2023-2024學(xué)年蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊全等模型：全等三角形中的常見五種解題模型（解析版）

專題04全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略

『匚【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】.................................................1

【解題模型二一線三等角模型】.............................................................5

【解題模型三三垂直模型】................................................................12

【解題模型四倍長中線模型1..............................................................................................17

【解題模型五倍長中線模型】..............................................................26

【典型例題】

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

方法模型總結(jié)：若四邊形中有兩對鄰邊D

相等(如圖)，常連接這兩對鄰邊的交點

構(gòu)造全等三角形解題.

例題：如圖，在四邊形A3C。中，于點8,CD,AD于點。，點E,尸分別在48,AD上，AE=AF,

CE=CF.

⑴若AE=8,CD=6,求四邊形AECT的面積；

(2)猜想SDAB,0ECF,SDBC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】⑴48

(2)^\DAB+SECF=20DFC,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接AC,證明朋CEmL4CF則S/ACE=S』AC尸，根據(jù)三角形面積公式求得S』ACF與S』ACE,根據(jù)S酸影

AECF=SAACF~\~SAACE求解即可；

(2)由MCE幽4c尸可得MCA=IZ]ECA,^\FAC=^EAC,^AFC=^AEC,根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角

性質(zhì)可得回C+回8萬。=回/。4+回剛C+團石CA+團E4C=?QA8+團EC?可得團D4B+團EC/=2團。尸。

(1)

解：連接AC如圖，

AE=AF

在她CE和她。尸^<CE=CF

AC=AC

^ACE^ACF(SSS).

^SAACE=SAACF,^FAC=^\EAC.

國CBMB,CD^\ADf

BCD=CB=6.

^SAACF=SAACE=^AE-CB=Ix8x6=24.

EIS.形AECF=S^ACF+SAACE=24+24=48.

(2)

0DAB+0ECF=20DFC

證明：aaACEasACF,

aaFCA=!3ECA,mC=0EAC,a4FC=EL4EC.

aazmc與EIAFC互補，EIBEC與EIAEC互補，

0EIZ)FC=0BEC.

甌。尸。=回尸。4+[3刑C,0BEC=0ECA+0EAC,

團團ZZFC+^\BEC=^IFCA+^\FAC+團ECA+團E4C

^DAB+WCF.

00DAB+0￡CF=2BDFC

【點睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.在四邊形A8OC中，AC^AB,DC=DB,0CAB=6O°,EICZ)B=120o,E是AC上一點，尸是A8延長線上一點,

且CE=BF.

(1)試說明：DE=DF：

⑵在圖中，若G在A8上且aEZ)G=60。，試猜想CE,EG,8G之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.

(3)若題中條件“EIC4B=60。，能為2=120°改為回CAB=a,fflCZ)B=180°-a,G在AB上，EIEDG滿足什么條件時，

(2)中結(jié)論仍然成立？

【答案】⑴見解析；

(2)CE+BG=EG,理由見解析；

(3)當(dāng)aEZ)G=90。-8時，(2)中結(jié)論仍然成立.

【解析】

【分析】

(1)首先判斷出=尸，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出ACDE三產(chǎn)，即可判斷出

DE=DF.

(2)猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出

AABDsAACD,即可判斷出/B/M=NCD4=60。；然后根據(jù)NEDG=60。，可得NCDE=NADG,

ZADE=ZBDG，再根據(jù)NCDE=NBDF，判斷出NEDG=ZFDG,據(jù)此推得ADEG三\DFG，所以EG=FG,

最后根據(jù)CE=3b,判斷出CE+3G=EG即可.

(3)根據(jù)(2)的證明過程，要使CE+3G=EG仍然成立，則NE￡>G=ZBD4=NCDA=gNCDB,即

ZEDG=-(180°-a)=90°--a,據(jù)此解答即可.

22

(1)

證明：vZC4B+ZC+ZCDB+ZABD=360o,ZC4B=60°,ZCDB=120°,

...ZC+ZABD=360°-60°-120°=180°,

又???NDBF+ZABD=180。,

,\ZC=ZDBFf

在ACDE和ABDF中,

CD=BD

<ZC=ZDBF

CE=BF

:.\CDE^\BDF(SAS),

，DE=DF.

