第03講 平面向量的數(shù)量積知識+真題+11類高頻考點 精講（原卷版）

第03講平面向量的數(shù)量積目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 2第二部分：高考真題回顧 4第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析 4高頻考點二：平面向量數(shù)量積的幾何意義 5高頻考點三：平面向量數(shù)量積的運算（求數(shù)量積） 6高頻考點四：平面向量數(shù)量積的運算（模運算） 7高頻考點五：平面向量數(shù)量積的運算（向量的夾角） 8高頻考點六：平面向量數(shù)量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)） 10高頻考點七：平面向量數(shù)量積的運算（已知模求數(shù)量積） 11高頻考點八：向量的垂直關系 12高頻考點九：向量的投影（投影向量) 13高頻考點十：平面向量的綜合應用 13高頻考點十一：最值范圍問題 15第四部分：典型易錯題型 16備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時注意共線問題 16第五部分：新定義題 17第一部分：基礎知識1、平面向量數(shù)量積有關概念1.1向量的夾角已知兩個非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當時，兩向量，共線且同向；當時，兩向量，相互垂直，記作；當時，兩向量，共線但反向．1.2數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.1.3向量的投影①定義：在平面內任取一點，作.過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.②投影向量計算公式:當為銳角（如圖（1））時，與方向相同，，所以；當為直角（如圖（2））時，，所以；當為鈍角（如圖（3））時，與方向相反，所以，即.當時，，所以；當時，，所以綜上可知，對于任意的，都有.2、平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示已知向量，為向量和的夾角：2.1數(shù)量積2.2模：2.3夾角：2.4非零向量的充要條件：2.5三角不等式：（當且僅當時等號成立）3、平面向量數(shù)量積的運算①②③4、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則②三角形形式：在中，為的中點，所以5、常用結論①②③第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．12．（2023·全國·乙卷文）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．53．（2023·全國·甲卷文）已知向量，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·乙卷理）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．6．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析典型例題1．（2024高一下·全國·專題練習）對于任意向量，下列命題中正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24高一下·吉林長春·階段練習）在中，下列命題正確的個數(shù)是（

）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高一下·四川內江·階段練習）在三角形中，在上的投影向量為，則．練透核心考點1．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結論正確的為（

）A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（多選）（23-24高一下·四川樂山·期末）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，，則 D．，則高頻考點二：平面向量數(shù)量積的幾何意義典型例題1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖，在邊長為的等邊中，點為中線上的動點，點為的中點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個圓形，圓心為，、是圓上的兩點，若，則.

練透核心考點1．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）《易經》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（

）

A． B．1 C． D．2．（23-24高一上·湖南長沙·期末）在中，C為直角頂點，，則的值為（）A．4 B．8 C．16 D．缺少條件，做不出來高頻考點三：平面向量數(shù)量積的運算（求數(shù)量積）典型例題1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知等邊的邊長為，那么（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·山東·階段練習）在中，為邊上一點，滿足，則（

）A． B．6 C． D．3．（2024·全國·模擬預測）在正六邊形中，已知，則．練透核心考點1．（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學考試）如圖，點P，A，B均在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則（

）

A．－8 B．－4 C．0 D．42．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．3．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則=.

高頻考點四：平面向量數(shù)量積的運算（模運算）典型例題1．23-24高三下·安徽滁州·階段練習）已知向量滿足，則（

）A．3 B． C．7 D．2．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）已知平面向量滿足且，則（

）A． B．5 C． D．63．（2024·全國·模擬預測）若，，則．4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知，，，，則.練透核心考點1．（2024·陜西西安·三模）已知平面向量，的夾角為，若，，則（

）A．2 B． C．或2 D．2或2．（2023高二上·甘肅蘭州·學業(yè)考試）已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（

）A．2 B．4 C． D．4．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4高頻考點五：平面向量數(shù)量積的運算（向量的夾角）典型例題1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024高一·全國·專題練習）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為.3．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P．記．(1)用表示向量；(2)若，且，求的余弦值．4．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）已知向量．(1)若，求的坐標；(2)若，求與的夾角．練透核心考點1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量，則．2．（2021·河南·模擬預測）已知，，，則向量與的夾角的正切值為．3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知，，．(1)求；(2)求向量與的夾角．4．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量，，．(1)若，，求的值；(2)若，求與的夾角的余弦值．高頻考點六：平面向量數(shù)量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)）典型例題1．（23-24高二上·湖南長沙·開學考試）已知點，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為．2．（23-24高一下·河南南陽·期中）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.3．（23-24高三上·黑龍江雞西·階段練習）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．4．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知向量，．(1)若，求實數(shù)k的值；(2)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高一下·甘肅天水·期末）已知，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是.2．（23-24高一下·內蒙古呼和浩特·階段練習）已知向量，，則與的夾角為鈍角時，的取值范圍為.3．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）若向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知向量，．(1)求以及向量與的夾角的余弦值；(2)已知與的夾角為銳角，求的取值范圍．高頻考點七：平面向量數(shù)量積的運算（已知模求數(shù)量積）典型例題1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知向量，，滿足，則（）A． B． C． D．2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知平面向，，，，，若，則的最大值為（

）A．8 B． C． D．3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）若向量，滿足，，，則.練透核心考點1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知平面向量與的夾角為，且，則（

）A． B．-2 C．2 D．3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）向量，若存在實數(shù)，使得，則的取值范圍是高頻考點八：向量的垂直關系典型例題1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知且向量與互相垂直，則k的值為（

）A． B．C． D．12．（23-24高三下·河南·階段練習）已知向量，若，則.3．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知，，與的夾角為．(1)求；(2)若向量與相互垂直，求實數(shù)k的值．練透核心考點1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習）已知，，，且與垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·云南·階段練習）已知單位向量，的夾角為，，若與垂直，則.3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知向量，滿足，，且，的夾角為.(1)求；(2)若，求實數(shù)的值；高頻考點九：向量的投影（投影向量)典型例題1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知，則向量在上的投影向量的模長為（

）A．1 B． C． D．2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量上的投影數(shù)量為（

）A．1 B． C．2 D．3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知向量、、，其中且與的夾角是與的夾角是，則在方向上的投影數(shù)量為．練透核心考點1．（23-24高一下·山東泰安·階段練習）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·山東青島·期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為．高頻考點十：平面向量的綜合應用典型例題1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）已知向量(1)向量夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求實數(shù)k的值；(3)若向量，且與向量平行，求實數(shù)k的值.2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習）已知向量滿足，設與的夾角為，(1)若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求的值；(2)根據(jù)（1）中與的夾角值，求與夾角的余弦值．3．（23-24高一下·江蘇·階段練習）如圖所示，平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點，F(xiàn)為BC上一點，且．

(1)以，為基底表示向量與；(2)若，，與的夾角為，求．(3)設線段AM、FM的交點為，在（2）的條件下，求的余弦值．練透核心考點1．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點和點，，且，其中O為坐標原點．(1)若，求的值；(2)若，設點D為線段OA（包括端點）上的動點，求的最小值；(3)若，向量，，求式的最小值及對應的值．2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）已知非零向量滿足，且.(1)求；(2)當時，求向量與的夾角θ的值.3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知平面內的三個向量，，．(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．高頻考點十一：最值范圍問題典型例題1．（23-24高一下·北京·階段練習）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．2．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·模擬預測）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·福建莆田·期中）設平面向量，其中為單位向量，且滿足，則的最大值為．練透核心考點1．（2024高三·全國·專題練習）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個動點，若，則的最大值為（