從而得出答案3．【答案】A【解析】【解答】∵側(cè)面展開為一個(gè)半圓，

∴S=πl(wèi)22+πr24．【答案】C【解析】【解答】投影向量為a?cosθb5．【答案】B【解析】【解答】

∵a＜1，b＞1，c＜1

又∵4log43=3，434=236．【答案】A【解析】【解答】∵sinα-cosα=15，且sin2α+cos2α=1

兩邊同時(shí)平方得sin7．【答案】B【解析】【解答】盆底半徑r=9，盆口R=18，總高度H=15，設(shè)水的高度h，水面半徑x，如圖所示

根據(jù)三角形相似性，x-99=515=13，∴x=12

則水的體積8．【答案】B【解析】【解答】

由題可知，fx=lgx-1lg1-x，圖象如圖，fx≥0，

令fx=t，則y=ft+m，則-m=ft，t≥0，

由圖像可知，-m>0，此時(shí)最多有三個(gè)解t1，t2，t39．【答案】B,D【解析】【解答】z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i.

z=1+1=2，∴A錯(cuò)誤

z210．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、若A=60°，a=3，由正弦定理得2R=asinA=332=1，∴△ABC外接圓的半徑R=1，A正確；

B、由正弦定理得b+c2c=sinB+sinC2sinC，又cos2A2=1+cosA2

∴cos2A2=b+c2c，有1+cosA2=sinB+sinC2sinC，即sinC+sinCcosA=sinA+C+sinC，化簡得sinAcosC=0，在△ABC中sinA>0，∴cosC=011．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、由b+12a=1得2a=11-b>0，解得0<b<1，A正確；

B、由b+12a=1得b=1-12a>0，解得a>12，

∴a+b=a+1-12a，∵y=x和y=-12x單調(diào)遞增，∴a+1-12a>12+1-12×12=12，B錯(cuò)誤；

C、a?2b=a-21-12．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、由題意由知每截去一個(gè)角增加3條棱，2個(gè)頂點(diǎn)

∴截角四面體有6+3×4=18條棱，4+2×4=12個(gè)頂點(diǎn)，A正確

B、截角四面體表面積由4個(gè)邊長為2的等邊三角形和4個(gè)邊長為2的正六邊形構(gòu)成，∴表面積S=4×34×22+4×6×34×22=283，B正確；

C、截角四面體體積由邊長為6正四面體體積減去4個(gè)邊長為2的正四面體體積構(gòu)成，∴體積V=13×34×62×26+4×13×34×22×263=4633，C錯(cuò)誤；

D、如圖，

O1是下底面正六角形ABCDEF的中心，O13．【答案】6【解析】【解答】根據(jù)斜二測畫法的特征得正三角形ABC高為23，∴正三角形ABC邊長為4，

∴原三角形面積是12×23×4=43，∴三角形A'B'C'14．【答案】④【解析】【解答】∵直線a不平行平面α，∴直線a在平面α內(nèi)或直線a與平面α相交，若直線a在平面α內(nèi)則α內(nèi)存在與a平行的直線，∴①②③錯(cuò)誤，正確

故答案為：④

【分析】由題意得直線a在平面α內(nèi)或直線a與平面α相交，進(jìn)而判斷.15．【答案】3【解析】【解答】∵AB=3，AD=2，∴對(duì)角線AC=13，∴底面ABCD所在的球切面直徑為13

又∵球半徑r=2，∴該球切面與球心的距離為d，則d=4-134=32

∴四面體的高h(yuǎn)最大值為2+32，∴體積V的最大值為3216．【答案】67【解析】【解答】∵AB?AC?AB?AC?=12=COS∠BAC，∴∠BAC=π3，

由定比分點(diǎn)公式可知，AD?=34AB?+14AC?，設(shè)AB?=λAE?，AC?=μAF?