⑵

解：如圖，連接AD,

猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.

證明：在和AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

:.AABD=/^ACD(SSS)f

ABDA=ZCDA=-ZCDB=-xl20°=60°,

22

又???NEDG=60。,

:.ZCDE=ZADG,ZADE=/BDG,

由(1),可得ACDE二ABDF,

:.ZCDE=ZBDFf

ZBDG+ZBDF=60°f

^ZFDG=60°,

:./EDG=4FDG,

在ADEG和ADFG中，

DE=DF

<ZEDG=NFDG

DG=DG

M)EG=M)FG(SAS),

:.EG=FG,

又YCEUBF,FG=BF+BG,

:.CE+BG=EG-

(3)

解：要使CE+3G=EG仍然成立，

則NEDG=ABDA=ZCDA=-ZCDB,

2

即NEOG=；(180°-a)=90°-ga,

.?.當(dāng)/￡/乂;=90。-工々時，CE+BG=EG仍然成立.

2

【點睛】

本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意

推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【解題模型二一線三等角模型】

方法模型總結(jié)：如圖，NB=NC=

N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有

關(guān)性質(zhì)易得/2=N3，N4=/5,

再加上任一組對應(yīng)邊相等，易證兩三角形全等.

例題：(2023春?七年級課時練習(xí))【探究】如圖①，點、B、C在的邊AM、AN上，點E、尸在—M4N

內(nèi)部的射線AD上，N1、/2分別是A45萬、VC4F的外角.^AB=AC,N1=N2=NBAC,求證：

VABE^VCAF.

【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，AB=AC,點。在邊BC上，CD=2BD,點E、F

在線段AD上，Z1=Z2=Z￡L4C,若"RC的面積為9,貝UAABE與ACDF的面積之和為.

B

圖①圖②

【答案】探究:見解析；應(yīng)用:

【分析】探究:根據(jù)=ABAC=ACAF+ABAE,得出NABE=NC4F,根據(jù)N1=N2,

得出NA￡B=NCE4,再根據(jù)AAS證明即可;

應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：^AABE=S①AF，進而得出3支"+1以尸=3?8，根據(jù)CD=2BD,AABC

2

的面積為9,得出山“”,=6’即可得出答案.

【詳解】探究

證明：^ZA^ABAE+ZABE,Z.BAC=Z.CAF+Z.BAE,

又EINBAC=N1,

SZABE=ZCAF,

0Z1=Z2,

SZAEB=ZCFA,

在AABE和vc4r中,

NAEB=NCFA

ZABE=ZCAF

AB=AC

0AAB￡^AC4F（AAS）；

應(yīng)用

解：^NABE^/CAF,

團^^ABE=S4F，

團S&CDF+^CAF="AC￡>’

138=23。，AABC的面積為9,

_2

團S&ACD=耳SMe=6,

回AABE與ACDF的面積之和為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在0ABC中，點。是邊8c上一點，CZ)=A8,點E在邊AC上，S.AD=DE,BBAD=SCDE.

⑴如圖1,求證：BD=CE；

⑵如圖2,若。E平分0AOC,在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與她。石相等的角(MOE除

外).

【答案】(1)見解析

(2)0￡￡>C,SBAD,SB,EC

【解析】

【分析】

(1)由"SAS"可證△A8QEHOCE,可得BD=CE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得SB=^C,由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求解.

(1)

證明：在0A8。和OOCE中，

AB=CD

<NBAD=ZCDE,

AD=DE

aaABoasocE(SAS),

^\BD—CE.

⑵

解：0EABD00DCE,

00B=0C,

配出平分EL4OC,

00ADE=0CZ)E=0BAD,

00AZ)C=站+EIBA。=SADE+SCDE,

EBB=0AZ?E=EIBA。=ELEZ)C=EIC,

團與她DE相等的角有回即C,EIBA。，0B,0C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定，明

確角度的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.已知C。是經(jīng)過ZBCA頂點C的一條直線，C4=CB.E、/分別是直線CD上兩點，且ZBEC=ZCFA=Za.

