2024-2025學(xué)年貴州省高二年級(jí)上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年貴州省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共19個(gè)小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知直線1經(jīng)過點(diǎn)尸(T°),0(—2,3),則直線1的斜率為()

。11

A.—3B.---C.3D.一

33

【正確答案】C

【分析】利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得解.

3-0

【詳解】由直線1經(jīng)過點(diǎn)？(—3,0),0(—2,3),得直線1的斜率左=,-=3.

-2一(-3)

故選：C

2.已知集合/={x|x=2k,keZ},B=|x|x=4k+2,keZ},貝“xe/"是"xeB”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分

也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)必要不充分條件的判定方法進(jìn)行判斷.

【詳解】先看充分性：因?yàn)?eZ,但所以“xeZ”不是“xeB”的充分條件；

再看必要性：因?yàn)?左+2=2(2%+1),keZ,所以“xeB”是“xeZ”的充分條件，即

“xe/”是“xe3”的必要條件.

所以“xeZ”是“xe8”的必要不充分條件.

故選：B

已知數(shù)據(jù)為，與的極差為方差為則數(shù)據(jù)占

3.x2,04,2,3+5,3%+5,…，3x20+5

的極差和方差分別是（）

A.4,2B.4,18C.12,2D.12,18

【正確答案】D

【分析】根據(jù)極差和方差的性質(zhì)運(yùn)算可得.

【詳解】新數(shù)據(jù)的極差是原數(shù)據(jù)極差的3倍，所以新數(shù)據(jù)的極差為：4x3=12；

新數(shù)據(jù)的方程是原數(shù)據(jù)方差的32倍，所以新數(shù)據(jù)的方差為.2x32=18

故選：D

4.在正方體48CD-4名G3中，直線8。與平面四所成角的正切值為（）

A.—B.—C.-D.V3

232,

【正確答案】B

[分析]連接4cl交BR于點(diǎn)o,連接08,易證4G1平面BDDB,可得ZQB0為直

線8G與平面803片所成角，設(shè)正方體/BCD-4鳥。13的棱長為。，進(jìn)而結(jié)合勾股定理

及直角三角形中正切函數(shù)的定義即可計(jì)算求解.

【詳解】如圖，連接4G交及。于點(diǎn)。，連接

在正方體ABCD-中，4cl工BR,BBl±平面481G',

因?yàn)椋?平面4AG2，所以8與，4G，

又BB[cB[D]=B[,BB[,BRu平面BDDXBX,

所以4G，平面瓦仍同，

所以ZQBO為直線BQ與平面BDDXBX所成角，

設(shè)正方體ABCD-A[B]ClDi的棱長為a,

6________/7

則BBi=a,OBx=OCX=，則OB=《OBj+BB：=^-a，

4i

—a

tan/CM嗡

在Rt^OBG中,2

V63

—a

2

故選：B.

5.已知函數(shù)/(x)=e*+x,g(x)=lnx+x,〃(x)=??+x的零點(diǎn)分別為。，b,c,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.

c<a<b

【正確答案】B

【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的定義列方程，確定各函數(shù)零點(diǎn)的正負(fù)情況，即可比較

a,b,c的大小.

【詳解】顯然：函數(shù)/a)=e"+x,g(x)=lnx+x,%(x)=/十1在定義域內(nèi)都是增函數(shù),

又f(a)=e"+a=0ne"=—Q>0na<。，

而g(6)=lnb+，=。中的6>。,

令h(c)=c3c=c(c2-^-1^=0=>c=0,

???。，b,。的大小順序?yàn)椋篴<c<b,

故選：B.

6.已知點(diǎn)/(1,0,1),5(3,1,2),C(2,0,3)，則衣在刀上的投影向量為()

224

A.B.D.

3?3?3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)投影向量的求法求得正確答案.

【詳解】^C=（1,O,2）,A8=（2,1,1）,

AC-ABAB4（2,1,1）

所以太在在上的投影向量為

y/~6y/6mi

故選：D

7.若直線加%+/少=1與圓/+/=i有交點(diǎn)，貝u（）

A.m2+n2..lB.nr+n2?1

C.m2+/>1D-ffl2+772<1

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進(jìn)而可以列出不等式.

【詳解】一+「=i的圓心為（o,。），半徑7=1,

|-1|1

圓心（o,o）到直線mx+ny-i=Q的距離d=/,，-=,1，,,

\lm~+n2yjm2+n2

依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，

1,

所以/,24I即病+/21.

7m+n

故選：A

8.已知實(shí)數(shù)%,歹滿足/+/_41_2歹—4=0,則2x—>的最大值為（）

A.3+—B.3+75C.3+36D.12

5

【正確答案】C

【分析】令2x-y=左，利用判別式法即可.

