2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末重難點專練：空間中的動點與軌跡問題（解析版）

重難點01空間中的動點與軌跡問題

、單選題

1.（23-24高二下?福建漳州?期末）正方體的棱長為1,是正方體外接球的直徑，尸為

正方體表面上的動點，則尸A/.PN的取值范圍是（）

°-2

【答案】A

【分析】利用向量數(shù)量積的運算律可知，PMPN=PO'-^,進一步只需求出po?即可得解.

【詳解】由題意等于正方體的體對角線長，設(shè)點。為"N的中點，

所以=ON=-Vl2+l2+l2=—，

222

貝uPAf.PN=（尸O+OM）?（PO+ON）

=PO2+PO-^OM+ON^+OM-ON=PO2+0-

當(dāng)點尸與正方體的頂點重合時，尸O?最大，且

\/max12J4

「［3-

由于點尸是在正方體表面連續(xù)運動，所以尸的取值范圍是-

PATPN的取值范圍是一；，?！?/p>

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用球心。，將PM./W轉(zhuǎn)化為尸O。-：，然后分析點尸位置即可.

2.（23-24高二上?黑龍江齊齊哈爾?期末）正方體的棱長為4,M為棱CG中點，F(xiàn)為正方

形AAGA內(nèi)（舍邊界）的動點，若叱，A4,則動點尸的軌跡長度為（）

A.aB.20C.yD.萬

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)b(x,y,4),根據(jù)叱，A"列等式，得到點尸的軌跡方程，理解方程含

義為線段，結(jié)合圖形得到端點坐標(biāo)，求解.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)廠(x,y,4),則A(4,0,0),M(0,4,2),

則AM=(T,4,2),MF=(x,y-4,2).

因為叱工期，所以AM-MF=-4x+4(y-4)+2x2=0,

所以x-y+3=0,所以點尸的軌跡為上底面中的一條線段.

易知點尸的軌跡所在直線與上底面正方形的邊的交點坐標(biāo)分別為(0,3,4),(1,4,4),

所以動點尸的軌跡長度為J(0-1)?+(3-牙+(4-4)2=72

故選：A

>

y

X

3.(23-24高二下?河南?開學(xué)考試)在正三棱柱A8C-A瓦G中，AB=2,朋=2百為BC的中點，分

MNMO

別為線段4G,3上的動點，且病=而,則線段"N的長度的取值范圍為(

3A1314^/154厲13

B.[715,4)D.

5N4；75'7

【答案】D

設(shè)且°目-』，根據(jù)*=

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,M,0,26),1府將MN表示為。的函數(shù)，再

換元求的范圍即可.

【詳解】

(Txx

取Bg的中點。，連接OQ,如圖，以。為坐標(biāo)原點，OC,OA,。。的方向分別為x,》z軸的正方向，建立空

間直角坐標(biāo)系，

則0（0,0,0）,4（0,瓜0）,4（-1,0,2^）,G（1,0,273）,

因為M是棱耳G上一動點，設(shè)M（a,0,26）,且4W[-1,1],

所以3/=卜,0,26）,加4=卜凡月,-2君）.

b江MNMO.MO2cr+na2+12

因為——=——，所CC以HMV=------=-/==]-------=■

MOMAMAJ/+3+12舊+15

a2+12

令1=la2+15,te可，則?^=/一；/￡[71?,4].

Vo2+15

又函數(shù)y=在[岳,4]上為增函數(shù)，

所以線段MN的長度的取值范圍為生”,手

故選：D

4.（23-24高二上?浙江紹興?期末）在正方體ABC。-A與G2中，過A5作一垂直于耳。的平面交平面

于直線/,動點M在直線/上，則直線3"與CR所成角余弦值的最大值為（）

A△.石DR.aCr.LUD.1J.

222

【答案】A

[分析】由正方體性質(zhì)可知，與C，平面ABGQ,平面ABGR平面ADD,A=AD,,故動點M在直線AD,

上，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法表示線線角，并求最值.

