5類平面向量解題技巧（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、范圍與最值問題）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型125類平面向量解題技巧

（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、

奔馳定理與三角形四心問題、范圍與最值問題）

技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧

技法02系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧

技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧

技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧

技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧

需高N?常見題型解讀

“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握

知識(shí)遷移

形如汨=+條件的應(yīng)用（“爪子定理”）

，，爪，，字型圖及性質(zhì)：入

（1）已知通，/為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量沏，必存在羽y,使得/\

AD=xAB+yAC。則B,C,D三點(diǎn)共線ox+y=

當(dāng)0<x+y<l,則。與A位于同側(cè)，且。位于A與之間

當(dāng)x+y>l,則。與A位于兩側(cè)

x+y=l時(shí)，當(dāng)x>0,y>0,則。在線段上；當(dāng)孫<0,則。在線段延長線上

（2）已知0在線段上，S.\BE\;\CD\=m;n,則詬=恁

m+nm+n

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1-1.（全國?高考真題）設(shè)。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且配=3①，則（）

A.AD=--AB+-ACB.~AD=-AB--AC

3333

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

__i_____,2____________________________________?

例12（2023江蘇模擬）如圖，在AABC中，AN=-NC,尸是BN上的一點(diǎn)，若衣=機(jī)通+―

311

則實(shí)數(shù)"2的值為（）

9532

A.——B.—C.—D.—

11111111

技巧點(diǎn)撥o

解：觀察到8,P,N三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得

AP=tnAB+nAN,且加+”=1,由病=!覺可得病=!恁，

34

__kkkk2__?1283

所以AP=7〃ABH"—nAC,由已知AP="?ABd----AC可得：—n=一=>n=一，所以加=一

4114111111

答案：C

叫翁福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，點(diǎn)。在邊A3上，3D=2ZM.記m=麗包=萬，則而=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2HD.2m+3n

2.（全國?高考真題）在“5C中，AB=c,AC=b.若點(diǎn)。滿足SD=2配，則而=（）

21-5-221-12-

A.—br+—cB.—c——rbC.—rb——cD.—rb+—c

33333333

3.（2020?新高考全國1卷?統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形點(diǎn)￡,尸分別是A5,的中點(diǎn)（如

圖所示），設(shè)通=苕，AD=b,則麗等于（）

C.如商1一

D.—〃+/?

2

4.（全國?高考真題）在團(tuán)A3c中，AZ）為3C邊上的中線，E為的中點(diǎn)，則麗=

3—1.1一3--

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3-1—1—.3-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

12

5.（江蘇?高考真題）設(shè)D、E分別是AABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，AD=-AB,BE^-BC.若

DE=^AB+^AC（4,辦為實(shí)數(shù)），則4+4的值是

技法02系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧

喟寶?常見題型解讀

近年，高考、模考中有關(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問題時(shí),

往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點(diǎn)

共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算,

數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時(shí)也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用

知識(shí)遷移

如圖，P為AAOB所在平面上一點(diǎn)，過O作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP-xOA+yOB

下面根據(jù)點(diǎn)P的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和x+y的值

①若尸w/時(shí)，則射線OP與/無交點(diǎn)，由///AB知，存在實(shí)數(shù);L使得9=4通

而通=礪—函，所以而=4朝—4函，于是x+y=2-2=0

②若尸時(shí)，

(i)如圖1,當(dāng)尸在/右側(cè)時(shí)，過P作CD//AB,交射線0A,08于C,。兩點(diǎn)，貝U

AOCD?AOAB,不妨設(shè)AOCD與AOAB的相似比為k

由P,C,。三點(diǎn)共線可知：存在XeH使得：

OP=WC+(1-A)OD=kAOA+左(1—2)05

所以x+y=左2+左(1-/I)=左

(ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時(shí)，射線OP的反向延長線與A3有交點(diǎn)，如圖1作尸關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)尸'，由(i)

的分析知：存在存在XeH使得：

OP'=WC+(1-2)00=kAOA+(1-㈤而

所以赤=-kAOA+-(1-MOB

于是x+y=-左2+-左(1-2)=-k

綜合上面的討論可知：圖中9用34,礪線性表示時(shí)，其系數(shù)和x+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。

因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過。作A3邊的垂線

I0P'\

設(shè)點(diǎn)P在/'上的射影為P,直線/'交直線A3于點(diǎn)《，則|左|=后才(左的符號(hào)由點(diǎn)P的位置確定)，因

此只需求出\0P'\的范圍便知x+y的范圍

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2-1.（全國?高考真題）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若

AP=/tAB+^AD）則幾+〃的最大值為

A.3B.272C.75D.2

[解題

技巧點(diǎn)撥o

【系數(shù)和】

分析：如圖，

由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€/與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)

,AFAB+BE+EF3AB°

4+,==-------=--=3,

ABABAB

故選A.

