2024-2025學(xué)年廣東省某中學(xué)高二年級上冊期中數(shù)學(xué)試題及答案

廣東實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年(上)高二級期中考試

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的

相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.

不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.

第一部分選擇題(共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知(1+i)彳=l+3i,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.lB.-iC.-lD.i

2.一組數(shù)據(jù)23,11,31,14,16,17,19,27的百分之七十五分位數(shù)是()

A.14B.15C.23D.25

3.在四面體0/2C中，OA=a,OB=b,OC=c,G為三角形N8C的重心，尸在OG上，且

OP=-PG,則9為()

2

、2-11一「8_11_八8_11一「2_11_

A.——Q+—br+—cB.—Q——br——cC.——a+—br+—cD.—a——bf——c

999999999999

4.已知隨機事件/和2互斥，且尸(2U8)=0.6,尸(8)=0.3,則尸(N)等于()

A.0.8B.0.7C.0.5D.0.2

5.已知直線/過定點2(2,3,1),且方向向量為M=(0,1,1),則點P(4,3,2)到/的距離為()

3亞V2

A.------D.V2

22

22

6.雙曲線C與橢圓5+?=1有相同的焦點，一條漸近線的方程為％-2歹=0,則雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

222

2_V2X21

A.——J2*4=1B.-----------二IC二-匕=1D.匕--=1

49369364

7.已知橢圓￡：三+三=1（?！?〉0）的右焦點為尸（3,0）,過點歹的直線交橢圓E于/,8兩點，若N5

的中點坐標(biāo)為（1,-1）,則橢圓E的方程為（）

8.橢圓。：?+4=1伍〉6〉0）的左、右焦點分別是片，F(xiàn)2,斜率為1的直線/過左焦點耳，交C于

A,8兩點，且AABg的內(nèi)切圓的面積是兀，若橢圓C的離心率的取值范圍為[上,學(xué)],則線段的

長度的取值范圍是（）

A.[672,1272]B.[6,12]C.[4,8]D140,8收]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在棱長為1的正方體48c中，E,尸分別是8c中點，貝U（）

A.8C]〃平面片?！?/p>

B.直線Bq與平面BBRD所成的角為45。

C.平面AXAF±平面BQE

D.點E到平面4RF的距離為亨

22

10.已知點尸是左、右焦點為片，月的橢圓C:二+匕=1上的動點，則（）

84

A.若NFiPF2=90°,則△片”的面積為472

B.使△片尸石為直角三角形的點尸有6個

C.|P^|-2|P7^|的最大值為6—2J5

則戶圖+|尸閭的最大、最小值分別為4亞+

11.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點滿足：到點片（-2,0）與到點用（2,0）的距離之積為4,據(jù)

此判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.點。（2形,0）在曲線C上

B.點〃（x』）（x〉O）在C上，貝小孫|=2后

22

C.點0在橢圓上+乙=1上，若片0，月0,則。eC

62

D.過月作X軸的垂線交C于/,2兩點，則|2同＜2

第二部分非選擇題（共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知點P（2,l）在角。的終邊上，則一sm（2"兀）=

7T

1+sin28）

2x—1

13.若/（x）=（x+a）」n---為偶函數(shù),則。=_______.

2x+l

14.如圖，橢圓二+4=1（?！礲〉0）與雙曲線三—二=1（機〉0,〃〉0）有公共焦點大（―c,0）,

ab~m"n

心（c,0）（c〉0），橢圓的離心率為q,雙曲線的離心率為02,點尸為兩曲線的一個公共點，且

/月盟=60°,/為△大尸鳥的內(nèi)心，F(xiàn)x,I,G三點共線，且衣?"=（）,x軸上點/,3滿足

AI=AIP,BG=JLIGP,則的最小值為；542+〃2的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知圓〃的圓心在直線x-y+l=0上，且與直線2x+y0相

切于坐標(biāo)原點.

（1）求圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)經(jīng)過點2(0,2)的直線/被圓M截得的弦長為3行，求直線/的方程.