【詳解】

由正方體性質(zhì)可知，用C_L8G，B,C1AB,BC{AB=B,

BC、u平面ABCXD{,Afiu平面ABCR,

易知4。J■平面ABCQI，平面ABCQ、平面ADD[A=AD],

故動點M在直線AA上，

設(shè)正方體棱長為1,并如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則3（1,00）,C（1,1,0）,。（0,1,1）,

設(shè)兩直線所成角為。，=（-1,0,1）,

11+mlF即2字

故cos0=.=L=1L

加2+加2

J1++1

.2_A/2.1

令%+l=f,則c°s”

2一234

V2?-4/+3廠+2

121_且

所以當(dāng)77時‘即"二時‘（3。）

max2

故選：A

5.（23-24高二上?北京?期中）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-4百。.中，尸為線段4G的中點，。為

線段BG上的動點，則下列四個命題中正確命題的個數(shù)是（）

①存在點。，使得PQ//BO②不存在點。，使得尸平面A耳CQ

③三棱錐Q-AP。的體積是定值④不存在點。，使得PQ與所成角為60。

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】對于①，由BD//BR、瓦2|尸。=尸即可判斷；對于②，若。為BG中點，根據(jù)正方體、線面

的性質(zhì)及判定即可判斷；對于③，只需求證BG與面向是否平行；對于④，利用空間向量求直線夾角的

范圍即可判斷.

【詳解】對于①，在正方體A8C。一A瓦GR中，BBJ/DD、,BBt=DD,,

則四邊形BBQ。為平行四邊形，所以，BDHB、D\,

而尸為線段AC的中點，即為BQ的中點，所以用RPQ=P,

若存在點。，使得5￡>〃P。，且8Q、PQ不重合，則PQ〃BQ,

這與用2np。=尸矛盾，假設(shè)不成立，①錯;

對于②，若。為BG中點，則PQ〃AB,而ABLA4,故PQLA片,

又4>_1_面48瓦4，ABu面ABB|A，則A[3_LA。，故PQ_LAD,

因為A耳c4O=4,A瓦、ADu面A31G。，則P。2面A^CQ,

所以存在。使得P。/平面ABCQ,②錯；

對于③，在正方體48。一ABG2中，ABHCR,AB=ClDl,

所以，四邊形A2CQ為平行四邊形，貝IJBCJ/AR,

而ARI面APD=A,故8G與面AP￡）不平行,

所以。在線段BG上運動時，。到面APD的距離不是定值，

故三棱錐Q-AP。的體積不是定值，③錯；

對于④，以點。為坐標(biāo)原點，D4、DC,所在直線分別為x、丫、z軸建立如下圖示空間直角坐標(biāo)系

D—xyz,

則A（2,0,0）、P（l,l,2）,2（2-?,2,fl）>0<a<2,

所以ZM=（2,0,0）,PQ=（l-aA,a-2）,

I/DAPQ|2（1-?）|11-al1

則cos（DA,PQ\\=—n—=——「\"-------=「?==-

Z）A|-|PA2x+l+（a-2y拒7a~-3a+32

整理可得/一。_1=0,解得a=l±25,合乎題意，

2

所以，存在點。，使得PQ與AD所成角為60。，④錯.

故選：A.

【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：

(1)定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，

解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；

(2)向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角(兩直線的方向向量、直線的方向向量與

平面的法向量、兩平面的法向量)的余弦值，即可求得結(jié)果.

6.（23-24高二上?河北石家莊,期末）在如圖所示的直四棱柱-44G2中，底面A5CD是正方形,

AB=2,A4=3,M是BC的中點，點N是棱CC|上的一個動點，則點A到平面AMN的距離的最小值為（）

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將則點A到平面4河的距離表示出來即可求得最值.

【詳解】由題意知，該幾何體為長方體，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則A(2,0,0),M(1,2,0),AM=(-1,2,0),設(shè)N(0,2,f),(0V3),麗=(-1,0,t).

>

y

n-AM=—x+2y=0

設(shè)平面AAW的一個法向量為”=（x,y,z）,貝卜

n-MN=—尤+tz=0

設(shè)'=乙貝ljx=2f,z=2,貝1]”=(27/2),9=(0,0,3),

-n6

所以點4到平面AMN的距離為

\n\j5?+4

X0<f<9,4<5?2+4<49,所以當(dāng)f=3,5〃+4=49時,

點A到平面40V的距離取得最小值為后.

