2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章+圓錐曲線的方程B卷（含解析）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測評卷

第三章圓錐曲線的方程

B卷培優(yōu)提能過關(guān)卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的

1.已知點耳（-1,0）,區(qū)（1,0）,動點尸到直線尤=2的距離為d,怛圖=[,貝IJ（）

A.點P的軌跡是圓B.點尸的軌跡曲線的離心率等于g

C.點P的軌跡方程為]+『=1D.的周長為定值40

22

2.點尸在雙曲線二-9=1（°>0,10）上，小乙是雙曲線的兩個焦點，月=90,且△甲風(fēng)的三條

ab

邊長滿足2|/蜀=|尸國+閨閶，則此雙曲線的離心率是（）

A.y/2B.73C.2D.5

22

3.已知橢圓C:=+馬=l（a>6>0）的左右焦點為耳與，若橢圓C上恰好有6個不同的點，使得用后尸為

ab

等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.（,）B,（11）c.另也|）D.另嗎1）

22

4.已知雙曲線3-斗=1（。>0*>0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過尸?且斜率為-1的直線與其左支交于

ab

/、FE￡P(guān)PF「PF,?i2

點尸，若存在4（0<4<l）,使鳥。=九鳥尸，4Q?5P=0,且不m-------\P^T'lQ'，則雙曲線的離心

率為（）

A.73+1B.72C.73D.72+1

22

5.已知耳、尸2分別是雙曲線C:=-2=l（。>0,6>0）的左、右焦點，雙曲線C的右支上一點。滿足

ab

\OQ\=\OFl\,直線耳。與該雙曲線的左支交于尸點，且尸恰好為線段與。的中點，則雙曲線C的漸近線方

程為（）

A.y=土;xB.y=±2xC.y=±2A/3XD.y=+3^2x

6.已知直線==動點尸在橢圓*+*=1（。>匕>0）上，作尸加〃乙交乙于點〃，作

22ab

PN/〃2交《于點N.若1PMf+|PN「為定值，則（）

A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b

22

7.設(shè)A是雙曲線1=1（。>0/>0）在第一象限內(nèi)的點，/為其右焦點，點A關(guān)于原點。的對稱點為8,

且4，2\FA\<\FB\<4\F^,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

8.已知不F?是雙曲線或橢圓的左、右焦點，若橢圓或雙曲線上存在點P,使得點歸耳|=2|「叫，且存在

△Pg,則稱此橢圓或雙曲線存在點”，下列曲線中存在“O點''的是（）

C.x2-y2=-D.16X2--^=1

215

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分

r22

9.設(shè)橢圓工+匕=1的右焦點為F,直線y=m（0<m<正）與橢圓交于A,B兩點，下列結(jié)論正確為

93

（）

A.|AF|+|BF|為定值

B.AABF的周長的取值范圍是[6,12]

C.當(dāng)1!1=走時，AABF為直角三角形

2

D.當(dāng)m=l時，AABF的面積為6.

10.設(shè)/為雙曲線C:=l（4>o,b>o）的右焦點，。為坐標(biāo)原點，以O(shè)尸為直徑的圓M與圓O：

x2+V=/交于尸，。兩點，若戶0=口目，則下列選項正確的是（）

A.曲線C的離心率為近

B.圓心M到雙曲線C的漸近線的距離為缶

C.PQ所在直線方程為尤=叵

2

D.直線PQ被雙曲線的漸近線截得的線段長為亞a

22

11.已知耳，居分別為雙曲線,一斗=l（a>0,b>0）的左右焦點，A，4分別為其實軸的左右端點，且

ab

閨工|=?,點P為雙曲線右支一點，/為△尸久居的內(nèi)心，則下列結(jié)論正確的有（）

A.離心率e=&+l

B.點/的橫坐標(biāo)為定值“

C.若S./pG=S,FE+XS./4瑪（2eR）成AL,則2=5/^-1

D.若PH垂直工軸于點H,貝

12.已知拋物線E:/=4y的焦點為/，圓。:_?+（了_1）2=16與拋物線E交于A,3兩點，點尸為劣弧A8

上不同于A,8的一個動點，過點尸作平行于y軸的直線/交拋物線E于點N,則（）

A.點尸的縱坐標(biāo)的取值范圍是（2班,5）

B.PN+NF等于點P到拋物線E的準(zhǔn)線的距離

C.圓C的圓心到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為2

D.P/W周長的取值范圍是（8,10）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知拋物線C：_/=4x的焦點為F,在C上存在A.B兩點滿足罰'=3筋，且點A在x軸上方，以A

為切點作C的切線1,1與該拋物線的準(zhǔn)線相交于點M,則點M到直線AB的距離為.