⑴若直線。經(jīng)過NBC4的內(nèi)部，且E、尸在射線8上，請解決下面問題：

①如圖1,若/BCA=90°,Za=90°,求證：BE=CF；

②如圖2,若/a+N3C4=180。，探索三條線段EF,BE,AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過N3C4的外部，Za=ZBCA,題(1)②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給

予證明；若不成立，請你寫出正確的結(jié)論再給予證明.

【答案】⑴①見解析；②EF=BE-AF,見解析

⑵不成立，EF=BE+AF,見解析

【分析】(1)①利用垂直及互余的關(guān)系得到/ACF=/CBE,證明A3CEgVC4F即可；②利用三等角模

型及互補證明NACF=NCBE,得到ABCE0VC4F即可；

(2)利用互補的性質(zhì)得到NEBC=NACF,證明ABCEgVC4r即可.

【詳解】(1)①證明：0EE±CD,AF±CD,ZACB=90°,

0ZBEC=ZAFC=90°,

0ZBCE+ZACF=90°,ZCBE+ZBCE=90°,

：.ZACF=NCBE,

在ABCE和VC4r中,

NEBC=NFCA

<ZBEC=ZCFA,

BC=CA

：.^BCEsNCAF(AAS),

:.BE=CF；

②解：EF=BE-AF.

證明：,：ZBEC=ZCFA=Za,Na+ZAC6=180。，

ZCBE=180O-ZBCE-Za,ZACF=ZACB-ZBCE=1800-Za-ZBCEf

：.ZACF=/CBE,

在△5CE和VC4r中，

ZEBC=ZFCA

<NBEC=/CFA,

BC=CA

：.ABCESNCAF(AAS),

ABE=CF,CE=AF,

：.EF=CF-CE=BE-AF；

(2)解：EF=BE+AF.

理由：?：/BEC=/CFA=/a,Na=NBCA,

又丁ZEBC=ZBCE=ZBEC=180°,N5CE+ZAC尸+ZAC6=180。，

:.ZEBC+ZBCE=ZBCE+ZACF,

:.ZEBC=ZACF,

在△BCE和VC4r中，

ZEBC=ZFCA

<NBEC=NCFA,

BC=CA

：.△BCE^VC4F(AAS),

：.AF=CE,BE=CF,

?：EF=CE+CF,

：.EF=BE+AF.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運用三等角模型快速證明三角形全等是解題關(guān)

鍵.

3.在直線加上依次取互不重合的三個點2A,E,在直線機上方有AB=AC,且滿足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

⑴如圖1,當(dāng)。=90。時，猜想線段。E,BO,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)0＜。＜180。時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由；

(3)應(yīng)用：如圖3,在AABC中，Zfi4c是鈍角，AB^AC,^BAD＜ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,直線加

與CB的延長線交于點P,若BC=3FB,AABC的面積是12,求△陽。與AACE的面積之和.

【答案】⑴。E=BO+CE

(2)DE=BD+CE仍然成立,理由見解析

⑶與ZXACE的面積之和為4

【解析】

【分析】

(1)由NBZM=N8AC=NAEC=90°得到N3AO+/Z)a4=90°,進而得到/DR4=

ZEAC,然后結(jié)合AB=AC得證△￡＞血1絲△01C,最后得到。E=BZ)+CE；

(2)由/BOA=NBAC=NAEC=a得到/BA_D+NEAC=/84O+/OBA=180°-a,進而得到/O8A=

ZEAC,然后結(jié)合A3=AC得證△OBAg^EAC,最后得到。E=BZ)+CE；

(3)由NBAQ＞/CAE,ZBDA^ZAEC^ZBAC,得出NCAE=NA8。，由AAS證得△AOB之△CAE,得

出SZ\ABO=S4CE4,再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出SAABF即可得出結(jié)果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

/BDA=ZBAC^ZAEC=90°,

AZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA^9Q°,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB^AC,

：./\DBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

?.?ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAD^ZEAC=ZBA￡)+ZJDBA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

\9AB=AC,

：.ADBA^AEAC(A4S),

：.BD=AEfAD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：?:/BADV/CAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZCAE=ZABD,

在△A3。和△CAE1中，

"NABD=/CAE

<NBDA=NCEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

:?S&ABD=SACAE,

設(shè)AABC的底邊3。上的高為h,則△ABb的底邊5/上的高為h,

：.SAABC=^BC^h=12,SAABF=；BF?h,

?；BC=3BF,

：.S^ABF=4,

9：SAABF=SABDF+SAABD=SAFBD+SAACE=4,

???AFBD與AACE的面積之和為4.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì).

