趣談平面體系的幾何組成分析

07、基本知識(shí)趣談平面體系的幾何組成分析材料力學(xué)第1頁(yè)，共26頁(yè)07、基本知識(shí)趣談平面體系的幾何組成分析同學(xué)們學(xué)習(xí)下面內(nèi)容后，一定要向老師回信（849896803@），說(shuō)出你對(duì)本資料的看法（收獲、不懂的地方、資料有錯(cuò)的地方），以便考核你的平時(shí)成績(jī)和改進(jìn)我的工作?；匦耪?qǐng)注明班級(jí)和學(xué)號(hào)的后面三位數(shù)。問(wèn)題的提出在人們眼中，每個(gè)建筑物天天都一個(gè)樣，即建筑物是1能夠承受一切工作荷載的、2靜止在地面上的、3似乎沒(méi)有任何變形的4人造物。在土木工程中，建筑物的骨架稱為“結(jié)構(gòu)”，結(jié)構(gòu)常常用所謂的“結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖”來(lái)表述。因此，“結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖”必須首先體現(xiàn)人們眼中建筑物的3個(gè)“特征”。如何在設(shè)計(jì)建筑結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)，不用計(jì)算分析，就能夠判斷出該圖能否作為“結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖”呢？在沒(méi)有判斷前，這樣的圖只能夠稱之為“體系”，因?yàn)楫嫵龅捏w系可能不是結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。顯然，作為建筑物骨架的“結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖”，首先應(yīng)該是人們眼中的建筑物雛形，即“1能夠承受一切工作荷載的、2靜止在地面上的、3似乎沒(méi)有任何變形的”“體系”。如果畫出的體系不是這樣的體系，就沒(méi)有必要做進(jìn)一步的設(shè)計(jì)分析計(jì)算等。所以，在計(jì)算分析之前，判斷畫出的體系圖是否可以作為“結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖”，是一個(gè)必不可少的重要環(huán)節(jié)之一。這一工作，就是本章要專門研究的問(wèn)題：如何判斷一個(gè)畫出的平面體系圖，是否是人們眼中的建筑物骨架？這個(gè)工作可稱為平面桿件體系的幾何組成分析。幾何不變體系和幾何可變體系的定義1、體系物體的集合，稱為體系。2、剛體與剛片在任意荷載作用下，不計(jì)各個(gè)組成的三維物體本身變形的體系，稱為剛體。顯然，該定義有2個(gè)要點(diǎn)：荷載任意和不計(jì)本身變形。在任意荷載作用下，不計(jì)各個(gè)組成的、位于同一個(gè)平面的平面物體本身變形的體系，稱為剛片。顯然，該定義有2個(gè)要點(diǎn)：荷載任意和不計(jì)本身變形。由于只研究平面桿件體系，故后面只用剛片一詞。3、幾何不變體系與幾何可變體系在任意荷載作用下，不計(jì)各個(gè)組成的物體本身變形，而保持其幾何形狀大小和位置都不變的體系，稱為“幾何不變體系”。顯然，該定義有3個(gè)要點(diǎn)：荷載任意、不計(jì)本身變形時(shí)的幾何形狀大小不變和空間位置不變。否則，只有幾何形狀大小和空間位置之一發(fā)生變化，就稱為“幾何可變體系”。簡(jiǎn)言之，空間位置不變的剛體稱為稱為“幾何不變體系”；空間位置可變的剛體稱為“幾何可變體系”。4、結(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu)土木工程要求“結(jié)構(gòu)”處于平衡狀態(tài)（相對(duì)于地面靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)），事實(shí)上，作為建筑物骨架的結(jié)構(gòu)，是處于靜止?fàn)顟B(tài)的。因此，只有幾何不變體系，才可能成為“結(jié)構(gòu)”。機(jī)械工程要求“機(jī)械”能夠運(yùn)轉(zhuǎn)（運(yùn)動(dòng)），因此，只有幾何可變體系，才可能成為“機(jī)械”，或者說(shuō)“機(jī)構(gòu)（機(jī)械構(gòu)造）”。 5、幾何瞬變體系有這樣一種情況：在任意荷載作用下，如果不考慮體系桿件本身的變形，體系在形狀大小作微小改變之后，該體系就成為幾何不變體系。為了把這種體系與幾何可變體系加以區(qū)別，稱該體系為幾何瞬變體系。由于這種體系在產(chǎn)生“微小改變”時(shí)，會(huì)產(chǎn)生巨大的內(nèi)力使得體系立即破壞，參見圖2-1。故，幾何瞬變體系是土木工程和機(jī)械工程都不能夠使用的體系。αα圖2-1三角架內(nèi)力和瞬變體系αFABCCBA（b）瞬變體系（a）三角架在（b）中，AC和BC與鉛垂線的夾角為90°。如果在鉸C上作用一個(gè)微小的鉛垂力，兩桿將分別繞A、B轉(zhuǎn)動(dòng)，但此時(shí)內(nèi)力將無(wú)窮大，即C處拉斷。這種體系叫做“瞬變體系”，它既不能作為土木結(jié)構(gòu)，也不能作為機(jī)械傳動(dòng)裝置（機(jī)構(gòu)），是土木、機(jī)械都“拒之門外”的體系。6、幾何不變體系的兩個(gè)類別幾何不變體系又可分成兩類：（1）在幾何不變體系中，如果不存在維持該體系幾何不變的多余桿件（多余約束）者，稱為“無(wú)多余約束的幾何不變體系”。在土木工程中，又稱它為“靜定結(jié)構(gòu)”。