2024-2025學(xué)年北京市昌平區(qū)上學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)期末質(zhì)量測(cè)試卷（含詳解）

昌平區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期初二年級(jí)期末質(zhì)量抽測(cè)

必，，、憶、/▲

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共8頁(yè)，三道大題,28個(gè)小題，滿分100分.考試時(shí)間120分鐘.考生務(wù)必將答案填涂或書寫在答題

卡上,在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)交回答題卡.

一,選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.

1.實(shí)數(shù)16的算術(shù)平方根等于（）

A.2B.±2C.4D.+4

2.《2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》主標(biāo)識(shí)以農(nóng)歷乙巳蛇年中的“巳”為原形,將兩個(gè)“巳”字對(duì)稱擺放，則恰似中國(guó)傳統(tǒng)的如意紋樣,

雙巳合璧，事事如意.二方連續(xù)，四方連續(xù)，是乙巳蛇年與如意之間吉祥曼妙的創(chuàng)意鏈接，更彰顯著中華民族精神根脈生生

不息的時(shí)代力量.下列圖案中,不是軸對(duì)稱圖形的是（）

3.仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于己知角的示意圖，請(qǐng)根據(jù)三角形全等有關(guān)知識(shí),說明作出NCPD=ZAOB的依據(jù)

D.AAS

4.下列各式從左到右變形正確的是（）

%+1_1x+2_1

A.口=1C.

-XX%+33x2+4x+4x+2

5.下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

A.V27B.也D.屈

6.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.13個(gè)人中至少有兩個(gè)人出生月份相同

B.擲一枚骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)一定大于3

C.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心

D.2025年有366天

7.觀察表格中的數(shù)據(jù):

X32333435363738

X21024108911561225129613691444

由表格中的數(shù)據(jù)可知J12.69（）

A.在3.4?3.5之間B.在3.5?3.6之間

C.在35~36之間D.在0.35~0.36之間

8.已知：如圖,在丫43（?中,。，45于點(diǎn)。,比：=凡4。=6,48=0,8=/7,下列結(jié)論中,正確的是（）

①當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，則ZACB=90°.

②當(dāng)ZAG?=90。時(shí)，則a+b=c+/?.

③當(dāng)ZACB=90°時(shí)，則J+）=）.

④當(dāng)ZACB=90°時(shí)，則ab=ch.

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

二,填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

9.若VT。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是.

10.在人人：6（2中八8=八€：,點(diǎn)口在：6（：上（不與點(diǎn)B,C重合）.只需添加一個(gè)條件即可證明AABD取AACD,這個(gè)條件可以

是（寫出一個(gè)即可）

11.某超市舉辦迎新春抽獎(jiǎng)活動(dòng)：不透明箱子中放有8張紅卡,6張黃卡,4張綠卡，每張卡片除顏色外其余均相同.抽到

紅卡得一副春聯(lián)，抽到黃卡得一對(duì)福字,抽到綠卡得一個(gè)燈籠，第一位購(gòu)物者抽得春聯(lián)的可能性大小是—.

12.比較大?。?10__2G.（填”或“=”）

13.如圖，點(diǎn)C在ZAOB的平分線上,CD，OF于點(diǎn)。，且8=2,如果E是射線0A上一點(diǎn)，且OE=4,那么4OEC的面積

是—.

14.如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是80。,那么這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是一.

15.如圖，在VABC中,AB=AC,已知AB=10,A3的垂直平分線交于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,^BCE的周長(zhǎng)等于16,則BC的

長(zhǎng)為—,

16.在跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中，同學(xué)們需要完成制作樂器的任務(wù).小明了解到三分損益法是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的

生律法，包含“三分損一”和“三分益一”兩層含義.“三分損一”是指將原有長(zhǎng)度作3等分而減去其中1份，“三分益一”則是

指將原有長(zhǎng)度作3等分而增添其中1份.我們可以利用三分損益法制作含有宮，商，角，徵，羽五個(gè)音調(diào)的樂器，以基本音“宮”

的管長(zhǎng)a為標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)“三分損一”得“徵”，徵管三分益一”得“商”，商管三分損一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”.若。為18,

則商管的管長(zhǎng)為—，小明用長(zhǎng)度為。的發(fā)聲管制作了若干個(gè)微管,小紅用長(zhǎng)度為C的發(fā)聲管制作了同樣數(shù)量的角管，則2b

C

的值為一.

