2024-2025學(xué)年河南省信陽市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省信陽市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,3},5={2,3,5},貝!!（用2川/=（）

A.{3}B.{1}C.{1,4}D.{1,3,4}

2.半徑為2的扇形，其周長為12,則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）

A.8B.6C.5D.4

3.方程2，+x=0的根所在的區(qū)間是（）

AB.]一別C.陷D.目

4.角￡的終邊經(jīng)過點“（2,間，且sinc=_*,貝Utan￡=（）

A.-gB.y/5C.或括D.g或-石

5.已知函數(shù)/（幻=小皿0才+。）（/>0,0>0,|9|<|^的部分圖象如圖所示，則

102

A.1B.-1C.V3D.-V3

6.某品牌可降解塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量了與時間f（單位：年）之間的關(guān)系為

y=y0-^.其中先為初始量，4為降解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始

量的75%.若該品牌塑料袋需要經(jīng)過〃年，使其殘留量為初始量的10%,則〃的值約

為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2n0.301,lg3?0.477）

A.20B.16C.12D.7

3

7.已知Q=],b=log23,c=log34,貝Ij（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

8.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+p)0>00<夕<?的圖象過點(0,1),且/(x)在區(qū)間修,了

上具有單調(diào)性，則①的最大值為()

416

A.—B.4C.—D.8

33

二、多選題(本大題共4小題)

9.已知函數(shù)［(x)=x"的圖像經(jīng)過點則()

A.〃龍)的圖像經(jīng)過點(2,4)

B.“X)的圖像關(guān)于原點對稱

C.若xe［l,2］,則〃x)e1,1

D.當(dāng)x>0時，/(x)N2-x恒成立

10.將函數(shù)〃x)=cos2x的圖象向右平移§個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具

有性質(zhì)()

A.周期為萬B.圖象關(guān)于直線x=5對稱

C.圖象關(guān)于點［三,0)對稱D.在(0,?［上單調(diào)遞增

11.已知48,C是AA8C的三個內(nèi)角，下列條件是“co/cosBcosCc0”的一個充分不必

要條件的為()

A.sin(/+8)>0B.cos(/+3)>0

C.sin(^-S)<0D.cos(/-_8)<0

12.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足：①/"(x)=/(2r)；②當(dāng)xe［2,3］時，

f(x)=2-x.下列說法正確的有()

A./(-I)-1

B./(x+2)=/(x)

C.當(dāng)xe［-3,-1］時，/(A:)=-x-2

D.方程7/(x)=x+2有7個實數(shù)根

三、填空題(本大題共4小題)

13.已知函數(shù)〃尤)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2-2x-3,則〃-2)

41

14.已知正數(shù)b滿足—F6=1,則。+7的最小值為_________.

ab

15.數(shù)學(xué)可以刻畫現(xiàn)實世界中的和諧美，人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法

等美的共性與黃金分割相關(guān).黃金分割常數(shù)④='亙也可以表示成2sinl8。，則

2

4一療

cos54°

16.已知符號區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)/(x)=￥(XW0),給出下列四

個結(jié)論：①當(dāng)xe(0,l)時，〃x)=0；②為偶函數(shù)；③“X)在［1,2)單調(diào)遞減；④

若方程=a有且僅有3個根，則0的取值范圍是由［U其中所有正確結(jié)

論的序號是.

四、解答題(本大題共6小題)

17.化簡下面兩個題:

cos(兀+a)sin(------a)

(1)已知角a終邊上一點尸(-4,3),求一3-------------2—的值;

cos(—7i-a)sin(兀一a)

21

⑵已知2*=5-=20,求一+一的值.

xy

18.已知命題P：eR,-/+2x-/>0成立；命題0：/+ax+2=0有兩個負(fù)根.

⑴若命題P為真命題，求。的取值范圍.

(2)若命題P和命題9有且只有一個是真命題，求。的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=log2(4*+l)+Ax為偶函數(shù).

(1)求實數(shù)上的值；

(2)解不等式〃x)Wlog2(7-2，-l).

20.已知f(x)=V3sinxcosx+3sin2x——.

⑴求的最小正周期;

(2)求y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間;

（3）當(dāng)xepy時，求二〃x）的值域.

21.已知某工廠要設(shè)計一個部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁

剪，部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為

CD=x,AD=y（單位：cm）,部件的面積是回cm?.