［詳解］令2x-y=左，則y=2x—后，

由X?+「一4x-2y-4=0,

得x2+（2x—左了一4x—2（2x—左）一4=0,

整理得，5x?—（4左+8）x+左2+2左一4=0,

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x滿足等式，

所以△=（4%+8）2—4、5義（左2+2%—4）20,

解得3—3若VkV3+36，

則2x-y的最大值為3+3指，此時(shí)x=2+述，y=\—9.

55

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9,下列命題中的真命題是（）

A.若直線a不在平面。內(nèi)，則a〃a

B.若直線1上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)，貝也〃a

C.若l〃a,則直線1與平面a內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)

D.平行于同一平面的兩直線可以相交

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB錯(cuò)誤，C正確，在長方體中，存在4cl與相交，

且都與平面Z8CD平行，可得D正確.

【詳解】對(duì)于A,直線a不在平面a內(nèi)，直線a也可能與平a交，故A是假命題；

對(duì)于B,直線1與平a交時(shí)，1上也有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面。內(nèi)，故B是假命題；

對(duì)于C,1〃a時(shí)，1與0沒有公共點(diǎn)，所以1與a內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)，故C是真

命題；

對(duì)于D,在長方體ABCD-481GA中，4G與3。都與平面ABCD平行，且4G與相

交，故D是真命題.

故選：CD

23

10.甲、乙兩人各投籃1次，己知甲命中的概率為一，乙命中的概率為一，且他們是否命中相

35

互獨(dú)立，則（）

人A._,1__7

A.恰好有1人命中的概r率為一B.恰好有1人命中的概率為不

2

213

C.至多有1人命中的概率為一D.至少有1人命中的概率為—

515

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式求得正確答案.

22137

【詳解】對(duì)于AB,由題意，恰好有1人命中的概率為一x—+—x—=—，故A錯(cuò)誤，B正

353515

確；

對(duì)于C,至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，

1273

因此至多有1人命中的概率為—x—+—=—,故C錯(cuò)誤；

35155

對(duì)于D,至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，

72313

因此至少有1人命中的概率為一+—x—=—，故D正確.

153515

故選：BD.

11.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任

意兩點(diǎn)z（X],乂），5（X2,J2）的曼哈頓距離為.d（45）=年一%|+|乃一y2\在此定義下以下

結(jié)論正確的是（）

A.已知點(diǎn)片（-1,0）,A（l,0）,滿足d（耳耳）=2

B.已知點(diǎn)0（0,0）,滿足d（。,"）=1的點(diǎn)/軌跡圍成的圖形面積為2

C.已知點(diǎn)耳（—1,0）,7^（1,0）,不存在動(dòng)點(diǎn)/滿足方程：口（機(jī)片）—耳）卜1

D.已知點(diǎn)/在圓。：必+「=i上，點(diǎn)N在直線/：2x+.y—6=0上，則d（M、N）的最小

值為3—好

2

【正確答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)定義計(jì)算即可；

B選項(xiàng)：根據(jù)定義得到1（。,兒。=忖+卜卜1,分類討論xj的正負(fù)得到軌跡圖形，然后求面

積即可；

c選項(xiàng):根據(jù)定義得到a（機(jī)片）-d（MB）|=|k+i|-卜-1||=1，然后利用特殊值的思路判

斷即可；

D選項(xiàng)：根據(jù)幾何的思路得到當(dāng)ON垂直直線/,平行x軸時(shí)，|d（M,片）-最

小，然后求最小值即可.

【詳解】A選項(xiàng)：由題意得4（片,乙）=/1—1|+|0—0|=2,故A正確；

B選項(xiàng):設(shè)6?（0,M）=|0-X|+|0-J|=|X|+|V|=1,

當(dāng)x20,yNO時(shí)，d（O,M）=x+y=1；

當(dāng)x<0,y20時(shí)，d[O,M）=-x+y=\；

當(dāng)x20,y<0時(shí)，d（O,M）=x-y=\；

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，d[O,M）=-x-y=1；

所以點(diǎn)/的軌跡圍成的圖形是以正為邊長的正方形，所以面積為2,故B正確；

C選項(xiàng)：,片）—d）|=卜+1|+卜卜卜一1―1（=|卜+1卜卜一11|=1，當(dāng)》;耳時(shí)，

所以存在M使卜（此耳）-"（可,6）|=1,故c錯(cuò);

D選項(xiàng)；如圖，

過點(diǎn)/作平行于X軸的直線交直線/于點(diǎn)8,過點(diǎn)N作于點(diǎn)Z,d（M,N）表

NA

示M4+N4的長度，因?yàn)橹本€/的方程為2x+y—6=0,所以tan/N&4=2,-=2,

即N4=248,d（M,N）=MA+2AB=MB+AB,

當(dāng)固定點(diǎn)/時(shí)，為定值，此時(shí)45為零時(shí)，d（Af,N）最小，即W平行于久軸，所以當(dāng)

得sinNTNM=工,所以

5

6?。?/p>

d（M,N）=MN=去=3-手，故D正確.