三,解答題（本題共12道小題，第17-22題,每小題5分，第23-26題,每小題6分，第27,28題,每小題7分,

共68分）

17.計(jì)算：厲+若+道

18.計(jì)算:

5_3

19.解方程:

l-2xx

20.如圖，已知A,B,D,E在同一直線上,AD=BE,BC//EF,ZA=ZEDF，求證：A4BC^ADEF.

T>)xJ-2；x］+l的值.

22.已知,VABC,AB=AC,A￡＞是NA4c的平分線，交8C于點(diǎn)D,點(diǎn)E是上一點(diǎn)，作ZDCF=ZACB,交團(tuán)延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、F.求證：BE=CF.

c

r

B

23.學(xué)校組織同學(xué)們參觀博物館，并為每位同學(xué)租了講解器，同學(xué)們只要帶著講解器靠近文物,講解器中就會(huì)自動(dòng)播放講解

語(yǔ)音.同學(xué)們有90分鐘的時(shí)間選擇自己感興趣的展館參觀，甲組和乙組同學(xué)分別選擇參觀A館和B館,A館的文物比B

館多25個(gè),8館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng)是A館的1.5倍，兩組同學(xué)認(rèn)真地聽完了館內(nèi)所有文物的語(yǔ)音講解,甲組同

學(xué)按時(shí)結(jié)束參觀,乙組同學(xué)提前30分鐘結(jié)束參觀，求A館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng).

24.小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完直角三角形之后，發(fā)現(xiàn)直角三角形中當(dāng)一個(gè)角是30。時(shí),30。角的對(duì)邊等于斜邊的一半，具體探究過

程如下.

己知：如圖1，在VABC中,ZACB=90°,ZBAC=30°.

求證：BC」AB.

2

證明：如圖2,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)使得CD=3C,連接……

圖1圖2

(1)請(qǐng)你按照小明的思路完成證明過程.

(2)小明想設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形的鐘表,鐘面如圖所示，寬為6,長(zhǎng)為2a,23力),且整點(diǎn)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在長(zhǎng)方形的邊上.

A

12

9'03

6

①若2點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B在長(zhǎng)方形的邊上，則AB=.

②若1點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C在長(zhǎng)方形的邊上，則AC=.

25.2024年10月昌平區(qū)舉辦了第二十一屆蘋果文化節(jié)活動(dòng)，小聰和小明在活動(dòng)期間分別購(gòu)買了兩次蘋果,兩次的單價(jià)分

別是元/千克和w元/千克(〃件〃),小聰每次買。元錢的蘋果，小明每次買6千克的蘋果.

(1)當(dāng)。=10時(shí)，小聰兩次購(gòu)買蘋果的總質(zhì)量為(請(qǐng)用含九"的式子表示).

（2）請(qǐng)你分析他們兩次購(gòu)買蘋果的平均價(jià)格誰(shuí)更低（平均價(jià)格=霽詈）.

心J頁(yè).

26.學(xué)習(xí)了等腰三角形，我們知道：在一個(gè)三角形中，等邊所對(duì)的角相等，反過來等角所對(duì)的邊也相等.類比以上內(nèi)容，小

明同學(xué)探究了不相等的邊（或角）所對(duì)的角（或邊）之間存在關(guān)系.如圖1,2,在VABC中，如果那么我們可以

將VABC折疊，使邊AC落在AB上，點(diǎn)C落在A3上的。點(diǎn),折線交2C于點(diǎn)E.

證明：由折疊可得,NADE=/C.

■,ZADE>ZB

:.NC>NB

因此可得結(jié)論，在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等,那么所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)角較大.

【探究結(jié)論】

（1）類似地，用下面的方法，證明此命題的逆命題：

“在一個(gè)三角形中，如果兩角不等,那么所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)邊較大”

已知：在VABC中,NACB>NB.求證：AB>AC.

如圖3,小聰?shù)乃悸肥牵涸贜ACB內(nèi)部作……

證明：

【應(yīng)用結(jié)論】

（2）在三角形ABC中,AB>AC,A￡）平分/BAC,點(diǎn)E為AC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合），連接BE,交AD于點(diǎn)

F.求證：BF>FE.