則有AG17．【答案】（1）解：∵a//b，b又|a∴a=(（2）解：(a+b即a?b+∴cos?a即向量a與向量b夾角的余弦值為?【解析】【分析】

第一問根據(jù)向量的共線定理與坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而列式求解

第二問根據(jù)三角函數(shù)的坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)量積的結(jié)果判斷垂直，進(jìn)而反推向量a與向量b的余弦值18．【答案】（1）解：化簡得：sin整理得：sin由正弦定理可推得：b2∴cosA=b2（2）解：∵∴bc=6∵∴a=3【解析】【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理，余弦定理，對(duì)已知條件進(jìn)行化簡整理，得出∠A的角度數(shù)值

（2）由三角形的面積公式得到bc的值，結(jié)合余弦定理，得出a的數(shù)值.19．【答案】（1）證明：連結(jié)B1E，因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C所以四邊形BB所以B1D1∥BD，B1D1所以B1D1取BB1中點(diǎn)Q，連結(jié)因?yàn)镋，F(xiàn)是AA所以QF∥BC，QF=BC，且BC∥AD，BC=AD，所以QF∥AD，且QF=AD，所以四邊形AQFD為平行四邊形，所以AQ∥DF，且AQ=DF，因?yàn)锳E∥B1Q所以四邊形AEB所以AQ∥EB1，且所以EB1∥DF，EB1?平面所以EB1∥平面BDF，EB1∩B1D所以平面B1D1E∥平面BDF，EP?平面B1（2）解：因?yàn)檎襟wABCD?A所以點(diǎn)F到平面BB1D1D所以三棱錐F?BDP的高h(yuǎn)=1所以V【解析】【分析】

(1)可以通過證明面面平行進(jìn)而得到線面平行

(2)根據(jù)正方體的的體積特點(diǎn)，得出體積之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出高和幾何體的體積.20．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=OM所以f(x)=2si=2(3∴?π∴?∴?π∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?（2）解：由（1）得f(A∴sin(A?∴A?π6=2kπ+π6即A=2kπ+π3或A=2kπ+π，∵A∈(∴A=π∵A+B+C=π，∴sin∴sinA+sinB+sinC===3∵0<C<∴π∴∴sin(C+π∴3故sinA+sinB+sinC∈(3【解析】【分析】(1)根據(jù)向量相乘的數(shù)量積公式得出函數(shù)f（x）的解析式

進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換公式，整理成標(biāo)準(zhǔn)的三角函數(shù)解析方程，繼而求得單調(diào)區(qū)間

（1）在第一問的解答基礎(chǔ)上，得出∠A的大小，接下來根據(jù)三角恒等變換將原式化簡成只有一個(gè)未知變量的三角函數(shù)，并通過三角函數(shù)的單調(diào)性以及∠C的取值范圍得到函數(shù)的定義域與解析式

從而確定原式的值域..21．【答案】（1）解：釋放的去污劑濃度為f(x)=4(1+當(dāng)0<x≤4時(shí)，4(1+x8)≥4，解得x≥0當(dāng)4<x≤10時(shí)，4(9x+2)≥4，解得x≤7故一次投放4個(gè)單位的去污劑，有效去污時(shí)間可達(dá)7天（2）解：設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6<x≤9)∴a≥169，當(dāng)且僅當(dāng)18x+2所以a的最小值為169【解析】【分析】(1)根據(jù)分段函數(shù)的特性，兩段函數(shù)都要進(jìn)行列式求解，并將解集進(jìn)行合并整合；

(2)綜合考慮去污劑的兩次影響，在第九天去污劑的濃度最低，即若持續(xù)去污則要求第九天的濃度大于4，第九天的去污劑由兩部分組成，第一次兩個(gè)單位的去污劑，第二次a個(gè)單位的去污劑，從而得出關(guān)于a的函數(shù)解析式或不等式，進(jìn)而列式求解。22．【答案】（1）解：因?yàn)榉匠蘤(x)?a+1=0有解，所以方程f(x)=a?1有解，即f(x)的值域與方程y=a?1的值域相同.f(x)=lo∵所以f(x)>0，即a?1>0，故a>1（2）解：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(?1)=f(1)，有l(wèi)og3(19