5類圓錐曲線解題技巧（焦點三角形、阿基米德三角形、焦點弦、中點弦、弦長問題（硬解定理-萬能公式））-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型225類圓錐曲線解題技巧

（焦點三角形、阿基米德三角形、焦點弦、中點弦、弦長問題（硬解

定理-萬能公式）

技法01圓錐曲線中焦點三角形的應(yīng)用及解題技巧

技法02圓錐曲線中阿基米德三角形的應(yīng)用及解題技巧

技法03圓錐曲線中焦點弦的應(yīng)用及解題技巧

技法04圓錐曲線中中點弦的應(yīng)用及解題技巧

技法05圓錐曲線中弦長問題（硬解定理-萬能公式）的應(yīng)用及解題技巧

I_________________________________________________________________________________________________________________________

技法01圓錐曲線中焦點三角形的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

圓錐曲線的焦點三角形及其相關(guān)計算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要

會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí)

知識遷移

1.橢圓焦點三角形主要結(jié)論

在/P&F2中，記N&PF2=仇橢圓定義可知:

(1).\PF1\+\PF2\=2a,\F1F2\=2c.

（2）.焦點三角形的周長為L=2a+2c.

2b2

(3)\PF||PF\=

12l+cos0

2

（4）.焦點三角形的而積為：S=抑&IIPF2|sin0=btan|.

2.雙曲線焦點三角形主要結(jié)論

如圖，&、是雙曲線的焦點，設(shè)尸為雙曲線上任意一點，記=e,則的面積=上;

F2ZF1PF2s

tan-

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1-1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)用，鳥為橢圓C：：+/=1的兩個焦點，點尸在C上，若麗?成=0,

則歸周?［尸閭=（）

A.1B.2C.4D.5

B層巧，點點G

【法一】因為班?班=0,所以/兩6=90。，從而％必=后tan45o=l=gx|wHPK］,所以|尸7訃歸國=2.

【法二】因為西?班=0,所以/gg=90。，由橢圓方程可知，c?=5-l=4nc=2,

所以「制2+1尸圖2=閨耳「=42=16,又歸娟+|尸閭=2°=2石，平方得：

|尸周2+|%J+2|尸劃尸閶=16+2|尸劃尸閶=20,所以|尸7訃|尸閭=2.

例1-2.（全國?高考真題）設(shè)工為雙曲線!一尸=［的兩個焦點，點p在雙曲線上，且滿足/耳尸舄=90。,

則的面積為（）

A.75B.2C.&D.1

2

解題

2

【法一】APFiF2的面積S=\h=l

tan2-

【法二】設(shè)1尸耳1=羽上鳥1=＞。＞、），???丹，尸2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，.?.x—y=4,

22222

?.?/FiPF?=90°,x+y=20f2xy=x+y-（x-y）=4,.,.xy=2,:.^FlPF2的面積為^孫二1.

故選：D

唁4人知識遷移強化

22

I.（上海?高考真題）已知/?；、￡是橢圓C?二+二I（。>力>0）的兩個焦點，P為橢圓。上一點，

A2b2

且Pl\1/平:?若八〃/?；/?；的面積為9，則/>=.

22

2.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）已知點尸是橢圓三+匕=1上一點，橢圓的左、右焦點分別為耳、F2,且

259

cos則△尸片鳥的面積為（）

9、歷/—

A.6B.12C.D.2<2

3.（全國?高考真題）已知下、工為雙曲線C：x2-y2=l的左、右焦點,點p在c上,回耳pB=60。，則|尸耳H尸圖=

A.2B.4C.6D.8

22

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)百，尸?是雙曲線?-己=1的兩個焦點，尸是雙曲線上的一點，且

3|尸娟=5|尸閶，則△時瑪?shù)拿娣e等于（）

A.24B.15A/2C.12百D.30

技法02圓錐曲線中阿基米德三角形的應(yīng)用及解題技巧

喟寶?常見題型解讀

阿基米德三角形問題及其相關(guān)計算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會

結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí).

知識遷移

1.橢圓中的阿基米德三角形

22

設(shè)橢圓琶=l（a>b>0）的弦為AB,過4,8兩點做橢圓切線，交于Q點，稱△4BQ為阿基米德

三角形，則有：

性質(zhì)弦繞著定點P（m,）轉(zhuǎn)動時，則其所對頂點Q落在直線%=-±.

1:AB0m

其中，當(dāng)P點為左（右）焦點時，Q點位于左（右）準線上.

性質(zhì)2:直線AQ,PQ,BQ的斜率成等差數(shù)列，即kPQ=kAQ+kBQ.

性質(zhì)3:當(dāng)P點為焦點時，PQ1AB.