（2）在幾何不變體系中，如果存在著維持該體系幾何不變的多余桿件（多余約束）者，則稱為“有多余桿件（多余約束）的幾何不變體系”。在土木工程中，又稱它為“超靜定結(jié)構(gòu)”。有n個(gè)多余桿件（多余約束）的超靜定結(jié)構(gòu)，稱為“n次超靜定結(jié)構(gòu)”。建筑物相對(duì)于地面是靜止的，因此，建筑物骨架的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖，必須是幾何不變體系。約束數(shù)與自由度在建立了幾何不變體系、幾何可變體系和幾何瞬變體系的概念之后，具體分析體系的幾何組成之前，還要交待幾個(gè)相關(guān)的概念。由幾何不變和幾何可變，自然會(huì)想到這樣一些相關(guān)的概念：靜止和運(yùn)動(dòng)，約束和自由，束縛和解放，拘束和自在，專制和民主，抑制和隨意，紀(jì)律和散漫，緊張和鎮(zhèn)定等等，其中，與力學(xué)概念相關(guān)的是靜止和運(yùn)動(dòng)，約束和自由。運(yùn)動(dòng)是理論力學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)；約束是材料力學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)。約束和自由是一對(duì)反義詞。在理論力學(xué)，嚴(yán)格說(shuō)是理論力學(xué)的靜力學(xué)部分，對(duì)建筑物來(lái)說(shuō)，關(guān)注的是靜止。為了研究靜止?fàn)顟B(tài)，得出靜力平衡方程式，考察的重點(diǎn)確在運(yùn)動(dòng)。一旦物體運(yùn)動(dòng)的原因（條件）不成立，則物體就處于靜止?fàn)顟B(tài)，從而得到我們需要的平衡方程。為了使建筑物的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖表達(dá)出相對(duì)于地面不動(dòng)，就要考查“動(dòng)、自由”，以便得出“不動(dòng)、不自由”的條件：“約束”。1、自由度概念確定物體位置和方位所必須的獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)，稱為自由度數(shù)。如圖3-1所示。一個(gè)平面點(diǎn)需要2個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（x、y）來(lái)確定它的幾何位置，故有2個(gè)自由度。一個(gè)平面物需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（2個(gè)線坐標(biāo)x、y和1個(gè)角坐標(biāo)α）來(lái)確定它的幾何位置，故有3個(gè)自由度。平面點(diǎn)有2個(gè)自由度（平面點(diǎn)有2個(gè)自由度（x,y）圖3-1平面點(diǎn)和平面物的自由度數(shù)yxxyA(x,y)yxxyA(x,y)α平面物有3個(gè)自由度（x,y,α）顯然，一個(gè)空間點(diǎn)需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（x、y、z）來(lái)確定它的幾何位置，故有3個(gè)自由度。一個(gè)空間物需要6個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（3個(gè)線坐標(biāo)x、y、z和3個(gè)角坐標(biāo)α、β、γ）來(lái)確定它的幾何位置，但3個(gè)角座標(biāo)應(yīng)該滿足，故空間物體只有5個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，自由度數(shù)為5。2、用鏈桿代替坐標(biāo)，體現(xiàn)“約束”對(duì)抗“自由”坐標(biāo)軸x和y是固定連接在地球上的，故圖3-1可以用圖3-2所示的鏈桿來(lái)代替坐標(biāo)的作用。自由度數(shù)和鏈桿數(shù)（約束數(shù)）之間的匹配關(guān)系在圖3-2中一目了然。平面點(diǎn)有2個(gè)自由度，用2鏈桿約束平面點(diǎn)有2個(gè)自由度，用2鏈桿約束圖3-2固定平面點(diǎn)和平面物的鏈桿及其與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系yx鏈桿1yA(x,y)yxxyA(x,y)αx鏈桿1鏈桿2鏈桿2鏈桿3平面物有3個(gè)自由度，用3鏈桿約束既然自由度定義為確定物體位置的獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)，那么，也可以將約束數(shù)定義為確定物體位置的獨(dú)立鏈桿個(gè)數(shù)。這樣在物體“位置”概念下，把約束和自由兩個(gè)反義概念統(tǒng)一起來(lái)，不僅加深對(duì)它們的理解，而且會(huì)使得體系的幾何組成分析更加得心應(yīng)手。3、支座、支座反力、約束數(shù)、鏈桿數(shù)與自由度數(shù)為進(jìn)一步了解約束與自由的關(guān)系，現(xiàn)將在靜力學(xué)研究支座和支座反力的一些結(jié)論，與約束數(shù)、相當(dāng)鏈桿數(shù)和對(duì)應(yīng)減少的自由度數(shù)匯總于圖3-3。圖圖3-3約束、約束數(shù)和自由度數(shù)1約束數(shù)232減少自由度數(shù)1232相當(dāng)鏈桿數(shù)1232約束反力FAyFAxMAFAxMAFAyFAyFAx約束類型組成剛片的三條規(guī)則平面體系幾何組成分析常用的規(guī)則是二元體規(guī)則、二剛片規(guī)則和三剛片規(guī)則。