27.己知VABCjCB=90°,ZA=60。,點(diǎn)。是直線A3上一點(diǎn)，連接CD,以C￡>為邊作等邊三角形CDE,使點(diǎn)E在CD上

側(cè)，點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，且AF=AC,連接EF,EB.

⑴如圖1,補(bǔ)全圖形，則NDFE=

⑵過點(diǎn)E作EG，,交A8于點(diǎn)G.

①如圖1,用等式表示線段DG,ERAS之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在54的延長(zhǎng)線時(shí),直接寫出線段DG,EF,48之間的數(shù)量關(guān)系.

28.在代數(shù)式的學(xué)習(xí)中,在一定范圍內(nèi)當(dāng)尤的值變化，含x的代數(shù)式的值也在變化，給出如下定義：若尤值增大時(shí)，代數(shù)式值

也增大，我們叫做“增值代數(shù)式"，若x值增大時(shí),代數(shù)式值減小，我們叫做“減值代數(shù)式”.

⑴下列代數(shù)式中，當(dāng)l<x<9是"增值代數(shù)式”的是.

①-x+2②/-I③&@—

X

(2)當(dāng)x</時(shí),代數(shù)式尤2-2x+1是“減值代數(shù)式”.

①寫出一個(gè)r的值/=.②f的取值范圍是.

(3)關(guān)于尤的代數(shù)式知=生產(chǎn)量3,若2—3VXV2/-1時(shí)，代數(shù)式/是“增值代數(shù)式”,2r+2WxW2r+5時(shí),代數(shù)式M

x-2tx+1

是“減值代數(shù)式”，求t的取值范圍.

1.c

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，即可求解.

【詳解】解：16的算術(shù)平方根為癡=4.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求算術(shù)平方根，熟練掌握一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，其中正的平方根稱為這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是

解題的關(guān)鍵.

2.B

【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，

這條直線叫做對(duì)稱軸，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A,是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

B,不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)符合題意.

C,是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

D,是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

3.A

【分析】本題考查了作圖一基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，由作圖可得。6=9,0"=M,3〃=^^,得出

△OGH%PMN（SSS）,即可得解.

【詳解】解：由作圖可得：OG=PM,OH=PN,GH=MN.

：.AOGH學(xué)APMN（SSS）,

：.ZCPD=ZAOB.

故選：A.

4.C

【分析】本題考查分式的性質(zhì)，利用分式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.2=工原選項(xiàng)變形不正確，則A不符合題意.

-XX

B.二一]原選項(xiàng)變形錯(cuò)誤，則B不符合題意.

%+33

x+2x+21

C—^=面了=二5,變形正確，故選項(xiàng)c符合題意?

D.=[,原選項(xiàng)變形錯(cuò)誤，則D不符合題意.

故選：C.

5.D

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可求出答案.

【詳解】解：A,原式=3石，不是最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式，故A不符合題意.

B,原式=3,不是最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式，故B不符合題意.

C,原式=變，不是最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式，故C不符合題意.

2

D,后是最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式，符合題意

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用最簡(jiǎn)二次根式的定義,本題屬于基礎(chǔ)題型.

6.A

【分析】本題考查的是必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件的概念.根據(jù)必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件的概念對(duì)各個(gè)選項(xiàng)

進(jìn)行判斷即可，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.

【詳解】解：A,13個(gè)人中至少有兩個(gè)人出生月份相同是必然事件，因?yàn)橐荒暧?2個(gè)月,13個(gè)人即使平均分配12個(gè)月，還

會(huì)多一個(gè)人,故是必然事件，符合題意.

B,擲一枚骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)一定大于3是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意,.

C,射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意.

D,2025年有365天，故為不可能事件,不符合題意.

故選：A.

7.B

【分析】本題考查了估算無理數(shù)大小，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得1269的平方根在35到36之間，進(jìn)而可得12.69的平方根在

3.5到3.6之間.

【詳解】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得1269的平方根在35到36之間.

11269V1269

:J12.69=

\7oo~10

/.J12.69在3.5~3.6之間.

故選：B.

8.C

【分析】本題考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面積，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面積法得到(浦=；#7進(jìn)行求解.

【詳解】解：①當(dāng)aZ+bJc?時(shí)，則NACB=90。,正確，故①符合題意.