14.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1過拋物線y2=4x的焦點F,且與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A

在x軸上方.若直線1的傾斜角為60。，則△OAF的面積為.

2222

15.已知橢圓C|：=+當(dāng)=1（。>>>0）與雙曲線C?：^-2-=1（?>0,">。）有相同的焦點耳，F(xiàn)2,

其中可為左焦點，點P為兩曲線在第一象限的交點，與，e?分別為曲線G，Q的離心率，若工是以

尸耳為底邊的等腰三角形，則/-q的取值范圍為.

16.如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為20厘米，底面半徑為2厘米.球筒的上底和下底分別粘有一個

乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計）.一個平面與兩乒乓球均相切，且

此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

22

17.己知①如圖，長為2班，寬為;的矩形ABCD,以A、8為焦點的橢圓M:=+與=1恰好過C〃兩

2a2b2

點.

②設(shè)圓（尤+石）2+y2=i6的圓心為S,直線/過點7（班,0）,且與x軸不重合，直線/交圓S于C,。兩點，過

點T作SC的平行線交SD于M，判斷點M的軌跡是否橢圓.

（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓河的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)（1）所得橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，過橢圓M右焦點F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線I交橢圓PQ兩點，

在x軸上是否存在點G,使得G尸恰為NPGQ的平分線？

22

18.已知橢圓石:多=1（〃＞匕〉0）經(jīng)過點4（—2,0）,4（2,0）,點3為橢圓E的上頂點，且直線Ad與直

線2x+島=0相互垂直.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若不垂直了軸的直線/過橢圓E的右焦點F2,交橢圓于CD兩點（C在x軸上方），直線AC4D分別

OS1

與y軸交于S,T兩點，。為坐標(biāo)原點，求證：—

22

19.已知橢圓G:二+二=1(。>b>0)的右焦點F與拋物線Q的焦點重合，G的中心與a的頂點重合.過F

ab

4

且與X軸重直的直線交C1于A,B兩點，交C2于c,D兩點，且|a>|=]|A2|.

(1)求G的離心率；

(2)若的四個頂點到C?的準(zhǔn)線距離之和為6,求G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

20.己知直線/：2x-y-4=。與x軸交于點E,且。戶=也，其中。為坐標(biāo)原點，產(chǎn)為拋物線。：

=2px(p>。)的焦點.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若直線/與拋物線。相交于P,8兩點(尸在第一象限)，直線上4,PC分別與拋物線相交于A,C兩

點(AC在p的兩側(cè)),與x軸交于。，G兩點，且E為DG中點，設(shè)直線RI,PC的斜率分別為尤，k2,

求證：；為定值；

(3)在(2)的條件下，求P3C的面積的取值范圍.

21.如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已

知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100m,俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40m,

如巫m,30m,試根據(jù)上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（m為長度單位米）；

7

俯視圖

22.已知雙曲線0，一）=1（°>0,6>0）經(jīng)過點42，￥，兩個焦點為K（一2,0）,月（2,0）.

（D求C的方程;

3

x=—

⑵設(shè)尸（%%）（%*°）是c上一點，直線/：%尤-。2%>一/=0與直線彳=2相交于點此與直線

2相

交于點N,證明：當(dāng)P點在C上移動時，.用為定值，并求此定值

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的

1.已知點耳(-1,0),月(1,0),動點尸到直線x=2的距離為d,怛型=無，貝IJ()

d2

A.點P的軌跡是圓B.點尸的軌跡曲線的離心率等于3

C.點P的軌跡方程為］+y2=lD.的周長為定值40

【答案】C

【解析】

解：點々(TO),8(1，。)，動點尸到直線x=2的距離為d,3=交，

a2

設(shè)動點p的坐標(biāo)為(羽y),可得：J/ii=￡

|2-x|2

化簡得點P的軌跡方程為—+/=1,

2

所以尸的軌跡是橢圓，所以A錯誤，C正確；

離心率為：昱,所以B不正確；

2

△PK工的周長為定值：2a+2c=2+20，所以D不正確；

故選：C.