故選：D.

7.(23-24高二上?北京?期末)如圖，在棱長為2的正方體A5C。-A與G2中，點M是CG的中點，點N是

底面正方形ABC。內(nèi)的動點(包括邊界)，則下列選項正確的是()

A.不存在點N滿足B.滿足的點N的軌跡長度是1

C.滿足〃平面ABG的點N的軌跡長度是1D.滿足瓦的點M的軌跡長度是加

【答案】D

【分析】利用正方體中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出對應(yīng)點的坐標(biāo)，翻譯條件求出軌跡方程，注

意變量的取值范圍，求解軌跡長度即可.

【詳解】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(2,0,0),M(0,2,l),N(x,y,0),4(2,0,2),8(2,2,0),(0,2,2),B,(2,2,2),

71

對于A選項，若/ANM=，貝！lNA-NM=0，且NA=(2-x,-y,0),NM=(-x,2-j,l),

故N軌跡方程為(x-l)2+(y-l)2=2,當(dāng)x=0時，尸0,點(0。)既在軌跡上，

也在底面內(nèi)，故存在這樣的點N存在，A錯誤；

對于B選項，|AN卜加，..』AN|=1,「.N在底面內(nèi)軌跡的長度是以A為圓心，

1為半徑的圓周長的;，故長度為:x27T=m，B錯誤；

442

對于C選項，AB=(0,2,-2),AG=(-2,2,0),設(shè)面ABC1的法向量〃=(x,y,z)

x=l

故有[2昌y-+2z2尸=0。,解得

y=i,故〃=

Z=1

〃平面A^C,...“v."=o,「.N的軌跡方程為x+y—3=。，

0<x<2,0<y<2,:.N在底面內(nèi)軌跡的長度為Jf+F=應(yīng),c錯誤；

對于D選項，BlN=(x-2,y-2,-2),=(-2,2,-1)

耳N_LA/,.?.B]N?AM=0，/.N的軌跡方程為f+y+l=0,gpx-y-l=0,

0<x<2,0<y<2,「.N在底面內(nèi)軌跡的長度為，心+仔=g,D正確

故選：D.

8.(23-24高二上?重慶?期末)正三棱柱ABC-A耳G的所有棱長均相等，E,b分別是棱A4KG上的兩個

動點，且耳E二C方，則異面直線BE與A歹夾角余弦的最大值為()

111

A.1B.—C.-D.—

234

【答案】D

【分析】設(shè)4E=CF=f,fw[0,2],以A為原點，AB.AA,方向分別為x,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

從而得到BE和AP的坐標(biāo),又因為cos6=紅也"!，從而得到異面直線8E與AF夾角余弦的最大值.

\BE\-\AF\

【詳解】設(shè)A8=2,4E=C尸=f,fe[0,2],

以A為原點，45,44,方向分別為x,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

可得3(2,0,0),E(2-r,0,2),BE=(T,0,2),A(0,0,0),F(l,6,t),AF=(1,瓜t),

IBE.AF|_t11

故所求角的余弦值為c°s〃-|B￡|.|AF|-774一13一［，當(dāng)r=2時取"="?

t

故選：D

二、多選題

9.（23-24高二下?湖南郴州?期末）如圖，正方體ABCO-ABCA的邊長為2,加為A4的中點，動點尸在正

方形ABCD內(nèi)（包含邊界）運動，且9=石.下列結(jié)論正確的是（）

B.異面直線與8月所成角的正切值為2；

C.的最大值為2；

25?t

D.三棱錐P-M4Q的外接球表面積為

【答案】ACD

【分析】取AD的中點N,分析可知M7V,平面ABCD對于A：分析可知動點尸的軌跡是以點N為圓心，半

徑為1的半圓，即可得結(jié)果；對于B：分析可知異面直線MP與B與所成角即為NPMN,即可得結(jié)果；對于

C：根據(jù)數(shù)量積的幾何意義分析判斷；對于D：分析可知OeMN,進而求球的半徑和表面積.