如前所述，剛片并不完全等同于幾何不變體系，故這三條規(guī)則宜稱為一剛片規(guī)則、二剛片規(guī)則和三剛片規(guī)則為好。1、鉸接三角形是最簡(jiǎn)單的可以視為剛片的基本體系幾何學(xué)告訴我們，三角形是最簡(jiǎn)單的穩(wěn)定圖形。如圖4-1所示，鉸接三角形在任意荷載作用下，如果不考慮桿件本身的變形，它的形狀大小保持不變，故它是最簡(jiǎn)單的剛片。如果把它的一條邊與地面固結(jié)，它的位置也不會(huì)變，故，一邊接地的鉸接三角形是最最基本的幾何不變體系。幾何上要求三角形的任意兩邊之和大于第三邊。在這里，鉸接三角形的條件是，將幾何上對(duì)三角形的要求，轉(zhuǎn)換成“3個(gè)鉸不共線”的陳述。AA圖4-1接地不接地鉸接三角形的幾何性質(zhì)BC鉸接三角形形狀大小不變AB一邊接地鉸接三角形位置也不變C鉸接三角形組成規(guī)則：有一條邊與地固結(jié)的鉸接三角形是一個(gè)無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。在繼后的論述中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)分析體系幾何組成性質(zhì)的三條規(guī)則，均基于鉸接三角形組成規(guī)則。2、一剛片規(guī)則（二元體規(guī)則）在§3.3中，提到1根鏈桿相當(dāng)于1個(gè)約束；1個(gè)固定鉸支座或中間鉸相當(dāng)于2個(gè)約束；1個(gè)固定支座相當(dāng)于3個(gè)約束。顯然，鏈桿是約束的計(jì)量單位。常見的鏈桿是兩端帶鉸的直桿，但它可以表達(dá)為圖4-2的各種形式或類似的形式。圖圖4-2兩剛片之間的鏈桿和等效鏈桿dabcefg二元體是由兩根鏈桿組成的特殊體系。鏈桿可直、可彎、可拐折（圖4-3）。顯然，它實(shí)質(zhì)上仍是形式各異的鉸接三角形。二元體是具有一個(gè)公共鉸，另一端的兩個(gè)鉸在同一塊剛片上，且三個(gè)鉸不共線的兩根鏈桿組成的組合體系。鉸接三角形的“3個(gè)鉸不共線”的條件，現(xiàn)在二元體這里仍舊保留不變。不難看出，該定義有3個(gè)要點(diǎn)，缺一不可。一個(gè)二元體就是一塊二元體剛片。如果剛片是接地剛片，那么該二元體是一個(gè)最最簡(jiǎn)單的幾何不變體系。一剛片規(guī)則（二元體規(guī)則）：增加或減少一個(gè)二元體不會(huì)改變體系的幾何組成性質(zhì)。圖4-3形式各異的二元體剛片acbef圖4-3形式各異的二元體剛片acbefg圖4-4形式各異的二元體幾何不變體系acbefg二元體規(guī)則（一剛片規(guī)則）將應(yīng)用于體系的幾何組成分析中，見第5節(jié)的例子。3、二剛片規(guī)則（1）二剛片規(guī)則陳述1將鉸接三角形的兩個(gè)邊等效地表示成剛片的圖示（圖4-5中的粗實(shí)線），就可以得到二剛片規(guī)則。顯然，它實(shí)質(zhì)上仍是鉸接三角形ABC。AA圖4-5二剛片規(guī)則1（一鉸一鏈桿連接）BC（a）ABC（b）二剛片規(guī)則的陳述1：兩塊剛片用1個(gè)鉸和1根鏈桿相連接，且鉸和鏈桿不共線，則組成一個(gè)新的剛片。如果其中有一塊剛片是接地的剛片，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。鉸接三角形的“3個(gè)鉸不共線”的條件，在二元體規(guī)則那里保留不變；現(xiàn)在二剛片規(guī)則陳述1這里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“1鉸和1鏈桿不共線”的陳述。（2）二剛片規(guī)則陳述2如果剛片AC和剛片AB的公共鉸A，用相交的2根鏈桿做等價(jià)代替（如圖4-6中紅色部分所示），則可得到二剛片規(guī)則的陳述2。代替后，雖然形式上由1鉸1鏈桿的連接，變成3鏈桿的連接，但，它的實(shí)質(zhì)上仍是鉸接三角形ABC。AA圖4-6二剛片規(guī)則2（三鏈桿連接）B（a）C（b）ABC二剛片規(guī)則的陳述2：兩塊剛片用3根鏈桿連接，且3根鏈桿不交于一點(diǎn)，則組成一個(gè)新的剛片。如果其中有一剛片是接地剛片，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。鉸接三角形的“3個(gè)鉸不共線”的條件，在二元體規(guī)則那里保留不變；在二剛片規(guī)則1那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“1鉸和1鏈桿不共線”的陳述；現(xiàn)在二剛片規(guī)則陳述2這里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“3根鏈桿不共線”的陳述。二剛片規(guī)則在體系的幾何組成分析中的應(yīng)用，見第5節(jié)的例子。4、實(shí)鉸與虛鉸在二剛片規(guī)則陳述2中，連接兩個(gè)剛片的是有3根鏈桿，一般來(lái)說(shuō)，它們兩兩相交會(huì)形成3個(gè)交點(diǎn)。如果把體系中真實(shí)表示出來(lái)的鉸稱為“實(shí)鉸”，那么，可把兩根鏈桿的交點(diǎn)稱為“虛鉸”。二剛片規(guī)則要求3根鏈桿形成的三個(gè)鉸，無(wú)論虛實(shí)，都不能夠交于一點(diǎn)和處于第一條直線上。交于一點(diǎn)時(shí)，體系是可變體系；三鉸共線時(shí)，體系是瞬變體系，在建筑結(jié)構(gòu)上都是不能使用的。