22

2.點尸在雙曲線=-3=1(°>0,6>0)上，小瑞是雙曲線的兩個焦點，ZFPF=90,且△耳尸鳥的三條

abt2

邊長滿足2|尸耳|=|尸耳+國閶，則此雙曲線的離心率是()

A.yfiB.s/3C.2D.5

【答案】D

【解析】

設(shè)點/在雙曲線的右支上,則忸周-忸4=2匹國閶=2c,

因為2|尸耳|=|尸閶+|耳蜀,所以忸耳|=2c-2a,\PF^=2c-4a,

因為N￡P(guān)B=90,所以△甲遲是直角三角形，所以山制和「=閨聞2=公2

所以（2c—2。）~+（2c—4"y=4c?,即c2—6ac+5a2=0,

所以e?-6e+5=0,解得：e=5或e=l(舍),

所以此雙曲線的離心率是5,

故選：D.

尤2J

3.已知橢圓C:=l(a>6>0)的左右焦點為耳月，若橢圓C上恰好有6個不同的點，使得./名尸為

等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.（；,|）B,（1,1）c.D?（；,；）。（；,1）

【答案】D

【解析】

顯然，P是短軸端點時，|尸耳|=|尸耳|,滿足月月尸為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限

內(nèi)各有一個，

設(shè)P（x,y）是第一象限內(nèi)使得片工尸為等腰三角形的點，

f22

工+匕=1

若忸耳IT4聞，則1,又消去〉整理得：

J（X+C）2+y2=2c

224a2aca+2ac

cx+2〃cx_4a2c2+a=0,解得x=~'-（舍去）或尤=~',

cc

同0<x<a得0<一"一+2"°<。,所以!<￡<i,即1<e<l,

c2a2

f22

工+匕=1

若|尸引=|耳聞，則q.，又/=廿+。2,消去y整理得：

J（X-C）2+y2=2c

22224+2ac

cx-2a2cx-4ac+?=0,解得x=dZ型或無=,

cc

/+2acA.

-------〉。舍去.

c

所以0<,<片—2*,所以:<￡<<，即:<e<<，

c3a232

e=:時，a=2c，△「片鳥是等邊三角形，P只能是短軸端點，只有2個，不合題意.

綜上，e的范圍是（；,；）口（；,1）.

故選：D.

22

4.已知雙曲線5-斗=1（。>0*>0）的左、右焦點分別為月，尸2,過尸2且斜率為T的直線與其左支交于

ab

/、.FRFPPFjPF,?i2

點P,若存在4（0<4<1）,使乙。=九鳥尸，耳QBP=0,且下m-----\P^T'lQ'，則雙曲線的離心

率為（）

A.73+1B.y/2C.V3D.72+1

【答案】D

【解析】

存在2（0＜幾＜1）,使區(qū)。=4&P,說明Q為線段PF?上的點，￡。?區(qū)尸=0說明GQJ■耳尸，即/片。耳為

直角，過F?且斜率為-1的直線與其左支交于點尸，說明NQ入耳=45。，所以△片。鳥為等腰直角三角形,

所以。在y軸上,

爺才，是FE在FP上的投影,

2是在「月上的投影，

冏I

F,F「F,pPFPFII2

分別是線段尸。和Q8的長度，qj-r――謀X『2=/。|,

說明|PQ||Q閶=|煌2|2,.?.|尸0=|耳口,；小耳。工名/\/。尸,

.?.△尸用鳥為等腰直角三角形,

雙曲線的離心率為e=（=^j=&+l,

故選：D.

22

5.已知耳、尸2分別是雙曲線c：，-「=l（。＞0/＞0）的左、右焦點，雙曲線C的右支上一點。滿足

ab

耳I，直線耳。與該雙曲線的左支交于P點，且P恰好為線段耳。的中點，則雙曲線C的漸近線方

程為()

A.y=i—xB.y=±2xC.y=+2A/3XD.y=+3A/2X

【答案】C

【解析】

依題意，令|。。|=|?！﹟=|。8|=。，則有。耳1_。乙,

令|。8|=2乙由雙曲線定義得I。片l=2a+2t,而點P是QFi中點且在雙曲線左支上，則

|PQ|=|PFX\=a+t,\PF2\=3a+tf

在M尸26中,在。|2+|。乃|2=|尸招『,即3+/)'+(2/)2=(3。+十2,解得f=2a,則IQ叫l(wèi)=4a,\QF,\=6a,

在用片。耳中，IQG"lQg|2=WB|2,BP36a2+16a2=4C2，c2=13a2,于是得^=12],-=273,

a

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2&x.