16.(15分)已知三角形N5C的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若sm(N+C)=紀(jì)￡,且

sin4+sinCb-c

a=2.

TT

(1)若3=—,求c；

6

(2)點d在邊3c上且4D平分NBNC,若AD=6求三角形NBC的周長.

17.(15分)橢圓C:[+;=l(a〉b〉0)過點尸(g,l)且離心率為如，尸為橢圓的右焦點，過尸的直

ab3

線交橢圓。于N兩點，定點/(—4,0).

(2)若面積為3由，求直線的方程.

18.(17分)在四棱錐尸—48C。中，底面/BCD為直角梯形，ADIIBC,ADLAB,側(cè)面尸48,底面

ABCD,PA=PB=AD=-BC=2,且￡,尸分別為尸C,CD的中點，

2

(1)證明：DE〃平面P4B；

(2)若直線尸尸與平面P4B所成的角為60°,

①求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

②平面NDE將四棱錐尸-48C。分成上、下兩部分，求平面以下部分幾何體的體積.

19.(17分)已知雙曲線C:二—4=1(?！?/〉0)的實軸長為4,漸近線方程為y=±—X.

a"b2

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)雙曲線的左、右頂點分別為4，A2,過點8(3,0)作與x軸不重合的直線/與C交于尸，。兩點，直

線40與a。交于點S，直線40與4P交于點r

(i)設(shè)直線4尸的斜率為左，直線4。的斜率為左2,若左=力左2,求4的值;

(ii)求△asT的面積的取值范圍.

廣東實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年（上）高二級期中考試?數(shù)學(xué)

參考答案

l.C2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.B

9.【答案】ACD10.【答案】BCD11.【答案】ACD

八1八百c后

12.tan0——13.tz=014.—；2H

222

9.【答案】ACD【解析】在棱長為1的正方體NBC。-451GA中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),5(1,1,0),4(1,0/)，與(1,1,1),q(0,1,1),(0,0,1),E(I；O),

對于A,5q=(-1,0,1),D￡=(l,1,0),函=(0,；,1),顯然西=函—瓦，

即雨平行于平面為DE,而5G仁平面因此BQ〃平面片￡>￡,A正確；

——■1——?—.11

對于B,￡>^=(-,1,-1),￡>1F-￡)￡=-xl+lx-=1^0,即有〃尸不垂直于

而￡>Eu平面與?！?因此。尸不垂直于平面片￡>￡,B錯誤；

----*I----?----?I----?----?

對于C,^F=(--,l,0),441=(0,0,1),而?！?(1，5,0),顯然?！?4=0,

D￡-AF=lx(-1)+|xl=0,即。E_L^4，DELAF,AAlQAF=A,AA1,Nbu平面

AXAF,

于是DE_L平面44F,而DEu平面B]￡）E,因此平面N/T7_L平面g￡）E,C正確;

——?1-----?