【解題模型三三垂直模型】

方法模型總結(jié)：在三垂直模型中，利用余角的性質(zhì)尋求

兩直角三角形中一組角相等，再加上任一組對邊相等，

易證兩直角三角形全等，常見的模型如下：

例題：問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1,0ACB=90°,AC=BC,BESiMN,AD^\MN,

垂足分別為及D.圖中哪條線段與相等？并說明理由.

問題2：試問在這種情況下線段。及AD,8E具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由.

問題3：當(dāng)直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線的位置時，試問OE、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？請

寫出這個等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】問題1,AD=EC,證明見解析；問題2：DE+BE=AD；問題3：DE=AD+BE,證明見解析.

【分析】(1)由己知推出0AOC=EIBEC=9O°,因為ElAa)+MCE=90°,0DAC+AC￡)=9O°,推出EimC=l3BCE,根

據(jù)AAS即可得到0AOO2BCEB,即可得出AD=EC；

(2)由(1)得到AD=CE,CD=BE,即可求出答案；

(3)與(1)證法類似可證出0ACD=EIMC,能推出0AOO2HCEB,得到A￡)=CE,CD=BE,即可得到。E、

AD,之間的等量關(guān)系.

【詳解】解：(1)AD=EC；

證明：0AD0W,B限MN,

SSADC=S\BEC=90°,

回她。8=90°,

團RL4CD+R]8CE=90°,回。AC+RL4CD=90°

團回ZMC=?5CE,

^\ADC=^BEC,AC=BCf

西AOCWICEB,

^\AD=EC；

(2)DE+BE=AD；

由(1)已證她OCW1CE5,

^AD=EC,CD=EB,CE=AD

國CE=CD+DE=BE+DE=AD

即DE+BE=AD；

(3)DE=AD+BE.

證明：團3E0BC,AD^\CE,

回她。。=90°,團BEC=90°,

團團以C+團EC3=90°,

00ACB=9O°,

R]R]EC3+團ACD=90°,

m\CD=BCBEf

m^DC^BEC,AC=BCf

^\ADC^\CEBf

^\AD=CE,CD=BE,

國CD+CE=DC,

^1DE=AD+BE.

4書BB

圖1\N

【點睛】此題主要考查了鄰補角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的

條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強.

【變式訓(xùn)練】

1.在0ABe中，0BAC=9O°,AC=AB,直線A/N經(jīng)過點A,且CL回WN于。，B斑MN于E.

圖1圖2

⑴當(dāng)直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，ZEAB+ZDAC=度；

(2)求證：DE=CD+BE；

⑶當(dāng)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問。瓜CZ)、8E具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系,

并加以證明.

【答案】⑴90。

⑵見解析

(3)CD=BE+DE,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由回區(qū)4。=90?？芍苯拥玫絅E4B+/ZMC=90。；

(2)由C￡0MN,BE3\MN,得0Aoe=EIBEA=I3BAC=9O。，根據(jù)等角的余角相等得至幗。CA=EIEAB,根據(jù)A4S

可證△OCAEHEAB,所以AO=CE,DC=BE,即可得至！J=EA+A。=OC+BE.

(3)同(2)易證△OCAEBEAB,得到AD=CE,DC=BE,由圖可知=所以CD=BE+DE.

(1)

00BAC=9O°

ES￡AB+0Z)AC=18O°-0BAC=180°-90°=90°

故答案為：90°.

⑵

證明：EICO3MN于。，8E0MN于E

0EL4DC=0B￡A=0BAC=9OO

fflSDAC+SDCA=90°B.0DAC+ffl￡AB=9O°

0^\DCA=WAB

回在AOCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90°

<ZDCA=ZEAB

AC=AB

回△OCAEBEAB(AAS)

^AD=BE^.EA=DC

由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE.