故選：C

6.已知直線小了=一（x,l,-.y=^x,動點尸在橢圓*+《=1（。>/,>0）上，作尸射〃4交4于點M，作

PN//4交4于點N.若1PM2+|PN「為定值，則（）

A.ab=2B.ab-3C.a-2bD.a-3b

【答案】C

【解析】

如圖所示：

易知由四邊形OMPN是平行四邊形，

所以+|PN『+|ON『為定值,

y=；（x-、[a

取點尸g,o）時，由「,解得

y=——x

12，=一

所以由對稱性得：

所以|QW「+|0N「=*a2,

8

’17

y=—x+bx=-b

取點尸（0,6）時，由',解得＜b，

V=——X1y=2—

[2

v/,

所以由對稱性得：/

所以|OM『+|ON『=gb2,

所以|?2=1/>2,

即Q=2Z?,

故選：c

22

7.設(shè)A是雙曲線斗-斗=1（。>（）涉>0）在第一象限內(nèi)的點，廠為其右焦點，點A關(guān)于原點。的對稱點為5,

ab

且2\F^<\FB\<4\FA\,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

【答案】C

【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點為耳，設(shè)44耳尸=口,

則根據(jù)題意得tano=AF^=聲AF七「1,51

則雙曲線的離心率為

_2c_JAF°+BF?_Jl+tan2a

2aBF-AF1-tana

令x=tma,XE

易知三在單調(diào)遞增,

l—xl_4Z_

故選：c.

8.已知月、F?是雙曲線或橢圓的左、右焦點，若橢圓或雙曲線上存在點尸，使得點|「耳|=2|尸耳|,且存在

則稱此橢圓或雙曲線存在點”，下列曲線中存在點''的是()

APFXF2,“o“O

C.x2-y2=-D.16X2-^^=1

215

【答案】C

【解析】

22

對于A選項，—+—=1,4(-1,0)、Fo(1,0),a-6,所以a+c=7,a-c-5,

3635

尸到焦點距離的最小值為5,最大值為7,

....fPF.=2\PF,2\,,8

假設(shè)存在點尸，滿足|幽|=2|尸閭，則二'p|'解得P閶=；,不合乎題意，

［尸々+|廠生|=￥3

所以A選項中的橢圓不存在點”；

22

對于B選項，-^?+^?=1,耳(-1,0)、F2(1,0),。=4,所以a+c=5,a-c=3,

尸到焦點距離的最小值為3,最大值為5,

假設(shè)存在點尸，滿足|幽|=2|尸閭，則'1，解得不合乎題意，

［尸勺+|廠生|=￥3

所以B選項中的橢圓不存在“。點”；

對于C選項，雙曲線的方程為1一1=1,則雙曲線的兩個焦點為4(-1,0)、月(1,0),4=土，c=l,

222

若雙曲線上存在點P,使得點尸到兩個焦點的、F?的距離之比為2:1,

|阿|=2|*_可得怛閶=忘＞1-*,

“閥叫=五

即雙曲線尤2-y2=3存在“。點”；

匚1153

對于D選項，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為了一克一，則a="c=l,￡(-1,0)、鳥(1,0),所以a+c=jc-a=；,

16164

若雙曲線上存在點尸，使得點尸到兩個焦點的、居的距離之比為2:1,

則閥H明」‘解得附匕.

、2

所以D選項中的雙曲線不存在“。點”.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分

9.設(shè)橢圓工+匕=1的右焦點為F,直線y=m(0＜m＜君)與橢圓交于A,B兩點，下列結(jié)論正確為

93

()

A.|AF|+|BF|為定值

B.AABF的周長的取值范圍是[6,12]

C.當(dāng)1!1=走時，AABF為直角三角形

2

D.當(dāng)m=l時，AABF的面積為述.