對于D,。尸=（于1,—1）,34=（i,o,o）,設(shè)平面4A尸的一個法向量五=（x//）,

五?D、A]=x=0

則—.1,令歹=1，得拓=(0,1,1)，又祠二(0,工,一1),

nDxF=-x+y-z=02

1X--1X1

n-AXE\2

所以點E到平面42廠的距離d=—,D正確.故選：ACD

向V2~~4

10.【答案】BCD【詳解】A選項：由橢圓方程土+匕=1,所以/=8,戶=4,

84

所以。2=。2一/=4,所以△為隼的面積為S=〃tan幺戶=4,故A錯誤；

B選項：當(dāng)班;，耳腦或尸鳥，大鳥時△耳隼為直角三角形，這樣的點P有4個，

設(shè)橢圓的上下頂點分別為S,T,則閨馬=4,|OS|=2,.?/。5|=:忱閭，同理|。刀=）|甲訃

知/外阻=/片7耳=90°,所以當(dāng)尸位于橢圓的上、下頂點時△原?鳥也為直角三角形，

其他位置不滿足，滿足條件的點尸有6個，故B正確：

C選項:由于|尸耳］—2|「鳥|=2"|尸閭-2|尸鳥|=4四—3|尸用,

所以當(dāng)|尸閭最小即|「鳥|="c=2拒—2時，|尸周一2|尸7寸取得最大值6—20,故C正確；

D選項：因為|尸周+|尸叫=2"|P閭+\PM\=4A/2+\PM\-\PF2\,

又歸MT尸聞閆四葉=',則歸周+|PM的最大、最小值分別為4e+等和4后—孚，當(dāng)點尸

位于直線〃入與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：BCD

11.【答案】ACD

【解析】對選項A,因為0周|。閭=（2&+2）（2后-2）=4,由定義知。eC,故A正確;

對選項B,點村（x』）（x〉0）在C上，則防L|=J［（L+2）2+1］［（x-2）2+1］=4,

2

化簡得――6/+9=0,所以百，\MFX|=7（^3+2）+1272,B錯誤；

對選項C,橢圓工+匕=1上的焦點坐標(biāo)恰好為A（-2,0）與居（2,0）,

62

則閨。|+優(yōu)。|=2灰，又片。,耳。,所以國+同@2=16,

....（閨。1+1月。1）2—（閨0「+同?！福?/p>

故|片。卜|￡。|=------------y------------------L=4,所以QeC,C正確；

對選項D,設(shè)/(2,y),則［4§|=2回，因為ZeC,則以片卜;，又|/月『="+/,

HI

所以售=16+/,化簡得曠4+16/-16=0,故V=4j?—8,所以/—1=46—9＜0,

故回＜1,所以|幺回＜2,故D正確，故選ACD.

12.【詳解】由點P(2,l)在角。的終邊上可得，tan，=g,

sin(2。一兀)一sin28-2sin6^cossin。41

則nI——-------=---------=-------z——=---------=—tan。=——.

1+sin(巴-2。)1+cos282cos0cos。2

13.［解析］設(shè)g(x)=ln+易知g(x)的定義域為(-8,——)U(—,+8),

2x+l22

—2x—12Y+］2Y—1

且g(-x)==-g(x),所以g(x)為奇函數(shù).

2x—1

若/(x)=(x+a)ln-------為偶函數(shù)，則＞=、+〃也應(yīng)為奇函數(shù)，所以。=0,(在公共定義域內(nèi)：奇士奇

2x+l

=奇，偶±偶=偶，奇義奇=偶，偶義偶二偶,奇義偶=奇)

14.解：①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為出用|=2c,橢圓的長軸長為2a,雙曲線的實軸長為2m,

不妨設(shè)點尸在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：|尸圖一|PE|=2m,

由橢圓的定義：|尸片|+|尸鳥|=2°,可得：|尸制=7"+a,|尸月|=a-m，

又/外隼=60。，由余弦定理得：戶周2+盧閶2_|/與/尸閭=上司2=c2,

222

即(加+a)2+(。-掰)2-(掰+a)?(a-機)=4。2,整理得：a+3m-4c,

所以：上浩=4,即/丁4“不二空

可得6避2之且，當(dāng)且僅當(dāng)3=三時等號成立.

24e2

\pp\lP\

②?.?/為△為隼的內(nèi)心，所以華為/尸原K的角平分線，則有附狀=號,

同理,幽=口

,PFXJPF2\_\IP\.IPJPFi\+PF22a1

\AF^\AI\'"AFX\AF^\Al\'"AI\AF^+AF22Cq

即|4|=e［陽，?.?力=4"，=岡冏故=%,

?.?/為△片產(chǎn)片的內(nèi)心，F(xiàn)「I,G三點共線,

即6G為/尸片8的角平分線，進(jìn)而乙G是角尸65的平分線,

BF.\,,,,GB\8與卜忸耳2C

---r,又\BF2w\BF,---p

[%=,2,

PFr\I2|?i|尸G|PF\~\PF.