參見圖4-7.AA圖4-7實(shí)鉸與虛鉸BCDEFG鏈桿ad和ce交點(diǎn)F為虛鉸鏈桿cb和ce交點(diǎn)C為實(shí)鉸鏈桿cb和ad交點(diǎn)G為虛鉸三鉸不共線，滿足二剛片規(guī)則5、三剛片規(guī)則（1）三剛片規(guī)則陳述1將鉸接三角形的三個(gè)邊都等效地表示成剛片的圖示（圖4-8中的粗實(shí)線），就可以得到三剛片規(guī)則。顯然，它實(shí)質(zhì)仍是鉸接三角形ABC。AA圖4-8三剛片規(guī)則1（三鉸連接）BC（a）ABC（b）三剛片規(guī)則的陳述1：三塊剛片用3個(gè)鉸兩兩相連接，且三個(gè)鉸不共線，則組成一個(gè)新的剛片。如果其中有一塊剛片是接地的剛片，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。鉸接三角形的“3個(gè)鉸不共線”的條件，在二元體規(guī)則那里保留不變；在二剛片規(guī)則1那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“1鉸和1鏈桿不共線”的陳述；在二剛片規(guī)則2那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“3根鏈桿不共線”的陳述；現(xiàn)在三剛片規(guī)則陳述1這里，又回到“3個(gè)鉸不共線”的陳述。（2）三剛片規(guī)則陳述2如果剛片AC和剛片AB的公共鉸A，用相交的2根鏈桿做等價(jià)代替（如圖4-9中紅色部分所示），則可得到三剛片規(guī)則的陳述2。代替后，雖然形式上由3鉸的連接，變成2鉸2鏈桿的連接，但，它的實(shí)質(zhì)上仍是鉸接三角形ABC。AA圖4-9三剛片規(guī)則2（2鏈桿2鉸連接）B（a）C（b）ABC三剛片規(guī)則的陳述2：三塊剛片分別用2根鏈桿和2個(gè)鉸連接，且2根鏈桿的交點(diǎn)（實(shí)鉸或虛鉸）和兩個(gè)鉸不共線，則組成一個(gè)新的剛片。如果其中有一剛片是接地剛片，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。鉸接三角形的“3個(gè)鉸不共線”的條件，在二元體規(guī)則那里保留不變；在二剛片規(guī)則1那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“1鉸和1鏈桿不共線”的陳述；在二剛片規(guī)則2那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“3根鏈桿不共線”的陳述；在三剛片規(guī)則陳述1那里，又回到“3個(gè)鉸不共線”的陳述；現(xiàn)在的三剛片規(guī)則陳述2這里，轉(zhuǎn)換為“兩根鏈桿的交點(diǎn)與兩個(gè)鉸不共線”。（3）三剛片規(guī)則陳述3如果剛片AC和剛片AB的公共鉸A，用相交的2根鏈桿做等價(jià)代替；剛片AB和剛片BC的公共鉸B，也用相交的2根鏈桿做等價(jià)代替（如圖4-10中紅色部分所示），則可得到三剛片規(guī)則的陳述3。代替后，雖然形式上由3鉸的連接，變成1鉸4鏈桿的連接，但，它的實(shí)質(zhì)上仍是鉸接三角形ABC。AA圖4-10三剛片規(guī)則2（4鏈桿1鉸連接）B（a）C（b）AB三剛片規(guī)則的陳述2：三塊剛片分別用4根鏈桿和1個(gè)鉸連接，且4根鏈桿的兩兩交點(diǎn)，共計(jì)2個(gè)實(shí)鉸或虛鉸和原來(lái)那個(gè)鉸不共線，則組成一個(gè)新的剛片。如果其中有一剛片是接地剛片，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。鉸接三角形的“3個(gè)鉸不共線”的條件，在二元體規(guī)則那里保留不變；在二剛片規(guī)則1那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“1鉸和1鏈桿不共線”的陳述；在二剛片規(guī)則2那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“3根鏈桿不共線”的陳述；在三剛片規(guī)則陳述1那里，又回到“3個(gè)鉸不共線”的陳述；在三剛片規(guī)則陳述2那里，轉(zhuǎn)換為“兩根鏈桿的交點(diǎn)，即1個(gè)實(shí)鉸或者虛鉸與原來(lái)那兩個(gè)鉸不共線”；現(xiàn)在的三剛片規(guī)則陳述3這里，轉(zhuǎn)換為“4根鏈桿的兩兩交點(diǎn)，共計(jì)2個(gè)實(shí)鉸或者虛鉸與原來(lái)那個(gè)鉸不共線”。（4）三剛片規(guī)則陳述4如果剛片AC和剛片AB的公共鉸A，用相交的2根鏈桿做等價(jià)代替（如圖4-11中紅色部分所示），則可得到三剛片規(guī)則的陳述2。代替后，雖然形式上由3鉸的連接，變成2鉸2鏈桿的連接，但，它的實(shí)質(zhì)上仍是鉸接ABC。三角形AA圖4-11三剛片規(guī)則4（6鏈桿連接）B（a）C（b）ABC三剛片規(guī)則的陳述4：三塊剛片分別用6根鏈桿把剛片兩兩連接，且6根鏈桿的兩兩交點(diǎn)，共對(duì)應(yīng)3個(gè)實(shí)鉸或虛鉸不共線，則組成一個(gè)新的剛片。如果其中有一剛片是接地剛片，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。