高等代數(shù)課件：n階行列式的展開

1余子式與代數(shù)余子式2n階行列式展開法則第五節(jié)n階行列式的展開目的：把高階行列式化為低階行列式3分塊定理4例題一、余子式與代數(shù)余子式例如在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如定義一、余子式與代數(shù)余子式注1

行列式的每個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式注2

和與的大小無關(guān)，而與的位置有關(guān)。一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式展開法則定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即例二、行列式展開法則注：代數(shù)余子式中，余子式前的符號“＋”、“－”的規(guī)律（1）主對角線元素余子式前帶“＋”（2）相鄰兩元素的余子式前“＋”、“－”相間二、行列式展開法則證明只對行證明.分三步（先特殊，后一般）⑴假設(shè)行列式第一行除外都為0，則由定義二、行列式展開法則⑵假設(shè)行列式第i行除外都為0，則為了利用第一步的結(jié)論，我們要把它化為第一步里面的形式，我們把的第行依次與第行交換，共交換次；再把的第列依次與第列交換，共交換次，得二、行列式展開法則二、行列式展開法則二、行列式展開法則中的余子式于是有二、行列式展開法則故得⑶一般情形二、行列式展開法則二、行列式展開法則證畢二、行列式展開法則利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡化行列式計算：計算行列式時，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。注：在計算數(shù)字行列式時，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計算，因為把一個n階行列式換成n個（n－1）階行列式的計算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時，應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。二、行列式展開法則定理：

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證二、行列式展開法則同理相同二、行列式展開法則關(guān)于代數(shù)余子式的重要結(jié)論二、行列式展開法則例：求行列式三、分塊公式解：利用初等變換，可得所以定義：準(zhǔn)上（下）三角形矩陣三、分塊公式其中A1與A4分別是r階和n-r階方陣，0是零矩陣。定理：準(zhǔn)上（下）三角形矩陣的行列式等于他們對角塊的行列式的乘機(jī)。三、分塊公式例1四、例題四、例題例2

計算n

階三對角行列式解四、例題由遞推公式可得又因為，，則，于是四、例題一般地，若導(dǎo)出的遞推關(guān)系式為則可先將其轉(zhuǎn)化為進(jìn)行遞推得記做其中為一元二次方程的兩根.然后再利用依次遞推求出.四、例題例3

計算2n

階行列式解把行列式按照第一行展開，得四、例題

又因為所以四、例題例4證明范德蒙(Vandermonde)行列式所以，共有項。四、例題

證用數(shù)學(xué)歸納法四、例題n-1階范德蒙行列式證畢四、例題

可以利用范德蒙行列式的結(jié)論求行列式例5

計算n+1階行列式分析該行列式與范德蒙行列式形式不同，不能直接用范德蒙行列式的結(jié)論，因此要把它化為范德蒙行列式。四、例題解把最后一行依次與前面各行交換到第一行，新的最后一行再依次與前面各行交換到第二行，這樣繼續(xù)做下去，則共經(jīng)過交換次行后可得范德蒙行列式四、例題四、例題例6

已知5階行列式求和，其中為的第4行第j個元素的代數(shù)余子式。解由