(3)

EICOOMN于，BEE1MN于E

回0ADC=0BE4=E1BAC=9OO

0回DAC+I3￡)C4=9O°且回D4C+回KAB=90°

0SDCA=SEAB

回在△OCA和△EAB中

ZADC=NBEA=90°

<ZDCA=NEAB

AC=AB

S/\DCA^EEAB(AAS)

^\AD=BES.AE=CD

由圖可知：AE=AD+DE

ECD-BE+DE.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).

2.如圖，已知：在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線AW經(jīng)過點C,AD±MN,BELMN.

（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：AADC=AC￡B；

（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：DE=AD-BE,

（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問DE、AD.班具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出

這個等量關(guān)系：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD

【分析】（1）由已知推出0AOC=E18EC=9O°,因為0ACZ）+I32CE=9O°,0DAC+a4CD=9O",推出回D4c=E1BCE,

根據(jù)44s即可得到答案；

（2）結(jié)論：DE=AD-BE.與（1）證法類似可證出EACDWEBC,能推出EIAOCEBCEB,得至[]AO=CE,CD=BE,

即可得到答案.

（3）結(jié)論：DE=BE-AD.證明方法類似.

【詳解】解：（1）證明：如圖1,

0AD0Z）￡,BE3\DE,

0EL4DC=0BEC=9OO,

aaACB=90°,

EEIACZ）+0BCE=9OO,0Z）AC+a4CD=9O°,

S3\DAC=SBCE,

在財。C和EICEB中，

ZCDA=ZBEC

<ZDAC=ZECB,

AC=BC

aaADcmacEB（AAS）；

（2）如圖2,0B￡0￡C,ADU\CE,

00ADC=0BEC=9O",

ffl￡BC+EI￡CB=90o,

甌AC5=90°,

^\ECB^CE=90°,

m^CD=^EBC,

在她。。和團CEB中，

ZACD=ZCBE

<ZADC=/BEC,

AC=BC

WBADC^ICEB(AA5),

^\AD=CEfCD=BE,

^\DE=EC-CD=AD-BE.

(3)DE=BE-AD；

如圖3,mCB=90°,

^\ACD^BCE=90°

^ADC=^\CEB=90°9

團回ACD+團D4C=90°,

回回。AC二回EC3,

在朋C。和團C8E中，

ZADC=ZCEB

<ZDAC=ZECB,

AC=BC

^\ACD^\CBE(A4S),

^\AD=CEfCD二BE,

國DE=CD-CE=BE-AD.

【點睛】本題主要考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)己知證明0AC。釀CBE是

解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強.

【解題模型四倍長中線模型】

例題：(2023秋?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末)如圖，是AABC的中線，AB=10,BC=6,求中線的

取值范圍.

A

【分析】延長3。到E,使DE=8D,證明兩邊之和大于BE=23D,兩邊之差小于3E=2BD,證明三角形

全等，得到線段相等，等量代換得2<即<8.

【詳解】解：如圖，延長BD至E,使DE=BD,連接CE,

團AD=DC,

在△ABD和△CED中,

BD=DE

<ZADB=ZCDE

AD^CD

回△ABD也△CED(SAS),

EEC=AB=10,

在ABCE中，CE-BC<BE<CE+BC,BP10-6<SE<10+6,

04<5E<16,

04<2BD<16,

02<BD<8.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全

等三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在A4?C中，AD是3C邊上的中線.延長AD到點E,使連接BE.

A

⑴求證：AACD^AEBD；

⑵AC與BE的數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：；

(3)若/總C=90。，猜想與BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】⑴見解析

(2)AC=BE,AC//BE

(3)2AD=BC,證明見解析

【分析】⑴根據(jù)三角形全等的判定定理SAS,即可證得；

(2)由△ACD之班)，可得AC=3E,ZC=ZEBC,據(jù)此即可解答；

⑶根據(jù)三角形全等的判定定理SAS,可證得A54C式AABE,據(jù)此即可解答.