2.雙曲線中的阿基米德三角形

22

設(shè)雙曲線C曝-a=l(a,6>0)的弦為AB,XLA,B兩點做雙曲線切線，交于Q點，稱AABQ為阿基米

德三角形，則有：

性質(zhì)1:弦AB繞者定點P(m,0)轉(zhuǎn)動時，則其所對頂點Q落在直線x=?上.

其中，當(dāng)P點為左(右)焦點時，Q點位于左(右)準線上.

性質(zhì)2:直線AQ,PQ,BQ的斜率成等差數(shù)列，即kPQ-kAQ+kBQ.

性質(zhì)3:當(dāng)P點為焦點時，PQ1AB.

3.拋物線中的阿基米德三角形

拋物線的弦為AB.xfA,B兩點做拋物線切線，交于Q點，稱為阿基米德三角形，則有：

(1)阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸

(2)若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線

(3)若直線I與拋物線沒有公共點，以I上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點(若直線I方程

為：ax+by+c=0,則定點的坐標為一當(dāng))

(4)底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為

(5)若阿基米德三角形的底邊過焦點，頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小值為p2

(6)在阿基米德三角形中，AQFA=4QFB

(7)\AF\■\BF\=\QF\2.

(8)拋物線上任取一點I(不與A,B重合)，過I作拋物線切線交Q4QB于S,T,連接Al,BI,則△

ABI的面積是AQST面積的2倍

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2.(2022,全國,高三專題練習(xí))過拋物線y2=2px(p>0)的焦點/作拋物線的弦，與拋物線交于A,5兩

點，分別過A,B兩點作拋物線的切線4，4相交于點尸，ARIB又常被稱作阿基米德三角形.的面

積S的最小值為（）

A/B加

C.p2D.0P2

32

技巧點撥o

設(shè)Aa,%）,B（x2,y2）,由題意可得直線AB的斜率不為0,

因為直線AB過焦點1,0J,所以設(shè)直線AB的方程x=…個

y=4x

22

聯(lián)立(p^y-2mpy-p=0,所以％+%=2期,%%=-P?，

x=my+—

|AB|=71+m27(%+%y-4y[%=2°(1+，叫

由拋物線的性質(zhì)可得過點A（為，M），3（%，%）的拋物線的切線方程為：網(wǎng)=P（x+%）,）%=P（x+32），

聯(lián)立戶=0得x=芋=一”=汨21=mp,即pL^-,mp\.點P到直線的距離d=叩+叫,

7

[?2=P（x+X2）2P2212）Tl+m

i3

SAPAB=—\AB\d=p2（l+/）2>p2當(dāng)且僅當(dāng)根=0時取到最小值.故選：C.

喘篇i?知識遷移強化

1.（2023秋?江西上饒?高三統(tǒng)考期末）（多選）若M（LO）,N（4,0）,點。滿足|函卜斗西記點Q的軌

跡為曲線C,直線/:x+y-4=0,尸為/上的動點，過點尸作曲線C的兩條切線Q4,PB,切點為A,B,

則下列說法中正確的是（）

人.歸。|的最小值為20-2

B.直線A8恒過定點（U）

C.可.聞的最小值為0

D.當(dāng)|尸。卜|4回最小時,直線AB的方程為x+V-l=0

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線C:f=2py（p>0）的焦點到原點的距離等于直線/:x-4y-4=0

的斜率.

P

（1）求拋物線C的方程及準線方程；

（2）點尸是直線/上的動點，過點尸作拋物線C的兩條切線，切點分別為A,B,求ABIB面積的最小值.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）拋物級爐=2刀（0>0）的焦點尸到直線>=/的距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線丫=區(qū)+1交拋物線于A&,%），B值,%）兩點，分別過A,B兩點作拋物線的兩條切線，

兩切線的交點為P,求證：PF±AB.

技法03圓錐曲線中焦點弦的應(yīng)用及解題技巧

甲旦高考?常見題型解讀

圓錐曲線的焦點弦及其相關(guān)計算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)

合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí).

知識遷移

1.橢圓的斜率式焦點弦長公式

22

（1）月，居為橢圓C：二+4=1（?！等恕?）的左、右焦點，過耳（或工）斜率為左的直線/與橢圓。交于A,3

ab

2ab2(l+k2)

兩點，貝U|A5|=

a2k2+b2

22

⑵為橢圓C：號+a=1(?！?〉0)的下、上焦點，過《(或心)斜率為左的直線/與橢圓c交于A3

2ab-(l+k2)

兩點，貝!J|AB|=

a2+b2k2

2.雙曲線的斜率式焦點弦長公式

(1*1，尸2為雙曲線C:《—《=l(a〉0">0)的左、右焦點，過&斜率為k的直線I與雙曲線交于48兩點,

則

(1)4,B在同支弦，\AB\=2ab^+^

2ab2(1+砂)