例2-2.（衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形ABCD跖中，動(dòng)圓。的半徑為1,圓心在線段（含短點(diǎn)）

上運(yùn)動(dòng)，尸是圓。上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量=+,則zn+〃的取值范圍是（）

A（l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

__AG2AB

分析:如圖，設(shè)APkumAB+aA/7，由等和線結(jié)論，m+n==-----=2.此為m+〃的最小值;

ABAB

—.—.—.AH

同理，設(shè)AP=mA3+〃AF,由等和線結(jié)論，m+n=——=5.此為m+〃的最大值.

AB

綜上可知加十幾w[2,5].

例2-3.已知AABC為邊長為2的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P在以為直徑的半圓上.若福=幾通+〃/，則

24+〃的取值范圍是

技巧點(diǎn)撥o

【解析】如圖，取A3中點(diǎn)為。,

A

AP=A,AB+JJAC=22AD+JJAC

顯然，當(dāng)P與C重合時(shí),22+〃取最小值1.

將CD平行移動(dòng)至與。。相切處，

P為切點(diǎn)時(shí),24+〃取最大值.

延長P0交于G,易知OG=O/=EP=L.

2

FFAP5

由等和線及平行截割定理,——=2,——=-.

FPAE2

所以22+〃的最大值為g.

故24+〃的取值范圍是l,g.

吃篇卜知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心且與相切的圓上，

若Q=2通+〃無萬，則；1+〃的最大值為（）

A3B272CV5D2

2.如圖，正六邊形A5CDEF,尸是ACDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)

點(diǎn)，設(shè)Q=e池+瓦療（e,，eR）,則。+〃的取值范圍是

3.如圖在直角梯形ABCD中，AB//CD,ABLAD,AD=DC=1,AB=3,動(dòng)點(diǎn)P在以。為圓心,

且與直線5D相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)而痛+，通

則a+夕的取值范圍是

4.若點(diǎn)C在以P為圓心,6為半徑的弧上，且PC=xPA+y而測2x+3y的取值范圍為

5.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形A3CD中，AB±AD,AB〃DC,AB=2,AD=OC=1,

圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為：，且點(diǎn)尸在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng).若Q=x通+＞彩,

其中無，y^R,則4x-y的取值范圍是（）

A.J4乎B.2,3+當(dāng)C._3一爭3+用D._3一孚3+半

技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧

?常見題型解讀

利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向

量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量

積與幾何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題

可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家

強(qiáng)化學(xué)習(xí)。

知識(shí)遷移

極化恒等式

一r（M+5）2—（I—/?）?

a-b二-----------------

4

恒等式右邊有很直觀的幾何意義：

向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的工

4

恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系

如圖在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b

在上述圖形中設(shè)平行四邊形ABCD對(duì)角線交于M點(diǎn)，則對(duì)于三角形來說:

展1（通+92-（題-而『=|布|2,lW

44

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）正方形ABC。的邊長是2,E是A2的中點(diǎn)，貝U覺.麗=（）

A.亞B.3C.2-75D.5

［解題

技巧點(diǎn)撥o

設(shè)co中點(diǎn)為o點(diǎn)，由極化恒等式可得：EC.ED=|W|2-^|DC|2=3

故選：B.

你來練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（江蘇?高考真題）如圖，在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，E,尸是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA.CA=4,

LILUUU1

BFCF=-1,貝IBECE的值是.