因為分別為的中點，貝L回AA-且政V=44,=2,

又因為9_L平面ABCD,則的VL平面ABCD,

由NPu平面ABC。，可得MN_LNP.

對于選項A：在Rt△跖VP中，NPZMP。-MN。=1，

可知動點尸的軌跡是以點N為圓心，半徑為1的半圓，

所以動點尸的軌跡長度為1x2;txl=7t,故A正確

2

對于選項B：因為MVElAA，BBl^AAl,則跖ViaBBi，

NP1

可知異面直線MP與B與所成角即為/PMN,其正切值為tan/PMN=—=-,故B錯誤；

MN2

對于選項C：因為線段VP在平面ABC。內(nèi)的投影為NP,

結(jié)合選項A可知：MP在A8方向上的投影數(shù)量的最大值為1，

所以的最大值為=故C正確；

對于選項D：設(shè)三棱錐尸-MA￡＞的外接球的球心為0,半徑為R,

因為的V，平面ABCD,且雙為_皿）的外接圓圓心，可知OeMN,

則上=（2-?2+1,解得R=（,

25兀

所以三棱錐尸-的外接球表面積為4花尺2=一,故D正確；

4

故選：ACD.

10.（23-24高二下?山西太原?期末）如圖，在棱長均為1的平行六面體ABC。-A瓦GQ中，臺與，平面

ABCD,ABC=6Q,P,。分別是線段AC和線段人聲上的動點，且滿足3。=幾網(wǎng),CP=（1-X）C4,則下列

說法正確的是（）

A.當(dāng)X=J時，PQU\D

B.當(dāng)時，若尸Q=xAB+yAD+zA4j(x,y,zwR),則x+y+2=0

C.當(dāng)2=:[時，直線PQ與直線CG所成角的大小為71g

36

D.當(dāng)4?0,1）時，三棱錐。-3cp的體積的最大值為*

【答案】ABD

【分析】利用直棱柱的性質(zhì)，以及空間向量的有關(guān)知識逐項計算可得結(jié)論.

【詳解】對于A,當(dāng)彳=；時，尸,。分別是線段AC和線段AB的中點，

所以尸也是8。的中點，所以PQ//A。，故A正確；

對于B,當(dāng)2=|時，尸0=40_河=3（45+.）一;（相+皿）=_；^￡>+；皿，

所以x=0,y=-；，z=g，滿足x+y+z=O,故B正確；

對于C,過。作QN/MA交AD于N,

可知QN上面ABCZ）,PQ與直線CG成角即為NPQN,

當(dāng)彳=；時,”=；,在.、⑷中,

VPAN=-,AP=-,APAN=^,

33

則PN=J0+］小2x|x；x「f

昱

所以tan/PQN=￡?=?=若，所以NPQN=60,故C錯誤;

QN1

3

對于D,易知VA3C是正三角形，

三棱錐Q-3CP體積為M=L,BCxCPxsin6()OxQN

一32~

=；x；x1x(1-彳)xsin60°x2=(1-2)2

V3.1-/1+A2_A/3

S—(----------)二—，

12248

當(dāng)且僅當(dāng)1-4=%,即幾=1時取等號，故D正確；

2

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項解決的關(guān)鍵是，分析得VABC是正三角形，從而得到所需各線段長，從

而利用三棱錐的體積公式即可得解.

11.（23-24高二下?河北唐山?期末）已知點尸是正方體ABCD-ABC2表面上的一個動點，則以下說法正

確的是（）

A.當(dāng)尸在平面BCG用上運動時，四棱錐尸-朋口。的體積不變

TTTT

B.當(dāng)尸在線段AC上運動時，2P與4G所成角的取值范圍是

C.若點P在底面A2CD上運動，則使直線A/與平面ABCZ）所成的角為45的點尸的軌跡為橢圓

D.若尸是A耳的中點，點尸在底面A2CD上運動時，不存在點尸滿足尸尸//平面片CR

【答案】AB

【分析】可以設(shè)正方體的棱長為2,利用四棱錐的體積公式，底面積與高不變則體積不變可以判斷A選項;