(2)4,B在異支弦，\AB\=

b2-a2k2

綜合⑴⑵可統(tǒng)一為力B|=等翳

22

(2)&,尸2為雙曲線?？卡Dl(a>0,6>0)的上、下焦點，過&斜率為k的直線I與雙曲線交于4B兩點,

則

2aZ?2(l+fc2)

(1)4B在同支弦，\AB\=

a2-b2k2

2ab2(1+k2)

(2)4,B在異支弦，\AB\=

b2k2-a2

2ab2(1+左2)

綜合⑴⑵可統(tǒng)一為:|AB|=

\a2-b2k2\

3.橢圓的傾斜角式焦點弦長公式

(1)&,尸2為橢圓C:/+，=l(a>6>0)的左、右焦點，過尻傾斜角為。的直線/與橢圓C交于4B兩點，則

\AB\=———=———

a2-c2cos2G1-e2cos26

其中，焦準距(焦點到相應(yīng)準線的距離)為P=/-d=9

(2)&尸2為橢圓C:《+V=l(a>6>0)的上、下焦點，過F1傾斜角為。的直線/與橢圓C交于4B兩點，則

1\AB\1=a—2-—c2si—n20=—l-e—2si—n20

其中，焦準距(焦點到相應(yīng)準線的距離)為p=F-c|=?

特殊情形，對于焦點在久軸上的橢圓，當(dāng)傾斜角為8=90。時，即為橢圓的通徑，通徑長=2ep=子.

4.雙曲線的傾斜角式焦點弦長公式

⑴&,尸2為雙曲線。：捻一冬=l(a>0,b>0)的左、右焦點，過F］傾斜角為0的直線2與雙曲線交于4B兩點,

貝！I\ABI=————=————

入“1\a2-*4c2cos20］|l—e2cos2例

其中，焦準距(焦點到相應(yīng)準線的距離)為p=F-d=9

22

(2)&,尸2為雙曲線。噌―標=l(a>0,b>0)的上、下焦點，過&傾斜角為。的直線/與雙曲線交于48兩點,

貝IJI4BI=————=————

|a2-c2sin20||l-e2sin20|

其中，焦準距(焦點到相應(yīng)準線的距離)為p=I9-d=9

特殊情形，對于焦點在x軸上的雙曲線，當(dāng)傾斜角為8=90。時，即為橢圓的通徑，通徑長|48|=2ep=?.

5.拋物線的的傾斜角式焦點弦長公式

(1)焦點在%軸上，=世

sm/

(2)焦點在y軸上，|4B|=彗

cos/

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-1.(2022?全國?高三專題練習(xí))過雙曲線/-丁=4的右焦點歹作傾斜角為150。直線，交雙曲線于A,2

兩點，求弦長|AB|.

［解題

技巧點撥o

I_2ab_____2x2x4

由雙曲線爐―產(chǎn)=4得〃=匕=2,c=20,又6=150。所以Ic2cos2@一Q3"

II4—oX一

4

例3-2.(山東?統(tǒng)考高考真題)斜率為由的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A,B兩點，則|他|

技巧點撥o

【法一】先求出傾斜角，代入|4引=駕求解即可

sm20

【法二】解得玉=；,々=3

7

所以|AB|=J1+A\xi—x21=Vl+3-13——1=--

33

【法三】A=100-36=64>0

設(shè)A(X],必),B(x2,%)，則玉+%=>

過A3分別作準線戶-1的垂線，設(shè)垂足分別為C。如圖所示.

\AB|=|AF\+\BF\=4AC\+\BD\=xl+l+x2+l=%+(+2告

故答案為：—

1^*14?知識遷移強化

1.(全國?高考真題)已知直線y=?x+2)(Q0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若

|剛=2四，貝I]k=

A1RV2r220

3333

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)(多選)設(shè)。為坐標原點，直線y=-正(％-1)過拋物線C：V=2px(p>0)

的焦點，且與C交于N兩點，/為C的準線，則().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.AOMN為等腰三角形

3.(2023?北京?人大附中?？既?已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為R過點廠的直線與該拋物線交于

A,2兩點，|AB|=10,AB的中點橫坐標為4,則。=.

技法04圓錐曲線中中點弦的應(yīng)用及解題技巧

喟1?常見題型解讀

圓錐曲線的中點弦及其相關(guān)計算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)

合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí).