②當(dāng)ZACB=90°時(shí),S8ABe=J，則ab=ch.

*.*=a2+b2+lab=c2+2ch,(c+=c2+2ch+/z2.

4+/?=C+/l不成立，故②不符合題意,④符合題意.

③*.*CD_LAB于點(diǎn)D,BC=a,AC=b,AB=c,CD=h.

+Z?2=c2,—ab——ch.

22

c^b1=c1!^.

2

?c=1

,,西F

.a2+b2_1

,,刀F二￡

?,.\+g=A做④正確，符合題意.

二.正確的有①③④.

故選：C.

9.x>3

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)及二次根式有意義的條件，熟練掌握實(shí)數(shù)的性質(zhì)及二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵，因此

此題可根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)”可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：x-3>0.

/.x>3.

故答案為x23.

10.ZBAD=ZCAD（或BD=CD）

【分析】證明AABDGAACD,已經(jīng)具備A3=AC,AD=AT>,根據(jù)選擇的判定三角形全等的判定方法可得答案.

【詳解】解：■.■AB=AC,AD=AD,

要使AABD/AAC￡）,

則可以添加：ZBAD=ZCAD.

此時(shí)利用邊角邊判定：AABD^AACD,

或可以添加：BD=CD,

此時(shí)利用邊邊邊判定：^ABD^ACD,

故答案為：NBAD=NCAD或（3￡）=CD）

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定，屬開放性題，掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵.

11.1

9

【分析】本題考查的是概率公式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

直接利用概率公式求解即可.

【詳解】解：由題意得,第一位購(gòu)物者抽得春聯(lián)的可能性大小是丁

8+6+49

4

故答案為：—■

12.<

【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)可得=g，再比較大小即可.

【詳解】解：：2石=屈.

/.而<273.

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

13.4

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.作CFJ_Q4于點(diǎn)

足根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到C尸=8=2,再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，作Cr_LQ4于點(diǎn)F.

?.?點(diǎn)C在ZAOB的平分線上,CDVOB.

：.CF=CD=2.

???5AO￡C=1O￡-CF=1X4X2=4.

故答案為：4.

14.80°或20°

【分析】題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，在計(jì)算等腰三角形有關(guān)邊，角的問題時(shí)，要注意利用分類討

論的思想進(jìn)行全面討論.此類題目考查基本知識(shí)的同時(shí)，樹立分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況求出這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)即可.

【詳解】解：若80。的內(nèi)角是該等腰三角形的頂角,則頂角度數(shù)為80。.

若80。的內(nèi)角是該等腰三角形的一個(gè)底角，則根據(jù)等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，可知頂角的度數(shù)

為：180°-80°x2=20°.

故答案為：80?；?0。.

15.6

【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)

的距離相等可得AE=班,然后求出ABCE的周長(zhǎng)=AC+3C,然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】解：???￡>￡是線段A8的垂直平分線.

/.AE=BE.

ABCE的周長(zhǎng)=BE+CE+3C=AE+CE+3C=AC+.

3c=16—10=6.

故答案為：6.

27

16.16—##0.84375

32

【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.根據(jù)題意可得商管的管長(zhǎng)為

“'11-；411+￡|,再把"=18代入計(jì)算即可,根據(jù)題意分別求出仇0,進(jìn)而可得答案,

【詳解】解：根據(jù)題意得,商管的管長(zhǎng)為jx[l+j=|a.

QQ

當(dāng)a=18時(shí),一〃=—xl8=16.

99

??c64〃32-

81

27

故答案為：16,萬.

17.3

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)二次根式,掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

先計(jì)算乘除法,再合并同類二次根式即可.

【詳解】解：原式=26-石+3-石

=3.

1

18.

x+y

【分析】首先把兩分式通分化為同分母分式后，再按照分母不變，分子相加減的法則計(jì)算.

x+y

【詳解】解：原式=

(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)

x+y_2y

(x+y)(x-y)

(x+y)(x_y)

]

x+y?

【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減運(yùn)算，熟練掌握異分母分式的加減法則是解題關(guān)鍵.

3

19.x=一

11

【分析】本題主要考查解分式方程,將方程去分母化為整式方程，解整式方程求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：二5-二工3

l-2xx

去分母得,5x=3(l-2%)

3

解得

3一

檢驗(yàn)：當(dāng)x=石■時(shí),x(l-2%)w0.