【詳解】(1)證明：?.?4￡)是8C邊上的中線，

/.BD=CD,

在△ACD與△￡5。中

'AD=ED

<ZADC=ZEDB,

BD=CD

.■.AACD^AEBZ)(SAS)；

(2)解：:AACDAEBD,

:.AC=BE,NC=NEBC,

AC//BE,

故答案為：AC=BE,AC//BE；

(3)解：2AD=BC

證明：;AACDWAEBD,

:.AC=BE,NC=ZEBC,

AC//BE,

■.■ZBAC=90°

:.ZBAC^ZABE=90°

在△BAC和△ABE中,

AB=BA

<ZBAC=ZABE=90°

AC=BE

.?.ABAC^AABE（SAS）,

:.BC=AE=2AD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運用全等三角形的判定

與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

2.(1)方法呈現(xiàn)：如圖1,在44BC中，若AB=10,AC=6,。為8C邊的中點，求8C邊上的中線AD的

取值范圍.

E

解決此問題可以用如下方法：

延長AD至點E,使DE=AD,再連接BE,可證△ACD絲從而把43,AC2AD集中在中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_(直接寫出范圍即可).這種解決問題的方法我們稱

為"倍長中線法

(2)知識運用：如圖2,在AABC中，。為8C的中點，AB=2,AC=6,且線段的長度為整數(shù).求AD

的長度.

【答案】(1)2<AD<8；(2)AD=3

【分析】(1)利用三角形的三邊關(guān)系，得到AB-AC<2AD<AB+AC,進而得出結(jié)論即可；

(2)倍長中線法，證明AECD絲AABD(SAS),三角形的三邊關(guān)系求出AD的取值范圍，即可得解.

【詳解】解：(1)由題意，AD=DE,BD=CD,ZADC=/EDB,

國AACD沿△EBD,

團BE=AC=6,

aAB—AC<2AD=AE<AB+AC,

即：4<2AD<16,

02<AD<8.

故答案為：2<AD<8.

(2)如圖，延長AD至點E,使DE=AD，連接CE.

因為。為BC的中點，

所以BD=CD.

在AECD和△?￡)中，

DE=AD

<ZEDC=ZADB,

CD=BD

所以AECD^AABD(SAS),

所以EC=AB=2.

因為AC—EC<AE<AC+EC,JELAC=6,AE=2AD,

所以6—2<2AD<6+2,

所以2<AD<4.

因為線段AD的長度為整數(shù)，

所以AD=3.

【點睛】本題考查全等是三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.熟練掌握倍長中線法，構(gòu)造全等三角

形，是解題的關(guān)鍵.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形.如圖，OA=OB,OC=OD,

0AOB=I3COD=9O。，回答下列問題:

B

P

⑴求證：AOAC和AOB。是兄弟三角形.

(2廣取2。的中點P,連接OP,試說明AC=2OP."聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講

的"中線倍長"的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題.

①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造△BPflaaDPO,并證明BE=OD；

②求證：AC=2OP.

【答案】(1)見解析

⑵①見解析；②見解析

【分析】(1)證出0Aoe+a800=180。，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；

(2)①延長。尸至E,使PE=OP,證明"尸砸回射。(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出8E=OD；

②證明△EB6MC0A(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出。氏AC,則可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：0EL4OB=0CO￡?=9O°,

^OC+SBOD=360°-SAOB-SCOD=360o-90Q-90°=180°,

又她。=。2,OC=OD,

00OAC和回是兄弟三角形；

(2)①證明：延長OP至E,使PE=OP,

回尸為8。的中點,

回8尸二尸。，

又團團3尸石二團0P0,PE=0P,

團回3尸況回。尸0(SAS),

^\BE=OD；

②證明：回回3尸況回。尸0,

團團石二團。。尸，

團BE〃OD,

團團￡30+團300=180°,

又團團5OD+MOC=180°,

團團E8O=aAOC,

⑦BE=OD,OD=OCf

國BE=OC,

又團OB=OA,

團團EBO團團COA(SAS),

^lOE=ACf

又同0E=20P,

^AC=2OP.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

4.閱讀理解

在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

如圖1,AD是44BC的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍.我們可以延長AD到點M,使DM=AO,

連接易證△ADCZ&WDB,所以3M=AC.接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得？

的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是；

類比應(yīng)用

如圖2,在四邊形ABC。中，AB〃/)C,點E是8c的中點.若AE是ZB4￡＞的平分線，試判斷AB,AD,

DC之間的等量關(guān)系，并說明理由；

拓展創(chuàng)新

如圖3,在四邊形ABC。中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點尸，點E是BC的中點，若AE是4AF的

平分線，試探究AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論.