（1）求了關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；

（2）為節(jié)省材料，請問X取何值時，所用到的圓形鐵片面積最小，最小值為多少？

x

22.已知函數(shù)/（X）=log2（x+l）,g（x）=log2^a-2+eR）.

⑴當(dāng)xe（O,2兀）時,求不等式。（sinx-l）+〃2siW<0的解集;

⑵若方程f（2'）=g（無）只有一個解，求0的取值范圍.

答案

1.【正確答案】D

【分析】先根據(jù)題意求為3,再結(jié)合并集的概念求答案.

【詳解】因為全集。={123,4,5},集合5={2,3,5},

所以用8={1,4},

又因為集合/={1,3},所以（48）U/={1,3,4},

故選：D.

2.【正確答案】D

【分析】利用扇形弧長公式列方程組即可求解.

【詳解】不妨設(shè)扇形的弧長為/,所對的圓心角的弧度數(shù)為a（&>0）,

l=ar1=2aa=4

則有,即12=/+4'解得

C=l1+2r/=8

所以該扇形圓心角的弧度數(shù)為4.

故選：D.

3.【正確答案】A

根據(jù)零點的存在性定理判斷.

【詳解】令函數(shù)〃x）=2'+x,則函數(shù)/（%）在實數(shù)集R上遞增,

又〃一1）=2-一1=一。<0，f=2,巖彳＞0,

1

所以函數(shù)〃X）在上有一根，即方程2、+x=0的根所在區(qū)間為-1,一不

2'

故選：A.

本題考查函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷，考查根的存在性定理，屬于簡單題.

4.【正確答案】A

sina=-且列方程得到加=-右，然后正切

【分析】根據(jù)角C的終邊經(jīng)過點河（2,切）,

3

的二倍角公式列方程求解嗚即可?

S2乎所以a二等,解得

【詳解】因為角&的終邊經(jīng)過點河（2,加）,

m=-V5

.ac.aa

sm—2sin-cos—

2a222sina

所以coscr=—，tan——=

2aO2acosa+1

3cos—2cos—

22

故選：A.

5.【正確答案】B

202U

根據(jù)圖象可求出A,再根據(jù)圖象所過的點求出夕，。,從而可求了的值.

6

【詳解】由圖象可得4=2且2sinp=l,因為|夕|<1,故夕=/

6

TT

故/(x)=2sin(s:+—).

6

由圖象可得［半，-2］為了軸右側(cè)第一個最低點，故2〃713萬

GX——十—=——

362

TT

故①=2,故/(x)=2sin(2x+—),

6

202U.,202ITTTC._.,__2〃TC..57r.

所以/=2sin(2x--——+=2sm(z6737r+-~~1-^)X=-2sin^—=-1

6

故選：B.

方法點睛：知道正弦型函數(shù)的圖象，求其解析式，一般是根據(jù)圖象觀察振幅和周期，并利用

最值點求初相位，注意也可以根據(jù)圖象所過的點求初相位.

6.【正確答案】B

3nk=，，求解即可.

【分析】由建北可得2"ln3-2”再代入C

3

【詳解】根據(jù)題意可得為看左二%?『

33

則e2k=—,2A;=In—=In3-2In2,

44

則經(jīng)過〃年時，有％

即e*—,貝!JzzA:=ln-=-lnlO,

1010

-1

所%=8,

則〃=16.

故選：B.

7.【正確答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.

【詳解】因為42<（36）2,所以4<36，1暇4<1嗎36=|,即”>C,

又因為32>（2啦）2,所以3>2也，log23>log22V2=I,即所以b>a>c.

故選：B.

8.【正確答案】C

【分析】由函數(shù)〃x）的圖象過點（0,1）求得。，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的

性質(zhì)列式求得。的范圍，即可得解.