2.如圖，在AABC中，已知AB=4,AC=6,ZBAC=60°,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,

且通=2AD,AC=3近，若F為DE的中點(diǎn)，則BF-DE的值為

3.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=900.尸為44BC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且

PC=1,則麗.麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.M,6]

技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧

識(shí)高考?常見題型解讀

平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，在高考中考查比重不會(huì)很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，

難度一般也會(huì)控制在中等，有時(shí)也會(huì)以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和

線）、極化恒等式、本技法我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個(gè)重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地

融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個(gè)內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識(shí)，同時(shí)也是加強(qiáng)對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)

數(shù)學(xué)的理解。

奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個(gè)優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相

似而得名“奔馳定理”，會(huì)提升解題效率，可強(qiáng)化學(xué)習(xí)。

知識(shí)遷移

1.奔馳定理

如圖，已知尸為內(nèi)一點(diǎn)，貝IJ有?礪+s△卸?前=6.

由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為"奔馳定理

2.奔馳定理的證明

如圖：延長Q4與5C邊相交于點(diǎn)。

BD_S&ABD_S&BOD_S&ABD-S_S—OB

qqq—qq

"L°AACD°^COD°ACD°^OD°AAOC

.DC—?BD—?

OD=—^OB+—OC

BCBC

————OB+——LAQB——QQ

V_i_Vqaq

LAOC丁LAOB°AAOCT°AAOB

..OD_SBOD_ScoD__SBOD+SCOD_S&BOC

(1AQQQ_|_QQ_i_V

BOA^COA2BOA丁^COA°AAOC丁0AAOB

—.S-?

...OD=--------——OA

^△AOC丁LAOS

.-.--------OA=OB+OC

V_i_Vq_i_qq_i_q

UU

AAOC丁0AAOB°AAOCTAAOBLAOC丁^AOB

?ACR=0

?SA￡B>OC/C?OA△+AOSCAnc-OB△+/itySo?OC

3.奔馳定理的推論及四心問題

推論。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且x-OA+y-OB+z-OC=0，則S&BOC:S^COA:S^AOB=x:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距

離之比為2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.

(3)三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)

心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑八

(4)三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心,

它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心"相關(guān)的問題，有著

決定性的基石作用.

已知點(diǎn)。在"13C內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：

①若。為AABC的重心，則方+歷+歷=6；

②若。為AABC的外心，貝！Jsin2A?礪+sin2B-赤+sin2c-/=6;或|次卜|礪卜|因

③若。為AABC的內(nèi)心，則a.函+6.礪+）文=。；備注：若。為AABC的內(nèi)心，貝I

smAOA+smBOB+smCOC=6^M.

④若。為AAFC的垂心，貝!JtanA?次+tanH礪+tanC.反或函.礪=礪.云=文?西

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4-1.（寧夏?高考真題）已知O,N,P在AABC所在平面內(nèi)，且網(wǎng)=|西=|西，麗+麗+祝=0,且

PA?~PB=PB>~PC=7C-PA，則點(diǎn)0,N,P依次是AABC的

（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn),此點(diǎn)為三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心

C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心

解題

技巧點(diǎn)撥o

因?yàn)閨K|=|礪卜|因|,所以。到定點(diǎn)A,民C的距離相等，所以。為AABC的外心，由麗+屜+汨=0,

則麗+而=-初，取A3的中點(diǎn)E,貝I］福+福=-二厲=?7,所以2|NE口的，所以N是AABC的重心;

由胡?麗=麗?無=無?雨，得（兩-定）?而=0,即衣.麗=0，所以AC_LPB,同理AB_LPC,所以

點(diǎn)尸為AABC的垂心，故選C.

A

例4-2.（江蘇?高考真題）。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足

2e[0,+<o）,則P的軌跡一定通過“IBC的（)

A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】:OP-OA=AP，AP=A(—.—i—.)

IAB|\AC\

垂_+工

=AM,

\AB\|AC|

,AB,AC

則說是以A為始點(diǎn),向里面與布為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量,

即4M在NBAC的平分線上，

■,■AP=AAM,二正癡共線，

故點(diǎn)P的軌跡一定通過蜘8c的內(nèi)心，

故選：B

例4-3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，若力OC,AAOC,AAQB的面積

分別記為H，$2,S3，則E?次+$2?礪+S3?無."奔馳定理"是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@

個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為"奔馳定理”.如圖，已知。是"RC的垂心,

MOA+2OB+3OC=6，貝！JCOSC=（）

A

C.半

解題

技巧點(diǎn)撥O

【詳解】延長co交A3于點(diǎn)P,

?.?O是AABC的垂心，：.OP±AB,

Sj:S2=^-OC-BP^:(^-OC-AP

=BP:AP=(OPtanAPOB):(OPtanZPOA)=tan/COB:tanZCOA=tan(?-A):tan(?—B)=tanA:tanB.