鉸接三角形的“3個(gè)鉸不共線”的條件，在二元體規(guī)則那里保留不變；在二剛片規(guī)則1那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“1鉸和1鏈桿不共線”的陳述；在二剛片規(guī)則2那里，轉(zhuǎn)換為二剛片的“3根鏈桿不共線”的陳述；在三剛片規(guī)則陳述1那里，又回到“3個(gè)鉸不共線”的陳述；在三剛片規(guī)則陳述2那里，轉(zhuǎn)換為“兩根鏈桿的交點(diǎn)，即1個(gè)實(shí)鉸或者虛鉸與原來(lái)那兩個(gè)鉸不共線”；在三剛片規(guī)則陳述3那里，轉(zhuǎn)換為“4根鏈桿的兩兩交點(diǎn)，共2個(gè)實(shí)鉸或者虛鉸與原來(lái)的那個(gè)鉸不共線”；現(xiàn)在的三剛片規(guī)則陳述4這里，轉(zhuǎn)換為“6根鏈桿的兩兩的交點(diǎn)，共3個(gè)實(shí)鉸或者虛鉸不共線”。三剛片規(guī)則在體系的幾何組成分析中的應(yīng)用，見第5節(jié)的例子。用三個(gè)組成規(guī)則分析體系的例子1、幾種基本靜定結(jié)構(gòu)（無(wú)多余約束的幾何不變體系） 圖5-1示出幾種常用的基本靜定結(jié)構(gòu)，它們可以作為平面體系幾何組成分析的基礎(chǔ)其它桿件可以幾何組成規(guī)則搭建在它們上面。圖圖5-1無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）懸臂梁簡(jiǎn)支梁?jiǎn)瓮馍炝弘p外伸梁簡(jiǎn)支剛架懸臂剛架1、18個(gè)例子（1（1）無(wú)多余約束的幾何不變體系（2）無(wú)多余約束的幾何不變體系圖2-118個(gè)簡(jiǎn)單的平面幾何體系（4）無(wú)多余約束的幾何不變體系（5）無(wú)多余約束的幾何不變體系（6）無(wú)多余約束的幾何不變體系（3）有1個(gè)多余約束的幾何不變體系（7）幾何瞬變體系（8）無(wú)多余約束的幾何不變體系（9）無(wú)多余約束的幾何不變體系（13）幾何瞬變體系（11）有1個(gè)多余約束的幾何不變體系（12）有1個(gè)多余約束的幾何不變體系（15）有3個(gè)多余約束的幾何不變體系（14）有2個(gè)多余約束的幾何不變體系（10）有2個(gè)多余約束的幾何不變體系（16）無(wú)多余約束的幾何不變體系（17）有2個(gè)多余約束的幾何不變體系（18）無(wú)多余約束的幾何不變體系實(shí)例實(shí)例5-1簡(jiǎn)支梁是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）（1）無(wú)多余約束的幾何不變體系接地鉸接三角形為CDAABCDEAE同屬地面，可成為新的鉸接三角形AEB的接地邊AE。ABCDE結(jié)論：簡(jiǎn)支梁由兩個(gè)接地鉸接三角形組成，分析時(shí)恰好用完全部桿件。故，為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。紅色屬基礎(chǔ)剛片結(jié)論1：簡(jiǎn)支梁是基本靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-2外伸梁是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）接地鉸接三角形為CDAABCDEAE同屬地面，可成為新的鉸接三角形AEF的接地邊AE。B在AF桿上已經(jīng)固定。ABCDE（2）無(wú)多余約束的幾何不變體系F紅色屬基礎(chǔ)剛片結(jié)論：簡(jiǎn)支梁由兩個(gè)接地鉸接三角形組成，分析時(shí)恰好用完全部桿件。故，為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。結(jié)論2：?jiǎn)瓮馍炝汉碗p外伸梁都是基本靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-3l兩跨梁是有一個(gè)多余約束的幾何不變體系（一次超靜定結(jié)構(gòu)AE同屬地面，可成為新的鉸接三角形AEB的接地邊AE。F鏈桿是多余的。結(jié)論：兩跨梁由兩個(gè)接地鉸接三角形組成，分析時(shí)剩下鏈桿支座F。故，體系是有1個(gè)多余約束的幾何不變體系（1次超靜定結(jié)構(gòu)）。接地鉸接三角形為CDAABCDE紅色屬基礎(chǔ)剛片（3）有1個(gè)多余約束的幾何不變體系A(chǔ)BCDEF定義：連接兩根桿的鉸稱為單鉸；否則，稱為復(fù)鉸。定義：鉸連接的桿全部在桿的端部者稱全鉸；若有不在端部者稱半鉸，如F鉸。實(shí)例實(shí)例5-4兩跨梁是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）AE同屬地面，可成為新的鉸接三角形AEF的接地邊AE。B在AF桿上。B鏈桿多余。ABCDE結(jié)論：外伸梁由兩個(gè)接地鉸接三角形組成，分析時(shí)用完全部桿件。故，為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。F（4）無(wú)多余約束的幾何不變體系紅色屬基礎(chǔ)剛片接地鉸接三角形為CDAABCDEF比較：上例F為半鉸；本例F為全鉸。實(shí)例實(shí)例5-5外伸梁是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）接地鉸接三角形為CDAAE同屬地面，可成為新的鉸接三角形AEF的接地邊AE。B在丁字桿AFB桿上。結(jié)論：懸臂梁固定支座由兩個(gè)接地鉸接三角形組成，分析時(shí)用完全部桿件。紅色屬基礎(chǔ)剛片（5）無(wú)多余約束的幾何不變體系A(chǔ)BCDEABCDF結(jié)論3：懸臂梁和懸臂剛架都是基本靜定結(jié)構(gòu)。注意：例5-1到5-5都用鉸接三角形來(lái)分析，其實(shí)等于用二元體規(guī)則。實(shí)例實(shí)例5-6外伸梁是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）A靜定結(jié)構(gòu)BC（外伸梁）加地面鉸AD構(gòu)成新地面ABCD。