即國=62畫，vBG=idGP,,?.甌=|“同，|/z|=e2,

所以53+〃2=5e；+e；=；（5e：+￡）（與+2）=；（8+咚+［）2；（8+2店）=2+半,

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）解析：（1）,??圓〃的圓心在直線1-歹+1=0上，設(shè)〃（切，m+1）,

則％±1x（—2）=—1,解得加=—2,即M（—2,—1）,.?.圓的半徑為"R=布.

m

.?.圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（v+l）2=5；

（2）經(jīng)過點/（0,2）的直線/被圓M截得的弦長為3聲，

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,

此時直線/被圓M截得的弦長為254=2,不符，舍去；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=Ax+2,即Ax—y+2=0.」.（上空上4/+（還了=5.

“2+12

17

解得左=1或左=亍，.?.直線/的方程為x—y+2=0或17x—7y+14=0.

（說明：這里少一種結(jié)果扣2分）

nhc

16.（15分）解析：（1）由正弦定理可知----二-----=-----，

sinAsinBsinC

sin（4+C）_sin（7i-B）_sin5_b_a-c

sin4+sinCsin4+sinCsin4+sinCQ+Cb-c

b（b—c）=（Q+C）（Q—c），廿一be—a2102,即g+c?—Q2=be，.

由余弦定理知cos/="十"———,又￡（0,兀），/.Z=巴（不寫范圍扣1分）

2bc23

由幺=工，5=也知。=兀—巴—'=巴.又448。為直角三角形,

36362

故。=述

3

（2）點。在邊8C上且AD平分ABAC,所以S&ABC=SAABD+SAACD

即工48-ZC.sinZ」A8msinNA4￡)+3cZ￡).sinNC4￡)，

222

即Lbcsin60°=Lc?V^sin30°+Lb?V^sin30°,即bc=b+c.①

222

又由于〃+。2—/=A，即〃+。2—4=bc,即(b+c)2=4+3bc.②

①代入②得到S+C)2-3S+C)-4=0,所以Z)+c=4或b+c=—1(舍去),

所以△NBC的周長為a+6+c=2+4=6.

（說明：解答過程中從頭到尾不寫“正弦定理、余弦定理”扣1分）

17.

c-J6

e=—=—

a!3a=y[6

22

3/j

（1）由已知可得，+解得《b=所以，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1.

-ar-62

c=2

a2=b2+c2

（2）當(dāng)直線MN與x軸重合時，不符合題意，設(shè)直線A/N的方程為工=畋+2,

聯(lián)立《，可得(制2+3)/+4叼—2=0,A=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0,

x+3y=6

4m2

設(shè)〃（國,必），NO2,%）由韋達(dá)定理可得%+%=_K%%=一心

則必一%|=J(X+%)2-4%%=J(-^z)2-4x—2_2,6(m2+1)

Vm+3m2+3m2+3

?,2,(川+1)r-

則S=-x6x|必一刃=3XF^=35

4/\AMN2

解得加=±1,所以直線MN的方程為^=±（》—2）.

（說明：這里少一種結(jié)果扣2分）

18.【解答】（1）取P3中點M,連接/M,EM,

?.?后為1^的中點，，〃^〃^。，ME=-BC,

2

又?：ADHBC,AD=-BC,

2

：.MEHAD,〃E=4D,.?.四邊形4DEM為平行四邊形，

DEHAM,平面尸NSNVu平面尸/瓦〃平面PN2；

（2）平面尸48_L平面/BCD,平面尸48n平面48。=48，BCu平面N5CD,

8CLN8,平面PAB,

取N3中點G,連接尸G,則EG〃8C,.?.EG,平面尸N2,

ZGPF=60°,GF=~(AD+BC)=3,tan60°=,:.PG=y/i,

又PA=PB=2,:.AG=GB=N4-3=1,AB=2,

①如圖以G為坐標(biāo)原點，G2為x軸，GF為y軸，GP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

.?.P(0,0,回C(l,4,o),￡>(-1,2,0),

.-.PC=(1,4,-V3),CD=(-2,-2,0),設(shè)平面PCD的一個法向量，^=(x,y,z),

n,-PC=x+Ay-y/3z=0一廠

則」--，取y=l,則〃g),

%.C