【詳解】因為函數(shù)“X）的圖象過點（0,1）,所以〃0）=2sin夕=lnsine=g,

因為。<*<￡,所以9=四，所以〃x）=2sin（8+馬，

266

、“/兀兀、兀/COTt7C、

當(dāng)工￡（一,一）r時t，GX+—￡（—+—,0—7T+7-T）,

8468646

jrjr

因為/（%）在區(qū)間（三,二）上具有單調(diào)性,

84

r-1—,,rz?！?兀兀、/兀.兀1\1r7

所以（-^_+5，_^_+不）—（一萬+版+左兀），左Gz,

口n①兀兀、兀7口G兀兀/兀777

即——+—>---FE且---F—?—+E,左EZ,

862462

164

則一一+8左—+4左，左EZ,

33

因為一3+8左W，+4左，得左V』，

333

因為0>0,所以左=0時，則oe（0,g]；當(dāng)左=1時，?e[|,y],

綜上，coe（0,—]U[—,—],即。的最大值為§,

故選：C.

9.【正確答案】BCD

【分析】把點代入函數(shù)解析式，求出未知系數(shù)，得到函數(shù)解析式后分析單調(diào)性奇偶

性等性質(zhì)，驗證函數(shù)值，逐個判斷選項.

【詳解】函數(shù)/（x）=/的圖像經(jīng)過點（gj,二]；]、？，得a=T,...函數(shù)/'（幻=尸.

由"2）=:，故A錯誤；

函數(shù)/（》）=一為奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點對稱，故B正確;

若xe[l,2],函數(shù)〃幻=/在[1,2]上單調(diào)遞減，則/(2)4/(x)4f⑴，即

/(x)e1,1,故C正確；

當(dāng)x>0時，婷一(2-x)J-2X+、(1)，,〃x)22-x恒成立，故D正確；

XX

故選：BCD

10.【正確答案】AD

由三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式可得g(x)=sin2x,再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐

項判斷即可得解.

【詳解】由題意可得g(x)=cos2]x-3=cos，x-3=sin2x,

所以g(x)的最小正周期？=芋=萬，故A正確；

因為8110='吊〃=0，所以g(x)的圖象不關(guān)于直線x=]對稱，故B錯誤；

因為g[]]=sin?=孝，所以g(x)的圖象不關(guān)于點[1,0)對稱，故C錯誤；

因為x40,￡|時，2xe/，m，所以g(x)在(。3上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：AD.

本題考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

11.【正確答案】BD

【分析】根據(jù)題意要逐一判斷由選項能否推出co/cosBcosCvO,推出“3C為鈍角三

角形，其中A,C項都無從推出鈍角，B項可以利用誘導(dǎo)公式判斷C是鈍角，D項利用

兩角差的余弦公式可推得cosNcos2<0,從而得出鈍角.

【詳解】對于A選項，由sin(4+8)>0可得sinC>0,則?？梢允卿J角或者鈍角，無

法判斷cosAcosBcosC的符號，故A項錯誤；

對于B選項，由cos(4+8)〉0可得cos。<0,因0<。<兀，故。是鈍角，45都是銳

角，即有cos力cosBcosC<0；

反過來，由cosZcosBcosC<0可得中必有一個鈍角，當(dāng)4=60°,5=100°

時,cos(/+8)=cosl60°<0,故B項正確；

對于C選項，當(dāng)sin(/-5)<0時，如果取4=30°,8=90°,則。=60°,此時

cosAcosBcosC=0,不合題意，故C項錯誤；

對于D選項，由cos(4—8)<0可得cos/cos8+sin/sin8<0,即cos/cos5<-sinAsinB,

因0</<兀,0<B<7t,sin^4sinB>0,

則cos/cos5<0,即48中必有一個是鈍角，從而C是銳角，即cos/cos3cosc<0必成

立，

反過來，由cos4cosBcosC<0可得48,C中必有一個鈍角，當(dāng)4=60°,8=100。

時,cos(/-3)=cos(-40°)>0,故D項正確.

故選：BD.

12.【正確答案】ACD

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)〃x)的周期為4,結(jié)合周期性可判斷AB選項；利用周期性和對

稱性求出函數(shù)〃x)在卜3,-1]上的解析式，可判斷C選項；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.

【詳解】對AB,因為函數(shù)“X)在R上為奇函數(shù)，故〃#=-/(-可，

因為〃x)=〃2-x),BP/(2-x)=-/(-x),則為2+x”_〃x),

故〃x+4)=-〃x+2)=〃x),故的周期為4,故〃-1)=〃3)=-1,故A正確，

B錯誤；

對C,因為“X)是奇函數(shù)，所以當(dāng)-3,-2]時，-xe[2,3],

故/(-x)=2+x=-/(x),則〃x)=-x-2,

當(dāng)xe[-2,_l]時，x+4e[2,3],/(尤)=/(x+4)=2-(x+4)=-x-2,

故當(dāng)xe[-3,T]時，/(x)=-x-2,故C正確；

對D,7/(x)=x+2,即如下圖所示：

由圖可知，直線>="+，與函數(shù)"X)的圖象共有7個交點，故D正確.