【答案】ACD

【解析】

設(shè)橢圓的左焦點為尸，則IA尸1=13尸I

|AF|+|班＞|AF|+|AF'|=6為定值,A正確;

22

由橢圓土+上=1,可得。=3,則2a=6,

93

因為。〈根＜石，所以IABI的取值范圍是(0,6),

一AfiP的周長為lABI+IAfl+IB用，因為|A/q+|8可為定值6

的周長的范圍是(6,12),B錯誤;

將y=￥史烏8(孚亭

與橢圓方程聯(lián)立，可解得A(-

又：尸(癡,0),

AF.BF=(^6+^,-^].(46-^,-^

\227\22)

[73A/3V/T-3上13

=V6+-—V6一一—+-=0,所以尸

I2八2J4

???么鉆尸是直角三角形，C正確；

將y=l與橢圓方程聯(lián)立，解得8(跖1),S神=gx2"xl=",D正確.

故選：ACD.

10.設(shè)下為雙曲線C：T-、=l（a>0力>0）的右焦點，0為坐標(biāo)原點，以O(shè)尸為直徑的圓M與圓O：

/+丫2="交于p,Q兩點，若|尸。=|0h，則下列選項正確的是（）

A.曲線C的離心率為夜

B.圓心M到雙曲線C的漸近線的距離為及°

C.PQ所在直線方程為尤=匝

2

D.直線尸。被雙曲線的漸近線截得的線段長為缶

【答案】ACD

【解析】

依題意，以O(shè)尸為直徑的圓M：+與圓O：/+產(chǎn)=/聯(lián)立得，

/=x°=],故由闿=|0同知，加垂直x軸,也是圓M的一條直徑,過圓心||,0）,即「故/=捺=2,

即e=0，故A正確；

由c=0a*=。知，雙曲線的漸近線為x±y=。,

圓心M,0到雙曲線C的漸近線的距離為2￡故B錯誤;

2

%=%=且=叵，P。垂直x軸，故PQ所在直線方程為彳=匝，故C正確；

°C22

由工=當(dāng)代入雙曲線的漸近線x±y=。得y=±與，故截得的線段長為與x2=0a,故D正確.

故選：ACD.

22

II.已知4，居分別為雙曲線，-斗=1（。>01>0）的左右焦點，A，4分別為其實軸的左右端點，且

ab

h2

閨舄1=『，點P為雙曲線右支一點，/為月的內(nèi)心，則下列結(jié)論正確的有（）

A.禺心率e=J^+l

B.點/的橫坐標(biāo)為定值。

C.右S.IPF\=SIPF2+4S.IRF,(X€R)成立，則4=V?—1

D.若PH垂直工軸于點石,則1PM2=倒卜陷

【答案】ABC

【解析】

b2

A.[耳閭=一=2c9故有Z?2=2〃C，則°2一〃2=2〃C左右兩邊同除得

2

e-2e-l=0(e>l)f解得e=0+l，故A對

B.設(shè)圓/與1軸相切于點E,與P耳相切于點M,與尸工相切于點N,

則如圖有PF「PF2=2a,PM=PN,MF[=4及NF2=EF2

故(PM+MF)-1PN+NF)=2a

則有肛_"=2〃

則有耳石一,又耳1

￡7^=2QE=%￡+c,EF2=C-XE

故XE+C-(c—XE)—2a

則嚓=4,故％/=〃，點/的橫坐標(biāo)為定值"，則B對.

C.若S"4=S/%+/IS印成立，設(shè)內(nèi)切圓半徑為「，

111

則有5閥”=寸叫/+半甲訃r

則仍周一儼閭=24=2閨閶=20/1

則2=0-1,故c對

ce

D.若PH垂直了軸于點H,設(shè)尸(七,為)

則H(2,0)

貝ljJ/Z44=(%+a)(%—a)=xj—a~

故41HzM^刈尸”-

故D錯

故選：ABC

12.已知拋物線E：/=4y的焦點為小圓C:x2+（y_l）2=]6與拋物線后交于A,3兩點，點尸為劣弧北

上不同于A,3的一個動點，過點尸作平行于y軸的直線/交拋物線E于點N,則（）

A.點尸的縱坐標(biāo)的取值范圍是（2省,5）

B.PN+NF等于點P到拋物線E的準(zhǔn)線的距離

C.圓C的圓心到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為2

D.P/W周長的取值范圍是（8,10）

【答案】BCD

【解析】

,圓C:尤2+（y-l）2=16的圓心為C（0,l）,半徑廠=4,

...與y軸正半軸的交點為（0,5）,

???拋物線E:V=4y的焦點為網(wǎng)0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-l,

2

x=4yfr_+9./3

由2,、2，得~：，故點尸的縱坐標(biāo)力e（3,5）,故A錯誤；

年+（了-1）=16[y=3

由拋物線的定義可得PN+NF等于點P到拋物線E的準(zhǔn)線的距離，故B正確；

易知圓C的圓心到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為2,故C正確；

尸KV的周長為尸產(chǎn)+印+八齊=廠+力+1=%+5€（8,1。），故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知拋物線C：；/=4了的焦點為F,在C上存在A.B兩點滿足涔=3用，且點A在x軸上方，以A