圖3

圖1

【答案】閱讀理解：1<AD<6

類比應(yīng)用：DC+AB=AD

拓展創(chuàng)新：AF+CF=AB

【分析】閱讀理解：由全等的性質(zhì)推出BM=AC=5,再根據(jù)可得結(jié)論.

類比應(yīng)用：延長AE,DC交于點F,先證AABE0AFEC得CF=AB,再由AE是的平分線知

ZBAF=ZFAD,從而得"W=NF,據(jù)此知=F，結(jié)合OC+CF=。9可得答案.

拓展創(chuàng)新：延長AE,?？诮挥邳cG,根據(jù)平行和角平分線可證AF=bG,也可證得"BE四△GCE,從而

可得AB=CG,即可得到結(jié)論.

【詳解】閱讀理解：由題可知，乙ADCQAMDB,

^\AC=BM=5.

^\AB-BM<AM<AB+BM,AB=7.

02<AM<12,

02<2AD<12,

01<AD<6.

故答案為：1<AD<6.

類比應(yīng)用：DC+AB=AD.理由如下:

如圖1,延長AE,0c交于點尸.

A

^ZBAF=ZF.

CE=BE,

在AABE和△尸C￡中，｛/BA尸=NR

ZAEB=/FEC,

團△A3E^FEC(AAS),

^CF=AB.

團AE是25W的平分線，

^ZBAF=AFAD,

^\ZFAD=ZF,

回AD=DF.

回DC+CF=DF,

^DC+AB=AD.

拓展創(chuàng)新：如圖2,延長AE,。尸交于點G.

A

G

圖2

^ABIICD,

回ZBAG=NG.

CE=BE,

在AABE和AGCE中，\ZBAG=ZG,

NAEB=ZGEC,

IBAABE名AGEC(AAS),

0CG=AB.

回AE是/BA尸的平分線，

0ZJ?AG=ZG4F,

^ZFAG=ZG,

SAF=GF.

^FG+CF=CG,

EIAF+CF=AB.

故答案為：AF+CF=AB.

【點睛】本題是三角形的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平分線的定

義、平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識點，綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線，倍長中線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【解題模型五倍長中線模型】

例題：如圖，AB=AC,AE=AD,ZCAB=ZEAD=a.

E

(1)求證：AAEC^AADB；

(2)若c=90。，試判斷5D與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明;

(3)若NC4B=/E4D=a,求NCE4的度數(shù).

【答案】(1)見詳解；(2)BD=CE,BD^CE-,(3)90°-^

【分析】(1)根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；

(2)由(1)0AECB0AQ8可知且C￡03。；利用角度的等量代換證明即可;

(3)過A分別做AMSCE,AW3BD,易知AF平分配PC,進而可知EISl

【詳解】(1)^\CAB=^EAD

SS\CAB+SBAE=^EAD+^BAE,

00CAE=0BA￡),

0AB=AC,AE=AD

在EIAEC和她。8中

AB=AC

<ZCAE=ZBAD

AE=AD

0^AEC^EADB(SAS)

(2)且C￡0B。，證明如下：

將直線CE與AB的交點記為點O,

由(1)可知EIAECEHADB,

ECE=BD,EL4CE=^ABD,

S3\B0F=^\A0C,0a=90°,

0^BFO=^CAB=^a=90°,

0CE^BD.

E

(3)過A分別做AMUCE,ANSBD

由⑴知EAECEBADB,

回兩個三角形面積相等

故AMCE=ANBD

^\AM=AN

朋廠平分團。尸。

由（2）可知回3尸C二團5AC=a

MDFC=180°-?

1oc

00CM=-0Z）FC=90°一一

22

E

【點睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵；

【變式訓(xùn)練】

1.問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,已知C為線段A3上一點，分別以線段AC,8C為直角邊作等腰直角三角形，

ZACD=90°,CA=CD,CB=CE,連接AE,BD,線段AE,8。之間的數(shù)量關(guān)系為；位置關(guān)系

為.

拓展探究：如圖2,把Rt^ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AE,BD交于點、F,則AE與之間的關(guān)系是否

仍然成立？請說明理由.