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（尤,2-x,0）,（xe[0,2]）,表示出2尸與AG所成角的余弦值，即可根據(jù)尤的范圍

求得范圍，進而求得角的范圍，判斷B選項；設(shè)P（x,y,O/OW尤W2,0WyW2）,表示出直線A7與平面ABCZ）

所成的角的正弦值得到x與V的關(guān)系，從而得到點尸的軌跡，判斷C選項；證得AG，平面所以向

UUU

量AG是平面CgR的法向量，再由尸尸〃平面gCR得到點P的軌跡，進而判斷D選項.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2.

A選項，當(dāng)尸在平面BCG片上運動時，點尸到平面A412n的距離為2,

1Q

所以四棱錐P-4412n的體積V=]x2x2x2=§,故A正確；

B選項，以DA為x軸，以。C為，軸，以。R為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

x

D1(0,0,2),P(x,2-x,0),(xe[0,2])，A(2,0,2),C1(0,2,2),niP=(x,2-x,-2)，AC1=(-2,2,0),

I/\i|4-4x||x-l|

設(shè)可與AG所成角為。，則*=G)|=20J；+Q二+4=7d號T

cos0=_11,XG[0,1)U(1,2]

當(dāng)xw]時，L~3

V(^17

33

WJ(x-l)2e(O,l],收)，1+正了式4,+00),

,------------------]e(Q11

卜忌，…,刈即儂呵。，!

當(dāng)x=l時，cos9=0,所以cos。w0,—,

JTITIT

又因為0,-,所以,故B正確；

C選項，若點尸在底面ABS上運動,^P(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),Al(2,0,2),AiP=(x-2,y,-2),

平面ABCD的法向量取加=(0,0,1),

AP?可卜2|—近

則直線A,與平面458所成的角為45時，有sin45=cos(qp,加)=

4PhM4(一2)2+/+42

化簡為(x-2)2+;/=4,則點P的軌跡為四分之一圓，故C錯誤;

A(0,0,2),C(0,2,0),耳(2,2,2),4(2,0,0)6(022),,

“=(0,2-2),^=(2,0,2),AC；=(―2,2,2),

因為AGDC=°，C4，AG=O，且2CCC31=C，2C,C81U平面CBQI，

ULU1

所以AC|，平面CB.,即向量AG是平面CZ?Q1的法向量，

F（2,1,2）,P（x,y,0）,FP=（x-2,j-1,-2）,

若叮〃平面CBjR,貝i]PPAC]=_2-（x_2）+2（y_l）_4=0,即x—y+l=0,

因為直線x-y+l=0與正方形ABC。有公共點，即存在點尸滿足尸尸〃平面用CR,故D錯誤;

故選：AB.

三、填空題

12.（23-24高二上?廣東?期末）如圖，正方形ABCD和正方形帥的邊長都是1,且它們所在的平面所成

的二面角D-AB-F的大小是60°,則直線AC和BF夾角的余弦值為.若M,N分別是AC,BF上

的動點，且AM=BN,則MN的最小值是.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量法即可求解；利用二面角的定義證得NZM廠就是二面角的平面

角，即為60。，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積、一元

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運算即可得解.

【詳解】連接MB,如下圖,

由題意，AM=BN,AC=BF,正方形ABC。中，ADJ.AB,

「正方形⑷陽月中AF_LAB,AFu平面ABEF,ADu平面ABCZ）,平面ABEFc平面ABCD=AB,

/ZMF就是二面角O-AS—F的平面角，則/ZMF=60。，

，向量AD與向量Ak夾角為6?！?，且4￡>_1_43.4尸_148,

@AC=AB+BC,BF=BE+EF，IAC|=|BF\=42,

ACBF=(AB+BC)(BE+EF)=ABBE+ABEF+BCBE+BCEF=~,

cos<AC,BF>=」=」'