所以原分式方程的解是％=不3

20.見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定,平行線的性質(zhì)，熟練掌握幾種全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

先由平行得到ZABC=々,再由ASA即可證明.

【詳解】證明：?.?AT>=BE.

:.AD-BD=BE-BD^AB=DE.

\BC//EF.

：.ZABC=ZE.

在VABC和ADEF中.

ZA=ZEDF,

<AB=DE,

ZABC=ZE,

/.△ABC^ADEF(ASA).

]￡

21.

+x，4

【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn),再把已知條件變形為化簡(jiǎn)算式可以利用的形式后代入求解即可.

【詳解】解：原式=」T丁7

x~lx—2,x+1

1d)2

x-1x(x+l)(x-l)

1

-2

X+X

由已知可得：x2+x=4.

把上式代入經(jīng)化簡(jiǎn)后的原式可得原式=5.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)與求值，熟練掌握分式的運(yùn)算方法與整體代入的思想方法是解題關(guān)鍵.

22.證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確證明全等是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

證明出ABDE空/\CDF(ASA)即可.

【詳解】證明：-：AB=AC.

:.ZACB=ZABC.

QZDCF=ZACB.

:.NEBD=NFCD.

???AB=AC,AD平分NBAC.

BD=DC.

在VBDE和VCD歹中.

ZBDE=ZCDF,

<BD=CD,

ZEBD=ZFCD,

ABDE也ACDF(ASA).

:.BE=CF.

23.A館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng)為2分鐘.

【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用,正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

設(shè)A館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng)為x分鐘，則B館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng)為1.5x分鐘，根據(jù)A館的文物比B館

多25個(gè)建立方程即可.

【詳解】解：設(shè)A館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng)為x分鐘.

則8館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng)為1.5x分鐘.

根據(jù)題意，得9025=9券0-產(chǎn)30,解得：x=2.

經(jīng)檢驗(yàn),x=2是所列方程的解,并且符合實(shí)際問題的意義.

答：A館平均每個(gè)文物的講解語(yǔ)音時(shí)長(zhǎng)為2分鐘.

24.(1)見解析

(2)①3代,②百

【分析】(1)延長(zhǎng)5。至點(diǎn)使得CD=5C,連接AP,證明△ACB之△ACD(SAS)，再證明.ADB是等邊三角形，即可求證.

(2)①應(yīng)用結(jié)論,2點(diǎn)時(shí),ZAO3=60。,則Z4BO=30。,故05=249=6,那么有勾股定理求解即可,②應(yīng)用結(jié)論，

ZAOC=30°,OC=2AC則由勾股定理得,(2AC)2-AC2=32,解方程即可.

【詳解】(1)證明：延長(zhǎng)3C至點(diǎn)。，使得CD=BC,連接4),如上圖2.

?.?ZACB=90°,ABAC=30°

???ZB=90?！狝BAC=60°,ZACD=180?！猌ACB=90°.

???ZACD=ZACB.

在"CB和△ACD中.

BC=CD

<ZACB=ZACD.

AC=AC

???△ACB也△ACD(SAS).

AD=AB.

**?△ADB是等邊三角形.

/.AB=BD.

,/BC=CD=-BD.

2

BC=-AB.

2

(2)解：①如圖，當(dāng)2點(diǎn)在寬邊上時(shí)，依據(jù)題意,ON=a,/BON=30。.

OB=2BN.

：.OB1-BN2=(2BN§-BN2=3BN2=ON2=a2.

?.?長(zhǎng)為2a"3⑹.

BN23,這與題意矛盾，故該情況不成立.

A

9斤二......弓N

6

如圖，當(dāng)B點(diǎn)在長(zhǎng)邊上時(shí).

4B

■

9廠3加

6

360°

2點(diǎn)時(shí),NAOB=-^-*2=60。.

由題意得,NQW=90。.

ZABO=90°-ZAOB=30°.

OB=2AO=2x3=6.

'AB=y/OB2-AO2=30-

故答案為：35/3.

②由上題知2點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在長(zhǎng)邊上，故1點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在長(zhǎng)邊上,如圖.

AC

~12~

963

6

1點(diǎn)吐ZAOC=30。,而Q4_LAC

JOC=2AC.

OC2-AC2^AO2.