【答案】問題發(fā)現(xiàn)：AE=BD,AE1,BD；拓展探究：成立，理由見解析

【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證瓦aDCB,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；

拓展探究：用SAS證AACE三ADCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得.

【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長8D交AE于點凡如圖所示：

團NACO=90°,

^ZACE=ZDCB=90°,

又聞CA=CD,CB=CE,

^\\ACE=NDCB(SAS),

AE=ED,ZCAE=ZCDB,

也NCDB+/CBD=90°,

ZCAE+ZCBD=90°,

回ZAFD=90°,

^AF±FB,

:.AE.LBD,

故答案為：AE=BD,AE±BD；

拓展探究：成立.

理由如下：設(shè)CE與5。相交于點G,如圖1所示:

BZACD=ZBCE=90°,

國NACE=NBCD,

又團C5=CE,AC=CD,

BAACE=ADCB(SAS),

國AE=BD,ZAEC=ZDBC,

^ZCBD+ZCGB=90°,

回ZAEC+NEGb=90°,

0ZAFB=90°,

0BD1AE,

即AE=BD,AE_LB￡）依然成立.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定

和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵.

2.如圖，在AABC中，AB=BC,0ABe=120。，點。在邊AC上，且線段8D繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

120。能與8E重合，點F是皮?與A8的交點.

（1）求證：AE=CD；

（2）若aD2C=45。，求的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）fflBFE=105°.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明0AB￡盟B。（S4S）,進而得證；

（2）由（1）得出aDBC=0A8E=45。，BD=BE,0EBD=12O°,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行求解即可.

【詳解】（1）證明：團線段繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。能與BE重合，

SBD=BE,SEBD=120°,

0AB=BC,0ABe=120°,

^EABD+^iDBC=SABD+SABE=120°,

BSDBC^^ABE,

miBESS\CBD（SAS）,

BAE=CD；

（2）解：由（1）知EIZ）8C=0ABE=45°,BD=BE,BiEBD^120°,

00B￡D=0B￡）E=1（180°-120°）=30°,

180°-SBED-HABE

=180°-30°-45°=105°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是

解題的關(guān)鍵.

3.如圖，已知AABC和△?1￡尸中，ZB=NE,AB=AE,BC=EF,NEAB=25°,ZF=57°,線段BC分

別交AF,EF于點V,N.

(1)請說明NE45=NE4c的理由；

(2)AABC可以經(jīng)過圖形的變換得到AA即，請你描述這個變換；

(3)求NAMB的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)通過觀察可知AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25。，可以得到△AEF；(3)ZAMB=82°

(分析】(1)先利用已知條件回8=貼,AB=AE,BC=EF,利用SAS可證HABCaaAEF,那么就有EIC=I3凡SBAC=SEAF,

刃B么囿%C-回以人回EAR困％F,即＜0BAE=EICAF=25°；

(2)通過觀察可知0ABe繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25。，可以得到0AEB

(3)由(1)知EIC=EIF=57°,0BA￡=0CAF=25°,而0AMe是0ACM■的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求EIAM3.

【詳解】解：(1)回NB=NE,AB=AE,BC=EF,

回△ABC=^AEF,

團NC=N尸，ZBAC=ZEAFf

團ZBAC-ZPAF=ZEAF-ZPAF,

0ZBAE=ZC4F=25°；

(2)通過觀察可知△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25。，可以得到△?!￡/；

(3)由(1)知NC=zT=57。，ZBAE=ZCAF=25°,

0ZAMB=NC+NC4F=57。+25。=82°.

【點睛】本題利用了全等三角形的判定、性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等式的性質(zhì)等.

4.在a通48c中，0ACB=9O。，CA=CB,點。是直線AB上的一點，連接。，將線段繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CE,連接班.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)點。在線段A8上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段80、AB,即的數(shù)量關(guān)

系為；

(2)猜想論證

當(dāng)點。在直線AB上運動時，如圖2,是點。在射線AB上，如圖3,是點。在射線8A上，請你寫出這兩

種情況下，線段8。、AB.即的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；

(3)拓展延伸

若AB=5,BD=7,請你直接寫出SADE的面積.