24

直線AC和BF夾角的余弦值為1；

4

②設(shè)AM=2AC,BN=2B尸,Xe[0,1],貝!jMC=(l-X)AC,

且由題意|AD|=|A8|=|AF|=1,

MN=MB+BN=MC+CB+BN=Q-2)AC+CB+4BF

=(1-2)(AD+AB)+CB+A(BA+BE)=-AAD+(l-2/1)AB+AAF,

MN2=22AT)+(1-2Z)2AB2+ArAF'-2Z(1-2A)AD-AB+2/1(1-2X)AB-AF-2A1AD-AF

=22+(1-2%)2+分+o+o-2萬cos60。=5A,2-4A+1,

2

令/I(4)=5%—44+1,2G[0,1],以4)圖象開口向上，且對稱軸為2=(,

???當(dāng)X時，人(%)取得最小值以丸焉==(，又MV2=|MN|2,

「?(AW?)1nhi=即MN的最小值是好.

故答案為：

45

13.(23-24高二上,廣東江門?期末)如圖，已知正三棱柱ABC-A4G的所有棱長均為L動點尸在線段入用

上，則尸8a面積的最小值為.

【答案】f/^

【分析】以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點P到直線BQ的距離的最小值，即可得解.

【詳解】如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),8(1,0,0),即1,0,1),G-,^,1

r161

所以4月=(1,0,1),BC1=-5，+/

(22)

因動點尸在線段A片上，則令#=西=（W）,OW1,

即有點尸《,。才),所以BP=(f-l,0,f),貝HBP|2=Q-1)2+產(chǎn)=2產(chǎn)一2/+1,

BPBQ1

從而Q+l),

\BCt|-2A/2

因此點P到直線8G的距離d=[BPf_（BPBCI）2=鼠-2?+1一斯+2/+1）

yIBCX|V8

二I%—/

V848

3

當(dāng)且僅當(dāng)，=g時取等號，

所以線段A片上的動點P到直線B3的距離的最小值為（，

又因為忸G|=JBC'CC；=V2,

所以G面積的最小值S吶=；d忸G|=gXtX忘=吟.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出點P到直線BG的距離的最小值是解決本題的關(guān)鍵.

14.（23-24高二上?廣東廣州?期末）在棱長為2的正方體ABCD-A耳G2中，點、E、尸分別是梭BC、CG

的中點，尸是側(cè)面AORA上的動點，且尸G〃平面但，則點尸的軌跡長為，點尸到直線AF的距離

的最小值為.

2a

【答案】五

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD.A4所在直線分別為X、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點

P（0,y,z）（0<y<2,0<z<2）,利用空間向量法求出點尸的軌跡方程，可求得點P的軌跡長度，利用空間向

量法可求得點P到直線AF距離的最小值.

【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD.AA所在直線分別為龍、'、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

則4（0,0,0）、￡（2,1,0）,尸（2,2,1）、G（2,2,2）,

因為點P是側(cè)面A上的動點，設(shè)點尸（o,y,z）（0<y<2,0<z<2）,

設(shè)平面AE尸的法向量為沅=（x,y,z）,AE=（2,l,0）,EF=（0,1,1）,

m?AE=2x+y=0/、、

則，取X=l,可得加=（1,一2,2）,且GP=（z-2,y-2,z-2）,

m?EF=y+z=0

因為PC]〃平面AE尸，則〃工，即C]P7"=-2—2（y-2）+2（z—2）=0,

可得y-z=T,分別取線段A%、陰的中點M（0,l,2）、N（0,0,l）,

所以，點尸的軌跡為線段肋V,

故點P的軌跡長為\MN\=J。?+（1-0）2+（2_以=V2,

AP=(0”+l),由%“位2,可得041，

APA尸3y+l3y+l

cos/PAF=

HM3"2y2+2y+l

所以，點尸到直線好的距離為d=\AP\sinZPAF=|AP|-Vl-cos2ZPAF

因為函數(shù)〃y)=(3y+2y+4在［0』上為增函數(shù),

所以，當(dāng)>=0時，d取最小值，且4^=半.

故答案為：忘；2夜..

3

四、解答題

15.(23-24高二上?安徽阜陽?期末)如圖，在四棱錐P—A8CO中，底面ABC。是正方形，且池=尸￡>=1,

平面PCD，平面ABC。，NPDC=120。，點E為線段PC的中點，點尸是線段AB上的一個動點.