左側(cè)加三角形ABE，右側(cè)加地表三角形CDF，完成分析，沒(méi)有多余桿件，故為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定梁）ABCDEF紅色屬基礎(chǔ)剛片（6）無(wú)多余約束的幾何不變體系注意：外伸梁也是基本靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-7體系為幾何瞬變體系（土木、機(jī)械皆不能使用）注：不是所有表現(xiàn)為三鉸共線的體系都是瞬變體系。當(dāng)位于中間的那個(gè)鉸是單鉸（只與兩根桿相連的鉸）的三鉸共線，才稱為瞬變體系。（7）幾何瞬變體系A(chǔ)BC三鉸共線，為瞬變體系。ABC結(jié)論4：含有三鉸共線，且中間一個(gè)為單鉸（僅與兩根桿相連）是瞬變體系。實(shí)例實(shí)例5-8體系是有1個(gè)多余約束的幾何不變體系（1次超靜定梁）懸臂梁已經(jīng)是基本的無(wú)多余約束的幾何不變體系。附加的鏈桿是多余的。（8）無(wú)多余約束的幾何不變體系要點(diǎn)：懸臂梁是靜定結(jié)構(gòu)，不需要再加鏈桿來(lái)固定它的位置。故多余1鏈桿實(shí)例實(shí)例5-9體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定梁）a二元體建造法：接地Δabe和Δcdf的基礎(chǔ)上，順序加上Δefg，Δegh，Δgfi，Δhij，Δhjk，Δjil，構(gòu)成體系，并且用完全部桿件。故為無(wú)多余約束的幾何不變體系。（9）無(wú)多余約束的幾何不變體系bcdefghijkl二元體建造法：從地面開始用二元體建造體系的方法。實(shí)例實(shí)例5-10體系為有2個(gè)多余約束的幾何不變體系（2次超靜定結(jié)構(gòu)）把體系的中間鉸撤除，左右兩邊各為1個(gè)懸臂剛架。懸臂剛架是基本的靜定結(jié)構(gòu)，被除去的1個(gè)中間鉸對(duì)應(yīng)于兩根鏈桿，即兩個(gè)約束，故體系為有2個(gè)多余約束的幾何不變體系。（10）有2個(gè)多余約束的幾何不變體系要點(diǎn)：利用懸臂柱是基本靜定結(jié)構(gòu)。一鉸剛架是2次超靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-11體系是有1個(gè)多余約束的幾何不變體系（1次超靜定梁）體系由兩個(gè)固定鉸支座連接1根曲桿組成。一個(gè)平面物體有3個(gè)自由度，需要3個(gè)約束就可以構(gòu)成無(wú)多余約束的幾何不變體系。而2個(gè)固定鉸支座相對(duì)于4個(gè)約束，故多余1個(gè)約束。體系為有1個(gè)多余約束的幾何不變體系。（11）有1個(gè)多余約束的幾何不變體系結(jié)論5：三鉸拱是基本是靜定結(jié)構(gòu)；兩鉸拱是1次超靜定結(jié)構(gòu)；一鉸拱是2次超靜定結(jié)構(gòu)；無(wú)鉸拱是3次超靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-12體系是有1個(gè)無(wú)多余約束的幾何不變體系（1次超靜定梁）（12）有1個(gè)多余約束的幾何不變體系把體系的兩個(gè)鉸撤除，左右兩邊各為1個(gè)懸臂剛架。懸臂剛架是基本的靜定結(jié)構(gòu)，被出去的2個(gè)鉸對(duì)應(yīng)4根鏈桿，即4個(gè)約束。但是，水平桿自由了，要固定它需要3個(gè)約束，體系多余1個(gè)約束。故，體系為有1個(gè)多余約束的幾何不變體系。要點(diǎn)：利用懸臂剛架是基本的靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-13體系為瞬變體系1、兩個(gè)固定支座組成的接地剛片a、b鉸上二元體固定c鉸；2、左加二元體固定d鉸；3、右加二元體固定f鉸；4、中部加二元體固定g鉸；5、左加二元體固定h鉸；6、右加二元體固定i鉸，此時(shí)原體系的外形已構(gòu)造好，還多余de和ef兩根鏈桿，是否就此可判斷體系為“無(wú)多余約束的幾何不變體系”呢？（13）幾何瞬變體系abcedfg不是的。兩根多余鏈桿的三個(gè)鉸bhc共線，這違背組成規(guī)則，是瞬變的。故，整體而言應(yīng)該算為“瞬變體系”才是。hi結(jié)論6：三鉸共線是瞬變體系的必要條件，是否充分要看組成分析結(jié)果。實(shí)例實(shí)例5-14體系是有2個(gè)多余約束的幾何不變體系（2次超靜定梁）體系由兩個(gè)相互支承的兩鉸剛架組成，一個(gè)兩鉸剛架多余1個(gè)約束，故，體系多余2個(gè)約束。體系為有2個(gè)多余約束的幾何不變體系。（14）有2個(gè)多余約束的幾何不變體系注：兩鉸拱和兩鉸剛架是1次超靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-15體系是有3個(gè)無(wú)多余約束的幾何不變體系（3次超靜定梁）體系把一根Π型剛架支承在兩個(gè)固定支座上。一個(gè)平面物體需要3個(gè)約束來(lái)固定，現(xiàn)在有兩個(gè)固定支座，共6個(gè)約束體系多余3個(gè)約束。故，體系為有3個(gè)多余約束的幾何不變體系。（15）有3個(gè)多余約束的幾何不變體系要點(diǎn)：無(wú)鉸拱和無(wú)鉸剛架是3超靜定結(jié)構(gòu)。實(shí)例實(shí)例5-16體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系體系為簡(jiǎn)支體系。