"I-

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=（百+i）（C-5i）的虛部是

【正確答案】-4百

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡z=8-4啟，進(jìn)而結(jié)合虛部的定義求解即可.

【詳解】由z=(也+)(8—5i)=3—56+6—5i?=8—46,

則復(fù)數(shù)z的虛部是—4JL

故答案為4JJ

13.若向量a=/nx+〃y+左z,則稱(加,，㈤為。在基底低少,乞｝下的坐標(biāo).已知向量方在

單位正交基底\a,b,c^下的坐標(biāo)為(3』,3),則存在基底忖-B,3+B,耳下的坐標(biāo)為

【正確答案】(1,2,3)

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得益=31+3+31=(萬—3)+2,+$)+33,

進(jìn)而求得坐標(biāo).

【詳解】由題意，AB=3a+b+3c，

+b+3c=x^a-b^+y[a+b^+zc=(x+y^a+(y-x^)+zc,

x+j=3[x=\

則＜y-x=l,解得＜y=2,

z=3z=3

則45=32+B+3范=(萬一3)+2,+5)+35,

所以存在基底忖-+B,寸下的坐標(biāo)為(1,2,3).

故答案為.(1,2,3)

14.已知某三棱臺(tái)的高為2囪，上、下底面分別為邊長為4百和6祈的正三角形，若該三棱

臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為.

【正確答案】144兀

【分析】求出三棱臺(tái)上下底面正三角形外接圓的半徑，確定球心位置，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)求

出球半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果.

【詳解】依題意，該三棱臺(tái)為正三棱臺(tái)，設(shè)為三棱臺(tái)48C-48]G，如圖,

上底面正△&gG外接圓的半徑是=gx?x4百=4，為正△481G外接圓圓心，

下底面正V4BC外接圓的半徑是Q/=gx*X6百=6，。2為正V4BC外接圓圓心，

由正三棱臺(tái)的性質(zhì)知，其外接球的球心。在直線。1。2上，令該球半徑為R，

于是，火/一4<+[R2-6。=2后，或正-4。7此-6。=2后，解得R?=36，

所以球。的表面積是5=4成2=4兀x36=144兀.

故144兀

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=loga(2+x),g(x)=logfl(2-x)(tz>0,<2*1),H(x)=/(x)-g(x).

(1)求函數(shù)H(x)的定義域A；

(2)實(shí)數(shù)加e/,且7/(加)=2,求7/(-加)的值.

【正確答案】⑴A=(-2,2)

(2)-2

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)有意義求解定義域即可；

(2)結(jié)合(1)可知//(x)=log.(2+x)—loga(2—x),me(-2,2),一掰e(—2,2),進(jìn)而

代值計(jì)算即可.

【小問1詳解】

由題意,H(x)=/(x)-g(x)=loga(2+x)-logfl(2-x),

f2+x>0

由《△八，解得一2<x<2，

[2-x>0

則函數(shù)》(x)的定義域?yàn)?=(-2,2),

【小問2詳解】

由⑴知，H(x)=logfl(2+x)-logfl(2-x),

又加e(—2,2),貝!]一掰e(-2,2),

貝ij/f（加）=log?（2+加）一log”（2—加）=2,

所以H{-m）=loga（2-w）-loga（2+m）=-2

16.記V45c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量3=（sin/,1）,

B=（百,cosZ—2）,其中￡j_g,a=2.

（1）求角A；

（2）若VZ8C是銳角三角形，求VN8C的周長的取值范圍.

7T

【正確答案】（1）—

3

（2）（2+273,6]

【分析】（1）根據(jù)可得￡4=0，結(jié)合A為三角形內(nèi)角，可求角A.

（2）利用正弦定理表示出6+c,結(jié)合輔助角公式和角C的取值范圍，可求6+c的取值范圍,

進(jìn)而求出三角形周長的取值范圍.

【小問1詳解】

因?yàn)?_1_3,所以Q?g=O,

所以百sin/+cosA-2=0n2sin[/+g]=2,

jrjrjr

又A為三角形內(nèi)角，所以N+—=—nZ=—.

623

【小問2詳解】

b_c_a_2_4G

由正弦定理：sin5sinCsinZ.兀3'

sm—

3

所以6=----sin/?,c=------sinC.

33

又V48C是銳角三角形，且/=]，所以3+C=g，且C?

所以

=4sin1C+胃.