⑴求證：平面DEF_L平面PBC；

/r?AF

(2)設(shè)二面角C-DE-尸的平面角為仇當(dāng)cos9=*口時，求b的值?

【答案】⑴證明見解析;

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)判定、面面垂直的判定推理即得.

(2)以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸,CDE的法向量，再利用面面角的向量求法列式計

算即得.

【詳解】(1)由四邊形ABCZ)是正方形，得BCLZ)C,而平面PCDJL平面ABC。，

平面尸CD1平面ABCDnCD.BCu平面ABC。，則BC_L平面PC。，

又。Eu平面尸。，于是BCLDE,

由AD=PD=Z)C,點E為線段PC的中點，得尸CLDE,

又PC3C=C,PC,BCu平面P8C,因此DEJ_平面尸8C,而DEu平面OEF,

所以平面￡>EF_L平面PBC.

(2)由(1)知BC_L平面尸C。，而AD/ABC,則A￡>_L平面PCD,

在平面PC。內(nèi)過。作。G,DC交PC于點G,顯然直線ZM,DC,￡>G兩兩垂直，

以。為原點，直線ZM,DC,DG分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-^z,

由A￡>=P￡)=1,ZPDC=120°,得。(O,O,O),C(O,l,O),P(O,-g,#),E(0,；,當(dāng))，

設(shè)廠(1,租,0乂12加之0),則r>E=(0,；，￥),r)k=(l,〃2,0),設(shè)平面OE尸的法向量為〃=(x,y,z),

n?DF=x+my=0

則1J3，令y=6，得〃=（一6加,百，一1）,

nDE=-y+—z=0

44

\n'nf\I-J3mlJ13

而平面尸CO的法向量為"=(1,0,0),則cos6=|cos〈〃/'〉|=1=下『=不"，

舊ll〃lV3m2+3+l13

而別>0,解得根=：,此時I=:?

5|rD|Z

16.(23-24高二上?四川瀘州?期末)在正方體ABCD-A8C2中，E為AA的中點，F(xiàn)為直線C。上的動點.

⑴若C,F=CF,求平面AEF與平面AERD的夾角的正切值;

(2)若鉆=2,P為底面A8CZ)的中心，當(dāng)點尸到平面AEE的距離為恒時，求線段CF的長.

7

【答案】⑴述

3

⑵6反-24或60+24.

【分析】（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面A￡F和平面的法向量，利用法向量求夾角的余

弦值，再求正切值；

（2）代入點到平面的距離的向量公式，即可求解.

【詳解】（1）如圖，以點。為原點，以向量為％y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長

為2,且尸為CG的中點，

4(2,0,0),E(l,0,2),F(0,2,1),￡>(0,0,0),

AE=(-l,0,2),AF=(-2,2,1),=(-2,0,0)

設(shè)平面AEF的法向量為加=(拓%，4),

m?AE=-x,+2z,=0八

所以1,令玉=4,貝i]Z[=2,%=3,

m-AF=-2芯+2yi+zx=0

所以平面AE尸的法向量機=(4,3,2),

設(shè)平面AED.D的法向量為n=(0,1,0),

設(shè)平面AEF與平面的夾角為〃，

則cose=|cos〃2,〃|=-^L=,sin0=,貝ljtane=^^,

1172929293

所以平面AEF與平面AE，。的夾角的正切值為撞；

3

(2)設(shè)廠(0,2,/?)

71(2,0,0),￡(1,0,2),尸(1,1,0),AP=(-1,1,0),

AE=(-l,0,2),A/=(-2,2,/z),

設(shè)平面AEF的法向量為u=（x,y,z）,

u-AE=-x+2z=0

所以令x=4,則z=2,y=4-h,

u-AF=-2x+2y+/zz=0

所以平面AE尸的法向量力=（4,4-/z,2）,

Apu

-\_____\-h\_________V21

點P到平面AEF的距離d=

\U\V2X^16+（4-/7）2+47’

解得：/z=±6應(yīng)-24，

所以CP的長為6夜-24或6夜+24.