對(duì)于簡(jiǎn)支體系的研究方法是僅僅研究支座以上部分的體系性質(zhì)即可。本體系簡(jiǎn)支的是全部由鉸接三角形組成的、沒(méi)有多余桿件的子體系，它是一個(gè)沒(méi)有多余約束的幾何不變子體系。故，本體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系。（16）無(wú)多余約束的幾何不變體系結(jié)論7：簡(jiǎn)支體系只需要分析除簡(jiǎn)支支座外的子體系。實(shí)例實(shí)例5-17體系是有2個(gè)多余約束的幾何不變體系（2次超靜定梁）（17）有2個(gè)多余約束的幾何不變體系體系為簡(jiǎn)支體系。對(duì)于簡(jiǎn)支體系的研究方法是僅僅研究支座以上部分的體系性質(zhì)即可。本體系簡(jiǎn)支的子體系，貌似全部由鉸接三角形組成的、沒(méi)有多余桿件的子體系。但是在子體系中左右兩個(gè)大三角形中，各多余1根鏈桿（已經(jīng)紅色標(biāo)注）。要點(diǎn)：簡(jiǎn)支體系只需要分析除簡(jiǎn)支支座外的子體系。實(shí)例實(shí)例5-18體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）（18）無(wú)多余約束的幾何不變體系體系為簡(jiǎn)支體系。對(duì)于簡(jiǎn)支體系的研究方法是僅僅研究支座以上部分的體系性質(zhì)即可。本體系簡(jiǎn)支的是全部由鉸接三角形組成的、沒(méi)有多余桿件的子體系，它是一個(gè)沒(méi)有多余約束的幾何不變子體系。故，本體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系。要點(diǎn)：簡(jiǎn)支體系只需要分析除簡(jiǎn)支支座外的子體系?；痉椒ê拖嚓P(guān)結(jié)論匯總：1.建造法：從地面開始，順序搭建二元體，看完成體系的情況定幾何組成性質(zhì)；2.拆卸法；從體系頂部開始，順序撤除二元體，看撤除體系的情況定幾何注冊(cè)性質(zhì)；3.吊裝法：對(duì)應(yīng)含有簡(jiǎn)支支座的體系，研究簡(jiǎn)支支座上的子體系性質(zhì)，即可確定體系的幾何組成性質(zhì)。結(jié)論1：簡(jiǎn)支梁是基本靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)論2：?jiǎn)瓮馍炝汉碗p外伸梁都是基本靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)論3：懸臂梁和懸臂剛架都是基本靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)論4：含有三鉸共線，且中間一個(gè)為單鉸（僅與兩根桿相連）是瞬變體系。結(jié)論5：三鉸拱是基本是靜定結(jié)構(gòu)；兩鉸拱是1次超靜定結(jié)構(gòu)；一鉸拱是2次超靜定結(jié)構(gòu)；無(wú)鉸拱是3次超靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)論6：識(shí)別瞬變體系的方法是3鉸共線，且中間鉸是單鉸者。結(jié)論7：簡(jiǎn)支體系只需要分析除簡(jiǎn)支支座外的子體系幾何組成。定義：連接有非桿端的鉸稱為半鉸。定義：連接的全是桿端的鉸稱為全鉸。2、15個(gè)例子實(shí)例實(shí)例5-19體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）a撤除法：先撤除二元體f相關(guān)的兩根鏈桿fc和fe，再順序撤除二元體e、d和c后，最后撤除固定鉸支座a和b，只剩地面，故，體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。（19）無(wú)多…不變體系bcdef建造法：先建固定鉸支座a和b，再順序建造二元體c、d、e和f，到此已經(jīng)完全恢復(fù)原體系，故，體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。二元體規(guī)則：增加或減少二元體不改變體系的幾何性質(zhì)。撤除法：撤除法：先撤除二元體f相關(guān)的兩根鏈桿fc和fe，再順序撤除二元體e、d和c后，最后撤除固定鉸支座a和b，多余桿件ab，故，體系為有1多余約束的幾何不變體系（1次超靜定結(jié)構(gòu)）。bde建造法：先建固定鉸支座a和b，再順序建造二元體c、d、e和f，到此只有ab桿未用到就完全恢復(fù)原體系，故，體系為有1多余約束的幾何不變體系（1次超靜定結(jié)構(gòu)）。（20）多1…不變體系acf實(shí)例5-20體系是有1多余約束的幾何不變體系（1次超靜定結(jié)構(gòu)）二元體規(guī)則：增加或減少二元體不改變體系的幾何性質(zhì)。實(shí)例實(shí)例5-21體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）a對(duì)于簡(jiǎn)支體系，分析除簡(jiǎn)支支座外的子體系，就可以確定體系性質(zhì)。子體系為鉸接三角形組成，即在任意1個(gè)鉸接三角形基礎(chǔ)上順序增加二元體而成一個(gè)剛片。故，體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）bcdef（21）無(wú)多…不變體系二元體規(guī)則：增加或減少二元體不改變體系的幾何性質(zhì)。請(qǐng)對(duì)比19、20、21三個(gè)體系的分析與結(jié)論。