因?yàn)樗訡+所以sin(c+?]e[g,l,

162；6U3JI6jI2」

所以b+ce(2百,4],所以VABC的周長.a+b+ce(2+2百,6]

17.設(shè)圓C的半徑為r,圓心C是直線y=2x—4與直線y=x-l的交點(diǎn).

(1)若圓C過原點(diǎn)0,求圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)幺(0,3),若圓C上存在點(diǎn)M,使|M4|=2|MO],求r的取值范圍.

【正確答案】(1)(X-3)2+(J；-2)2=13

(2)[372-2,372+2]

【分析】(1)求出圓C的圓心和半徑，即可求得答案；

(2)先求出點(diǎn)M的軌跡方程，判斷該軌跡和圓C有交點(diǎn)，即可列出不等關(guān)系，求得答案.

【小問1詳解】

y=2x-4[x=3

由已[得｛

y=x-l[y=2.

所以圓心。(3,2),

又：圓C過原點(diǎn)O,=

.??圓C的方程為(X—3)'+3--2)=13.

【小問2詳解】

設(shè)M(xj),由|加川=2|MO|，得信+口―3)2=2折，

化簡得/+(y+l『=4,

...點(diǎn)M在以。(0,-1)為圓心，半徑為2的圓上.

又：點(diǎn)M在圓C:(x-3/+(y--2)2=/上,

故圓/+(y+i)2=4與C：(X—3)2+(J-2)2=r2有交點(diǎn),

.\|r-2|<|CD|<r+2,即卜一2區(qū)3行Vr+2,

即re[3亞-2,3亞+2].

18.如圖，在直三棱柱4BC—481G中，CA=CB=^AA1=1,BCLAC,P為上

的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱Ci。的中點(diǎn).

（1）設(shè)平面48?？谄矫嫒鬚為NR的中點(diǎn)，求證：PQHI；

（2）設(shè)麗=4可，問線段48上是否存在點(diǎn)P,使得4P1平面NR。？若存在，求出實(shí)

數(shù)X的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析；

（2）存在，2=—.

3

【分析】（1）設(shè)4B的中點(diǎn)為E,連接PE,PQ,CE,易證四邊形0EC。為平行四邊形，可

得PQ//EC,進(jìn)而得到PQH平面ABC,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)求證即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量及4P工平面列出方程組求解即可.

【小問1詳解】

證明：設(shè)Z8的中點(diǎn)為E,連接PE,PQ,CE,

因?yàn)镻為NR的中點(diǎn)，Q為C。的中點(diǎn)，

所以PE//4/,PE=^AlA,gC=|ciC,

在直三棱柱4BC—481G中，4，〃。。，Z/=GC,

所以且，/=0C,

所以四邊形PEC0為平行四邊形，

則尸0〃EC,又尸。＜Z平面45C,ECu平面48C,

所以「?！ㄆ矫?BC,

又平面48?？谄矫?8。=/，PQu平面48。，

所以尸?！?.

【小問2詳解】

在直三棱柱48C—481G中，CG，平面NBC,BCLAC,

故可以。為原點(diǎn)，以CB,CA,CCX所在直線分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镃4=CS=L/4=1,

2

所以8(1,0,0),。(0,0,1),4(0,1,2),/(0,1,0),

則可=(-1,1,2),而=(0,-1,-1),^5=(1,-1,0),

又麗=2鳳(OKXVI),貝！|麗=(—2,2,22),

所以方=益+而=(1—42—1,22),

AP-BAX=0

若4Pl平面48。，貝卜

Jp-42=o

(1-2)+2-1+42=0

則《解得2=!，

(2-1)-22=03

所以線段4B上存在點(diǎn)p,使得4Pl平面此時(shí)2=；.

B+c5AB

19.材料：我們把經(jīng)過兩條直線4X+AN+G=O,/2：+i.y2=°（42*ix）

的交點(diǎn)的直線方程叫做共點(diǎn)直線系方程，其交點(diǎn)稱作共點(diǎn)直線系方程的“共點(diǎn)”，共點(diǎn)直線系方

程也可表示為：Axx+Bxy+Ci+X（A2x+B2y+C2）=Q（其中XeR,且該方程不表示乙）.

問題：已知圓M：x2+j2-2x+4j-3=0.求:

（1）求共點(diǎn)直線系方程3x+y+3+2（2x-y+3）=0（2eR）的“共點(diǎn)”P的坐標(biāo);

（2）設(shè)點(diǎn)P為第（1）問中的“共點(diǎn)”，點(diǎn)N為圓M上一動(dòng)點(diǎn)，求|PN|的取值范圍;

（3）若有唯一組非零實(shí)數(shù)對(duì)（%人）滿足關(guān)于實(shí)數(shù)機(jī)的方程:

13a+b+\2a-b+3\

=m.設(shè)過點(diǎn)Q（%-2）