為切點作C的切線1,1與該拋物線的準(zhǔn)線相交于點M,則點M到直線AB的距離為

【答案】手

【解析】

作出拋物線的準(zhǔn)線1：x=-1,設(shè)A、B在1上的射影分別是C、D,

連接AC、BD,過B作BE_LAC于E

D>??,

/

VAF=3FB>上設(shè)IFBI=m,則|A尸|=3m,

由點A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得

\DB\=\FB\=m,|AC|=|A尸|=3m,

?'?IAE|=2m

因此，R3ABE中，cosZBAE=1,得/BAE=60°

所以，直線AB的傾斜角NAFx=60。，

得直線AB的斜率為tan60°=石.

直線AB的方程為y=A(x-1),代入y2=4x,可得3x?-10x+3=0,

??x=3x=—?

；A在x軸上方，

；.A(3,2月),

工設(shè)過A的切線的斜率為k,則切線的方程為y-2g=Hx-3),

2

與丁=?聯(lián)立得到J=4(y-^+3),即y_&y+WI_12=0

kkk

令A(yù)=(-9)2-4(迪一12)=0,可得％=@,

kk3

，過A的切線的方程為丫="尤+有，

令X=-l,可得>=容

Af的坐標(biāo)為1-L—,又直線AB的方程為丫=退(x-1)

2y

故點M到直線AB的距離：，|-73-^—A/3|4有

a=------------------------=-----

23

故答案為:殍

14.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1過拋物線y2=4x的焦點F,且與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A

在x軸上方.若直線1的傾斜角為60。，則△OAF的面積為.

【答案】V3

【解析】

解：由題意得：拋物線交點尸（1，。），直線1的傾斜角為60。

k=tan600=A/3,直線1的方程為y=6（x-l）,即尤=[^y+l

代入拋物線方程y2=4x,得V一竽>一4=0

解得％=26,％=-手（舍去）

所以43,26），于是可得5四=白。斗聞=:X1X2^=^

故答案為：君

2222

15.已知橢圓G：T+多=1（〃>人>0）與雙曲線。2：3—4=1（相>0,”0）有相同的焦點%F2,

其中可為左焦點，點P為兩曲線在第一象限的交點，，，出分別為曲線G，G的離心率，若△尸耳耳是以

P瓦為底邊的等腰三角形，則4-弓的取值范圍為.

【答案】m

【解析】

由AP￡工是以為底邊的等腰三角形，即\PF2\=2C,

根據(jù)橢圓的定義可得|尸耳|+|，犯|=|尸耳|+2c=2o,

根據(jù)雙曲線的定義可得盧耳|-|正回=1尸周一2c=2租，

聯(lián)立方程組，可得a=m+2c,

222

~,e—e—cc—c___c__—----2-c-----....2.c...—-----2-c-----

mamm+2cm（m+2c）m2+2mc（jn+cj-c2'

易知7”<C,則（〃2+。）2-<?<3。2,

2c222

所以'+0）2-2>3'即

所以02-4的取值范圍是［1■,+<?

故答案為:你+刃）.

16.如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為20厘米，底面半徑為2厘米.球筒的上底和下底分別粘有一個

乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計）.一個平面與兩乒乓球均相切，且

此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為

【答案】叵

4

【解析】

對圓柱沿底面直徑進(jìn)行縱切，如圖所示:

切點為AA',與圓柱面相交于C,C,此時可知CC'即為橢圓的長軸2a,

在直角三角形AABO中，AB=2,BO=20-2><2=8,AsinZAOB=-=-=-,

20284

r2

又因為sinZAOB==,所以a=OC=.=8,

OCsmZAOB

由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長，即2b=4,

則求得c=yja2-b2=2\/15，:.e=-=

a4

故答案為：叵

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

22

17.已知①如圖，長為2石，寬為;的矩形ABCO,以A、B為焦點的橢圓〃邑+2=1恰好過C,。兩

2a2b2

點.