：.(2ACf-AC2=32.

解得：AC=6（舍負(fù)）.

故答案為：B

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練

掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

cl10m+10n

25.（1）-------------

mn

（2）小聰兩次購(gòu)買蘋果的平均價(jià)格更低，見解析

【分析】本題主要考查了用代數(shù)式表示式以及異分母異分子的大小比較，分式的混合運(yùn)算的應(yīng)用.

（1）由費(fèi)用+單價(jià)=數(shù)量分別表示小聰兩次購(gòu)買蘋果的質(zhì)量，再相加即可.

2a,,

--------hin+hu

（2）小聰兩次購(gòu)買蘋果的平均價(jià)格：〃,小明兩次購(gòu)買蘋果的平均價(jià)格：一^,然后作差，化簡(jiǎn)比較.

一十—2b

mn

【詳解】（）解：當(dāng)時(shí)，小聰兩次購(gòu)買蘋果的總質(zhì)量為電生土也

ia=io3+3=（千克）.

mnmn

10m+10n

故答案為:

mn

2a_2mn

（2）解：小聰兩次購(gòu)買蘋果的平均價(jià)格：嬴吃

mn

bm+bn_m+n

小明兩次購(gòu)買蘋果的平均價(jià)格:

2b2

2mnm+n_4mn-(m+nf4mn-(^m2+2mn+n2j-m2+2mn-n2-(m-n)2

機(jī)十幾22(m+n)2(m+n)2(m+n)2(m+n)

/.2(m+n)>0,-(m-n)2<0.

2(m+n)

.2mnm+n八

??-----------------<0.

m+n2

.2mnm+n

??<.

m+n2

二小聰兩次購(gòu)買蘋果的平均價(jià)格更低.

26.［探究結(jié)論］證明見解析,［應(yīng)用結(jié)論］證明見解析

【分析】［探究結(jié)論］可得0c=,由AD+OC>AC得到AD+>AC,即可證明.

［應(yīng)用結(jié)論］在A8上截取AG=AE,連接Gb,證明AG4F絲AE4尸（SAS）,再運(yùn)用結(jié)論證明.

【詳解】［探究結(jié)論］

證明：vZBCD=ZB.

:.DC=DB.

AD+DC>AC.

:.AD+DB>AC.

:.AB>AC.

［應(yīng)用結(jié)論］

證明：在AB上截取AG=AE,連接GF.

:.ZGAF=ZEAF.

■.-AF^AF.

.-.AG4F^AE4F(SAS).

:.FG=FE,ZAGF=ZAEF.

NBGF=ZCEB.

■.■ZCEB>ZABE.

Z.BGF>ZABE.

:.BF>FG.

:.BF>FE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的三邊

關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，正確運(yùn)用結(jié)論，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

27.(1)120

⑵①AB=2DG+EF,?AB=2DG-EF

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)先補(bǔ)全圖形，可得AAFC為等邊三角形，證明△ACDZAFCE(SAS),再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)

求解.

(2)①連接3ECF,先證明△ACF為等邊三角形，再證明AACD%FCE,ABFE知CFE(SAS),則BE=CE,故BE=DE,

再根據(jù)等腰三角形的三線合一求證，②先補(bǔ)全圖形，證明同①即可.

【詳解】(1)解：補(bǔ)全圖形,如圖.

B

?.?AF=AC9ZA=60°.

???△AFC為等邊三角形.

.?.CA=CF,ZACF=ZAFC=60°.

??,等邊三角形COE

.??CD=CE,/DCE=6U0.

：.ZACD=ZFCE.

???△ACD均方CE(SAS).

：.ZEFC=ZA=60°.

：.ZDFE=ZAFC+ZEFC=600+60°=120°.

故答案為：120.

(2)解：①AB=2DG+EF,理由如下.

證明：連接3瓦CF

ZACB=90°,ZA=60°.

JZABC=30°

\9AF=AC.

???△Ab為等邊三角形.

JZACF=ZAFC=60°.

：.ZFCB=30°.

：.ZABC=ZFCB=30°.

：.FB=FC.

??,△C/汨為等邊三角形.

???CD=CE=DE,/DCE=60。.

：.ZACD=ZECF.

:.AACD'FCE.

：.AD=EF,ZCFE=ZA=60°.

：.ZBFE=