故選：ACD.

13.【正確答案】3

【分析】由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，計算可得所求值.

【詳解】函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，貝。/(-2)=-/⑵=-(4-4-3)『3.

故3

14.【正確答案】9

1144

【分析】根據(jù)題意，化簡得至IJa+：=（〃+；）（上+6）=5+。6+三，結(jié)合基本不等式，即可

bbaab

求解.

4

【詳解】由正數(shù)。，6滿足一+6=1,則

a

1144

a-\■—=(〃H■—)(—+6)=5+Q6H---->5+2=9,

bbaab

41

當(dāng)且僅當(dāng)仍=；時，即。=61=彳時，等號成立,

ab3

所以的最小值為9.

b

故答案為.9

15.【正確答案】2

【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，誘導(dǎo)公式，二倍角公式進(jìn)行求解即得.

［詳解］_2sinl8aj4-（2sinl8o）2_2sinl80-2cosl8。_2sin36。_）

cos54°-cos54°-sin（90。-54。）-sin36°-,

故2.

16.【正確答案】①③④

【分析】根據(jù)新定義分析”X）得到“X）的圖象，即可判斷①②③；將方程f（x）=。

有且僅有3個根轉(zhuǎn)化為“X）與夕=。的圖象有3個交點，然后結(jié)合圖象即可判斷④.

【詳解】因為符號國表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)/（力=9卜片0）,

所以當(dāng)xe(0,l)時，[x]=0,貝l]/(x)=0；

則小)jg」

當(dāng)xe[l,2)時，[x]=l,

當(dāng)xe[2,3)時，[x]=2,貝IJ=

當(dāng)xe[3,4)時，[%]=3,則=

則/(x)=：eg,l

當(dāng)xe[4,5)時，[x]=4,

則/(x)=—ef—,1

當(dāng)xe[5,6)時，[x]=5,

x.

當(dāng)xe[-l,O）時，[x]=-l,則〃x）=-：e[l,+oo）；

7

當(dāng)xe[-2,-1）時，區(qū)=-2,貝i]/（x）=-二[1,2）；

當(dāng)xe[-3,-2）時，團(tuán)=-3,則〃”

當(dāng)xe[-4,一3）時，[x]=-4,則/'（"二一：€1,：]

所以函數(shù)〃力=區(qū)（》W0）的圖象如圖所示:

對于①，由上面的圖象可知，①是正確的，

對于②，由上面的圖象可知，②是錯誤的，

對于③，由上面的圖象可知，③是正確的，

對于④，由上面的圖象可知/13,力，力―21），ck|^

因為方程/卜）=。有且僅有3個根，等價于“X）與>的圖象有3個交點,

結(jié)合圖象可知，當(dāng)3;竹或4三44°<；3.

故①③④.

17.【正確答案】（1）—

（2）1

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式求得正確答案.

（2）利用對數(shù)運算求得正確答案.

【詳解】(1)角a終邊上一點夕(-4,3),所以

.33-44

sina=?/=■=—,cosa=?/=?=——

“4)2+325卜25'

兀

cos(7t+a)sin(-萬一①(_cosa)(_cos￡z)2a16

所以o—_7?\?一~_7T?

cosg兀一a)sin(Tt-a)(-sma)xsmasina9

Xy

(2)由2=5=20M.^=log220,=log520,-=log202,-=log205,

xy

2]

所以1+I=21og2o2+k>g2o5=bg2o(22x5)=l.

18.【正確答案】(1)(-U)

(2)(-1,1)U[2A/2,+coj

【分析】(1)一元二次不等式有解問題，借助二次函數(shù)的性質(zhì)即可解得；

(2)根據(jù)已知條件，判斷命題P和命題0—真一假，分類討論即可得到.