實(shí)例實(shí)例5-22體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）三剛片法則：以兩個(gè)固定鉸支座和地面為剛片Ⅰ，折桿acf為剛片Ⅱ，折桿bde為剛片Ⅲ。Ⅰ,Ⅱ由鉸a連接，Ⅰ,Ⅲ由鉸b連接，Ⅱ,Ⅲ由鏈桿cd和ef連接，它們形成的虛鉸在g，a、b、g三鉸不在一條直線上，故，體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。abcdef（22）無(wú)多…不變體系ⅠⅡⅢ三剛片規(guī)則：三剛片兩鉸兩鏈桿，且對(duì)應(yīng)三鉸（包含虛鉸）不共線，則為無(wú)多…不變。三剛片規(guī)則三剛片規(guī)則：剛片Ⅰ和Ⅱ用鉸a連接，剛片Ⅰ和Ⅲ用鉸b連接，剛片Ⅱ和Ⅲ用鉸c連接，abc三鉸不共線，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。三剛片規(guī)則：剛片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ組合和Ⅳ用鉸e連接，剛片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ組合和Ⅴ用鉸d連接，剛片Ⅳ和Ⅴ用鉸f連接，def三鉸不共線，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。故，體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）實(shí)例5-23體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）bdeacⅠ（23）無(wú)多…不變ⅡⅢⅣⅤf要點(diǎn)：兩次用三剛片的三鉸規(guī)則。實(shí)例實(shí)例5-24體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）三剛片規(guī)則：剛片Ⅰ和Ⅱ用鉸a連接，剛片Ⅰ和Ⅲ用鉸b連接，剛片Ⅱ和Ⅲ用鉸c連接，abc三鉸不共線，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。abcdef（24）無(wú)多…不變體系ghiⅠⅡⅢ二元體規(guī)則：在剛片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ組合的基礎(chǔ)上，順序加上二元體(ef,fd)、(eg,gf)、(fh,hd)和(gi,ih)，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。要點(diǎn)：先用三剛片三鉸規(guī)則，再4次用二元體規(guī)則。實(shí)例實(shí)例5-25體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）二元體法則：以地面、固定鉸支座f、二元體b(ab,bc)，d(ad,db)和e(be,ec)組成剛片Ⅰ。（25）無(wú)多…不變體系dabcefghijkⅠ二元體法則：再在剛片Ⅰ的基礎(chǔ)上，搭建二元體g(fg,gd)，h(gh,hb),i(hi,ie)和j(ij,jk)后，恰好組成本體系。故，體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。要點(diǎn)：一次用二元體規(guī)則建立一個(gè)基礎(chǔ)剛片，再4次用二元體的體系。實(shí)例實(shí)例5-26體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）（26）無(wú)多…不變體系Ⅰabcdefghi3個(gè)固定鉸支座加懸臂柱組成剛片Ⅰ：以地面、懸臂柱de、固定鉸支座a，b和c組成剛片Ⅰ。二元體法則：再在剛片Ⅰ的基礎(chǔ)上，搭建二元體f(ef,fc)，h(gh,hb)和i(hi,ib)后，恰好組成本體系。故，體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。要點(diǎn)：在3個(gè)固定鉸支座加1個(gè)懸臂柱組成剛片的基礎(chǔ)上，4次用二元體規(guī)則。實(shí)例實(shí)例5-27體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）體系由獨(dú)立3鏈桿簡(jiǎn)支支座支撐，先研究子體系。兩剛片規(guī)則：剛片Ⅰ(abc)和Ⅱ(def)由3鏈桿cd、ae和bf連接，且3鏈桿不交于一點(diǎn)，故構(gòu)成剛片Ⅲ。（27）無(wú)多…不變體系ⅠⅡⅢⅣabcdefghi再用兩剛片規(guī)則：剛片Ⅲ和地面剛片Ⅳ由3鏈桿ga、he和if連接，且3鏈桿不交于一點(diǎn)，故構(gòu)成無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）。Ⅳ要點(diǎn)：簡(jiǎn)支支座體系。用兩剛片規(guī)則先研究子體系；再用兩剛片規(guī)則與地連接。實(shí)例實(shí)例5-28體系是幾何可變體系（機(jī)構(gòu)）三剛片法則：以與地面相連的3個(gè)固定鉸支座abc為剛片Ⅰ，鏈桿de為剛片Ⅱ，鏈桿ef為剛片Ⅲ組成體系主體部分。連接這3個(gè)剛片的是1個(gè)鉸e和3根鏈桿ad、be和cf。要滿足僅有1個(gè)中間鉸的三剛片法則，其必要條件是要有4根鏈桿，現(xiàn)在缺少1根鏈桿。故，本體系是可變體系（機(jī)構(gòu)）。（28）可變體系abcⅠdefⅡⅢ要點(diǎn)：不滿足三剛片1鉸4鏈桿的規(guī)則。實(shí)例實(shí)例5-29體系是有1個(gè)多余約束的幾何不變體系（1次超靜定結(jié)構(gòu)）法1：利