同理可得H：S3=tanA:tanC,/.Sl:S2:S3=tanA:tan3:tanC.

又Si?西+S2礪+邑衣=6,

/.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

XOA+2OB+3OC=0.

/.tanA:tanB:tanC=l:2:3.

不妨設(shè)tanA=k,tanB=2k,tanC=3Z:,其中kwO.

tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)=-

1-tanBtanC

2k+3k_

解得無=±L

i-2k-3k

當(dāng)上=一1時(shí)，止匕時(shí)tanA<O,tanB<O,tanC<。，則A,B,C都是鈍角，不合題意，舍掉.

故左=1,則tanC=3>0,故C為銳角，

sinC_31—

回<cosC，解得cosC-，

sin2C+cos2C=l10

故選：B.

A

睛條練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023春?上海長寧?高三上海市延安中學(xué)?？计谀┤?。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，麗+礪+玄=6,則。是AABC

的（）

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

2.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）在AABC中，若赤.畫=麗.成=沅.詼，則點(diǎn)H是4匕（7的（）

A.垂心B,重心C.內(nèi)心D.外心

3.（2023春?湖南株洲?高三炎陵縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）（多選）如圖.尸為AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，角A,2,C的

對(duì)邊分別為a，6,c,總有優(yōu)美等式$^0麗+S"c而+S叩女=。成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又

稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）

A.若尸是AABC的重心，貝U有西+麗+定=0

B.若a而+6而+c元=0成立，則P是44BC的內(nèi)心

.2—.1.

C.若AP=gA5+1AC,則：S4.c=2:5

D.若P是44BC的外心，A=；,PA=mPB+nPC，貝U，"+〃e[-0,1)

技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

識(shí)高考?常見題型解讀

平面向量中的范圍與最值范圍問題是向量問題中的命題熱點(diǎn)和重難點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了高考在知

識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。

基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范

圍的等，在復(fù)習(xí)過程中要注重對(duì)基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。本講內(nèi)容難度較大，需要

綜合學(xué)習(xí)。

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例5-1.（浙江?高考真題）已知。，石是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量1滿足5-切?（五-1）=0,

則同的最大值是

A.1B.2c.V2

2

［解題

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】試題分析：由于￡3垂直，不妨設(shè)5=1101，6=（0J）-c=ixv）,則=

i-c=>xv-lI

+y:-x-v=0>|c|=7X：+y2表示Ixj］到原點(diǎn)IQO）的距離，x：+>2=0表

示圓i心T晶”n為半徑的圓，因此cI的最大值盧，故答案為c.

例52（四川?高考真題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿足|珂=|麗|=|成力3.痂=9.反=反?9=-

2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|麗卜1,PM=MC,則|由『的最大值是

4349_37+66、37+2屈

AA.--Db.—C.------------U.-------------

4444

—*技巧點(diǎn)撥o

【詳解】試題分析：由已知易得乙位>。=44。2=/8。。=120。,|次卜|麗卜|回=2.以。為原點(diǎn)，直線”

為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示，則4（2,0）,網(wǎng)一1尸⑹,4一1,⑹.設(shè)尸（x,y）,由已知網(wǎng)=1,得

2

（^-2）+/=1,又而=碇,,?兩

I）\?

,,|BM|2=（尤+以+1+3升）,它表示圓（X一2）2+/=1上的點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)卜1,-3占）的距離的平方的：，

?■?HL4[#+M2+i[=F,故選&

例5-3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若平面向量。，5,不滿足同=1,a-c=l,5.c=3,a?b2,則萬,

5夾角的取值范圍是（）

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c.J,2D.

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】設(shè)函=&,OB=b>OC=c，以。為原點(diǎn)，5方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

-.?a-c=l>0,5i=3>0，ab=2>0,

：.a,b，^三者直接各自的夾角都為銳角，

,.?|c|=1