17.（23-24高二上?安徽合肥?期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，上4，面ABCD,AB//CD,且8=2,

AB=1,BC=20.PA=1,ABI.BC,E,尸分別為PD,8c的中點.

P

⑵在平面PBC內(nèi)是否存在點H,滿足?。?的=0,若不存在，請簡單說明理由；若存在，請寫出點8的軌

跡圖形形狀.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在，軌跡是半徑為延的圓，理由見解析；

4

【分析】（1）過E作EG_LAD交4。于點G,連接EG,GF,由線面平行證明面面平行，再由面面平行的性

質(zhì)即可得出線面平行的證明；

13

（2）由點在空間內(nèi)軌跡為以AD中點為球心，=二為半徑的球，而AD中點到平面P8C

22

的距離為還＜』，即可求解.

42

【詳解】（1）如圖,

P

過E作EGJLAD交AD于點G,連接EG,GF,

PA_L面ABC。，AT?u面ABCD,則上4_LAD,

又EGu面PAD,E4u面PAD,且EG,PA不共線，故EGIIPA,

因為E為PO的中點，所以G也為AD中點，又尸為2c的中點，所以GfV/AB,

而EGa平面上4B,R4u平面2鉆，所以EG〃平面同理GF//平面E鉆,

又因為EGGF=G,EG,G尸u平面EGP,

所以平面EGV〃平面R4B,而EFu平面EG/,

所以EF//平面R45.

(2)如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

又CD=2,AB=l,BC=2y/2,PA=i,

則P(0,0,1),B(0,1,0),C(2A/2,1,0),D(2A/2,-1,0),

PB=(0,1,-1),PC=(2A/2,1,-1),

設(shè)平面PBC的法向量“=a,y,z),

n-PB=y—z=0

則有l(wèi),取y=i,得到x=o,z=i,即〃=(o,i,i),

n-PC-2^j2x+y—z=0

又AD中點G(形,-；,0),則BG=(啦,-|,0),

I0xV2+lx--+1x0--r-

則AD中點到平面PBC的距離為|3G?川=_________I2)2_372,

\n\一71+1.0-4

13

由HZ).H4=0，即故H在以AD中點為球心，半徑為萬的二萬的球面上,

而手＜|,故//在面P3C上的軌跡是半徑為j(|)2一(乎)2=乎的圓，

故存在符合題意的H，此時H軌跡是半徑為迷的圓.

4

18.（23-24高二上?上海?期末）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA_L平面ABC。，AD//BC,ABLBC,且

SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中點.

⑴求異面直線AM與SD所成角的余弦值;

（2）求點A到平面SBC的距離;

⑶設(shè)N是棱C。（含端點）上的動點，求直線AD與平面所成角的大小的取值范圍.

【答案】⑴孚

⑵及

rn."

（3）0,arcsin

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可;

（2）利用空間點到面的距離公式進行求解即可；

（3）利用空間夾角公式，利用換元法、余弦函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】（1）因為AD〃3C,ABA.BC,所以AB_L4Z>,

又因為S4_L平面ABC。，AB,ADu平面ABCD,

所以&4_LA反%_LAO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,1,0）,5（0,0,2）,M（l,0,1）,

因為AM=（1,0,1）,SD=（0,1,-2）,

AMSO-2_V10

所以cosAM,SD=

|AM|.|5D|A/T+TXV5-5

因此異面直線AM與SD所成角的余弦值為畫；

5

（2）設(shè)平面SBC的法向量為訪=O,y,z）,

SB=（2,0,-2）,SC=（2,2,-2）,AB=（2,0,0）,

m-SB=2x-2z=0

于是有=>m

m-SA=2x+2y-2z=0

\m-AB\7_

所以點A到平面SBC的距離為=—==0；

同Vi2+i2

（3）設(shè)Nd，%?），函=2前0優(yōu)―2,%~2/2）=彳（一2,-1,0乂彳?0』）=卜（2-242—九0）,

設(shè)平面AMN的法向量為〃=（4%,zj,AM=（1