【詳解】(1)若命題P為真命題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，A=4-4/>0,

解得故。的取值范圍為(-U)；

(2)若命題9為真，即一元二次方程有兩個負(fù)根，設(shè)為三,力

A=a2-8>0

貝I]<占+%=-。<0,解得°22夜

再?％=2〉0

若命題P和命題9有且只有一個是真命題，則為P真0假或P假0真

當(dāng)P真q假時，

—1<Q<1

有《廠，解得

a<2^2

當(dāng)夕假9真時，

命題?假，則aW-1或命題9為真，貝！JQ22后

因此夕假9真，a>2^2.

綜上，a的取值范圍為后,+可.

19.【正確答案】(1)左=-1

(2)(-log27,-1]

【分析】(1)根據(jù)“X)為偶函數(shù)，由/(-力=/(力求解;

（2）由（1）可求出〃x）,再由/（x）與og2（72T）可得2，+2一-72-1,即

6.（2,:）2-2'-1<0,解不等式即可得出答案.

【詳解】（1）?.?函數(shù)/（x）=log2（4，+l）+履為偶函數(shù)，

f（-x）=/（JC）,即log2（4一，+l）-foc=log?（4*+1）+h，

4*+1

Xx

"2fcr=log2（4'+1）-log2（4+1）=log2=1og24=-2x'

k=—l.

（2）由（1）知，k=-l,

/?=log2（4,+1）-X=log?［亨］=log2伍+2-x）,

不等式/（x）>log2（7-^-1）,等價于log2（2,+2一，"log?（72-1）,

即2x+2-x>l-2x-l>0,

由72-1>0,解得x>-log27,

由2A+2-x>7-2x-l,得6-（2'丫一2'-140,

M0<2v<-,即xV-1,

2

綜上，不等式/（x）2log2（7?2:1）的解集為（-log27,-1］.

20.【正確答案】（1）乃

兀571

（2）--+H,—+,keZ

（3）一|■,百

【分析】（1）利用降募公式等化簡可得"工）二百sinl2x-^,結(jié)合周期公式可得結(jié)

果;

（2）由---F2kji<2x—<—F2kji,kEZ9解不等式可得增區(qū)間;

232

7T

（3）由x的范圍，得出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.

【詳解】（1）f（x）=>/3sinxcosx+3sin2X--

l-cos2x3V3._3.

=—sin2x+3x-----------------=——sin2x——cos2x

22222

—y/3—sin2x------cos2x--x/3sin|2x-----

122JI3,

...函數(shù)“X)的最小正周期7=15.

7T7T7T

(2)由---1-2/CTI<2x—<—+2^TT,keZ

232

JTS71

得----FkuVx?ku-\----,keZ

1212

7TSir

???所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為W++?,keZ.

71571c兀714兀

(3)*.*XG2x—G

3T'T

???/(%)的值域為-

21.【正確答案】(1).=>，{x|0<%<^2>/13}?

4,3%

(2)x=2時，面積最小，13+&^加2).

6

4^/13-x2

【分析】(1)利用已知條件求出了,然后求解函數(shù)的定義域即可.

4V3x

(2)設(shè)圓形鐵片半徑為R,面積S=TTR2,過圓心。作CD的垂線，垂足為￡,交4B

于點尸，連結(jié)。。，求出R的表達(dá)式，然后利用基本不等式求解最小值即可.

【詳解】(1)由題意，利用矩形面積和正三角形的面積公式，

可得S=3-9+"1=屈，整理得了="二二，

又由?.3>0,;.4而-->0,,所以0<工<也屈，

即函數(shù)的定義域為｛x|0<xV亞/J｝，

(2)設(shè)圓形鐵片半徑為R,則面積S=TTR2,

過圓心。作CD的垂線，垂足為E,交于點尸，連結(jié)。。，則

DE=30「=氣

+叁/)=旦2+匹+"1

■4^3}483x26

因為x2>0,由基本不等式，可得

+也+恒＞21"13卡」3+而

R^OD2=—X2

=483x26V483x266

當(dāng)且僅當(dāng)%=*即x=2e（0,g7可時，取等號,

所以圓形鐵片的最小面積為包上乃（cm?）,

6

答：當(dāng)x=2時，所用圓形貼片的面積最小，最小面積為13+.%（cm2）.

6

7T57r

22.【正確答案】（1）（O,：）U（L，兀）

66

（2）。>0或0=一10-4而

【分析】（1）將sinx-l,2sinx分別代入函數(shù)/（x）解析式，得到不等式

2