知識遷移

1.橢圓中點弦斜率公式

(1)若M(x0,y0)為橢圓S+，=l(a>6〉0)弦28的中點，有

=_*=e2-1

22

(2)若M(x0,y0)為橢圓。+肩=l(a>b>0)弦AB的中點,有

kAB-^oM=*=巖

2.雙曲線的中點弦斜率公式

(1)若M(x0,y0)為雙曲線51弦4B(AB不平行y軸)的中點，貝|

b2

%B,k()M=至=e?-1

(2)若M(x0,y0)為雙曲線，一總=1弦AB(AB不平行y軸)的中點，則

]]a21

%B,MM=爐=e2_i

3.拋物線的中點弦斜率公式

(1)若M(x,y)為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點，則k=—

00ABy。

2

⑵若M(x0,y0)為拋物線x=2py弦AB(AB不平行y軸)的中點，則kAB=￡

4.中點弦斜率拓展

在橢圓^+5=1中，以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率k=一孕；

在雙曲線馬-1=1中，以POo,y°)為中點的弦所在直線的斜率k=孕；

在拋物線y2=2p%(p>0)中，以P(%o，y())為中點的弦所在直線的斜率k=—

yo

5.橢圓其他斜率形式拓展

22

橢圓的方程為與+當(dāng)=1(a>b>0)，A，A,為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點,

ab

b2

則有KpAKps——y

橢圓的方程為二+斗=1(a>b>0),綜8為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點,

ab

b2

則有Kpr&oKrD——-

\PB2[2

22

橢圓的方程為二+gy=l(a>b>0)，過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于A3兩點

a~b~

b2

的任一點，則有KPAKPB7

6.點差法妙解中點弦問題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為AO1,月)、BO2,%)，

將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減

少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

(1)設(shè)點：若4(Xi，yi),B(*2，y2)是橢圓9+2=l(a>b>0)上不重合的兩點，則

'五+五=1

a2+b2~

久22y2?

出+鏟—1

⑵作差：兩式相減得妥a+)=0,

(3)表斜率：左二及是直線AB的斜率k,(弩,左手)是線段AB的中點(%0,y0)，

%1-％2\22/

%+了2.yif-40也.k=~~2^此種方法為點差法。

化簡可得zz

Xi+%2Xt-%2ax0a

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

22

例4.(全國?高考真題)已知橢圓，+2=l(a>b>0)的右焦點為F⑶0),過點F的直線交橢圓于A、B兩點.若

ab

AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為

x2v222

A.—+^=1B.二+」1

45363627

22

D.土+匕=1

189

【法一】kAB.k°M=—號，解得號因為c=3,所以一=9,。2=18.

azaz

田+3-1

-2T-172

【法二】設(shè)4再，%)、8(々，當(dāng))，所以";b,,運用點差法，所以直線A3的斜率為左=。，設(shè)直線方

逗+&=1a~

,a2b2~

程為y=：(x-3),聯(lián)立直線與橢圓的方程(片+的尤2-6/工+%2一/=0,所以％+x,=_J=2；又因

aa+b

為。2_廿=9,解得。2=9,/=18.

喘磊而?知識遷移強化

1.(重慶?高考真題)直線/與圓爐+寸+2》-4〉+“=0("3)相交于兩點人，B,弦AB的中點為(0,1),則

直線/的方程為.

2.（江蘇?高考真題）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為尸（V7.0）,直線y=x-l與其相交于N兩

點，若MN中點的橫坐標為-。2，則此雙曲線的方程是

2222

A.二-匕=1B.工-匕=1

3443

r2y2r2y2

5225

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知直線/與橢圓￡+?=1在第一象限交于A,B兩點，/與x軸，y軸分別

交于M,N兩點，且|MA|=|N8|,|MN|=2^,則/的方程為.

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)A,8為雙曲線爐-1=1上兩點，下列四個點中，可為線段A8中點的是

（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

5.（全國?高考真題）已知橢圓C：，+，=l（a>b>0）的離心率為［，點（2,應(yīng)）在C上

（1）求C的方程

（2）直線/不過原點。且不平行于坐標軸，/與C有兩個交點A3,線段的中點為證明：直線的

斜率與直線/的斜率的乘積為定值.

技法05圓錐曲線中弦長問題（硬解定理-萬能公式）的應(yīng)用及解題技巧

喟1?常見題型解讀

圓錐曲線的弦長萬能公式（硬解定理）及其相關(guān)計算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體

命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí).

知識遷移

1.弦長公式

若直線/：y=C+〃與圓雉曲線相交于4（和%）,3（々,％）兩點，則弦長

|AB

卜「為卜%+為)-一4%%

2.圓錐曲線弦長萬能公式(硬解定理)

設(shè)直線方程為：y=kx+b(特殊情況要對k進行討論)，

圓錐曲線的方程為：=0,把直線方程代入曲線方程，

可化為ax2+b%+c=0(aW0)或(。)/2+foy+c=0),(a0),

設(shè)直線和曲線的兩交點為4(%1，%)1(%2斤2)，求根公式為

—b±7b2_4ac

x=---------------------

2a

(1)若消去y,得a/+6工+c=0(aH0)

則弦長公式為：

222

\AB\=7(^1-x2)+(yi-y2)=71+k-ki-x2|

22

="+k2?—b+y/b—4ac—b—\b—4ac

2a