②設(shè)圓(x+石)2+y2=i6的圓心為S,直線/過點7(石,0),且與X軸不重合，直線/交圓S于C,。兩點，過

點T作SC的平行線交切于M,判斷點M的軌跡是否橢圓.

(1)在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)根據(jù)(1)所得橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，過橢圓M右焦點F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線/交橢圓尸。兩點,

在x軸上是否存在點G,使得G歹恰為NPGQ的平分線？

【答案】(1)(1)選①片+丁=1選②：反+/二"wo)(2)證明見解析，切線方程為二+由y=l(2)

存在點

【解析】

(1)選①：由已知，將C(6,；)代入橢圓方程得：

a2-b2=3

1仿2=4r2

:10,2,故橢圓方程為：—+/=1

上+且=1固=14-

[a2b「

選②：由題設(shè)可得如下示意圖，易知：△SCD為等腰三角形且SC=SD,

/.ZSCD=ZSDC,又7M//SC,即=

/.ZMTD=ZSDC,則MT=A/D,

,?MS+MT=MS+MD=SD=4,

二橢圓定義知：動點加到兩定點S(-6,0),T(若,0)的距離和為定值4,

??.M的軌跡方程為二+丁2=1.

4

（2）設(shè)直線方程為y=M尤-石）與橢圓?+丁=1聯(lián)立得（1+4左2）爐一8限2尤+12/一4=。顯然A＞0恒

成立

,8回

X］+%2=-----------2

故~1；：內(nèi)假設(shè)在無軸上是否存在點Ga0）設(shè)外加％）,。（%,%）由題意原°+曝=。即

玉行鼠

一H—適7=o=＞左,—_‘）+—?）=°整理得2%尤2_9+J^）a+尤2）+2=0故

2*月3一（'+石）［手器1+28=。解得"逑,故存在點G|￥，01

1+4左、々1+4%J313J

22

18.已知橢圓石:「+斗=1（。＞匕＞0）經(jīng)過點4（—2,。）,4（2,0）,點3為橢圓E的上頂點，且直線A啰與直

線2x+"y=0相互垂直.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若不垂直無軸的直線/過橢圓石的右焦點尸2,交橢圓于C。兩點（C在工軸上方），直線分別

OS1

與y軸交于S,T兩點，。為坐標(biāo)原點，求證:

0T3

22

【答案】⑴二+乙=1；（2）證明見解析.

43

【解析】

（1）由4（2,0）,得〃=2.

直線與直線2x+百y=0相互垂直，則萬［—7^1=—1，解得b=

22

所以橢圓石的方程為土+匕=1.

43

（2）依題意設(shè)直線/：%=切+1（根。0）,

聯(lián)立/和橢圓。的方程得：（4+3機(jī)2）丁+6町一9=0,

設(shè)。（看，乂），。（%2，%），則有%+%=/—%，%%=/；2.

4+5m4+5m

AC:y=-^（x+2）,令尤=0,貝同理：才

玉十，七十/%2—Z

所以os_yS一％（%-2）一%（切2-1）

OT-yT%（占+2）%（加%+3）.

_O__S__i=3%（二%-，-%（町+3）=2沖2%-3（%+%）

人OT33y2（叼i+3）3y2+3）'

分子2?孫必一3（%+%）=2Mx（1-3x（一絲]=0,所以

14+r3m2）[4+3加）

22

19.己知橢圓6：二+2=1(。>6>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，G的中心與C?的頂點重合.過F

ab

4

且與X軸重直的直線交G于A,B兩點，交C2于c,D兩點，且|CD|=]|A2|.

(1)求G的離心率;

(2)若G的四個頂點到CZ的準(zhǔn)線距離之和為6,求C1與C?的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】

⑴I

22

2

(2)Q：—+^=1,C,：y=4x

43

【解析】

(1)根據(jù)題意，分別表示出|AB|與|CO|,構(gòu)造齊次式，即可求解；

(2)根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與拋物線的性質(zhì)，即可求解.

(1)

因為橢圓G的右焦點為尸(C,O),其中,=行工所以拋物線C2的方程為：y2=4cx,

2

由于橢圓G的方程為彳丫2+v=2=1,將X=c代入橢圓G的方程，得丁=A勺4，所以y=±A22，因此14例=2絲h;

abaaa

將當(dāng)x=c代入G的方程，Wy=+2c,所以|CD|=4c,由|C0=g