高等代數(shù)課件：n階行列式的性質(zhì)

需要考慮用別的方法計算行列式。為此需要研究行列式的性質(zhì)。

用行列式的定義計算行列式，所需機時：對n階行列式：乘法運算次數(shù)

M

＝(n-1)次/項×n！項＝(n-1)n!次

n

＝10,M

＝32,659,2001百萬次/秒的計算機，需機時：32秒

n

＝15,M≈1.8×10131百萬次/秒的計算機，需機時：13.0年

1億次/秒的計算機，需機時：50.6天

n

＝20，M≈4.6×1019

1億次/秒的計算機，需機時：350,828年第四節(jié)n階行列式的性質(zhì)1第四節(jié)n階行列式的性質(zhì)n階行列式的性質(zhì)2對換的定義一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.記行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.顯然.證明按定義

又因為行列式D可表示為一、行列式的性質(zhì)故證畢性質(zhì)2

互換行列式的任意兩行（列）,行列式變號.證明設(shè)行列式說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.

因此，在后面的性質(zhì)中，如果對行列都成立的性質(zhì)，我們只證明對行成立。一、行列式的性質(zhì)第行交換其第i行和第j行，有第行第行由行列式定義可知，中任一項可以寫成第行一、行列式的性質(zhì)又因為顯然（2）式右端是取自不同行不同列的個元素的乘積，并且它們的行標(biāo)在中是標(biāo)準(zhǔn)排列的，所以是中的一項。因為排列和排列

的奇偶性相反，所以（1）式和（3）式差一個負(fù)號，所以中任意一項的相反數(shù)是中的一項，所以證畢記法：為了方便以后的敘述和運算，我們引入下列記號一、行列式的性質(zhì)例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有用表示行列式的第行，用表示的第列。則表示交換的第行和第行，表示交換的第列和第列。一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都有一個公因子，則可以把公因子提到行列式記號之外，即有證明由行列式定義知例如，對任意的a，b，c，都有一、行列式的性質(zhì)例如證畢一、行列式的性質(zhì)推論1

用數(shù)乘以行列式等于中某一行（列）所有元素同乘以數(shù)。例如：一、行列式的性質(zhì)推論3：若行列式D某行(列)元素全為零，則D=0。推論2：若行列式中有兩行(列)元素成比例，則D=0。例如例如注意：做題時不容易發(fā)現(xiàn)。一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)4

若行列式的第行（列）各元素都是兩數(shù)之和：則行列式可分解為兩個行列式與的和。其中的第行是，而的第行是，其他各行與原行列式相同，即一、行列式的性質(zhì)例如：⑴⑵注：不是任意兩個行列式可以相加，必須只有除一行（列）不同外，其余元素都相同才可以相加。(×)0一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如一、行列式的性質(zhì)證明由性質(zhì)4右邊左邊注意：k可以為0。第i列和第j列對應(yīng)元素成比例，由性質(zhì)3的推論2知＝0一、行列式的性質(zhì)二、應(yīng)用舉例例１計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例例2

計算n

階行列式解將第列都加到第一列得二、應(yīng)用舉例注：行（列）和行列式二、應(yīng)用舉例例3

計算n階行列式分析若用行列式性質(zhì)5，有二、應(yīng)用舉例解注：箭型行列式。一般有以下四種形式：箭型行列式解題方法：用對角線上的元素消去非零行（列）的元素。二、應(yīng)用舉例例4

（2000.5）計算n

階行列式解箭型行列式二、應(yīng)用舉例例5

計算n

階行列式注：可化為箭型行列式的行列式。解題方法：通過一（兩）次行列式性質(zhì)的應(yīng)用，化為