2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第9章 解三角形 9.1.1 正弦定理教學(xué)實(shí)錄 新人教B版必修第四冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第9章解三角形9.1.1正弦定理教學(xué)實(shí)錄新人教B版必修第四冊課題：科目：班級：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、設(shè)計(jì)思路本節(jié)課以“2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第9章解三角形9.1.1正弦定理”為主題，通過引導(dǎo)學(xué)生探究正弦定理的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。課程內(nèi)容與課本緊密相連，結(jié)合實(shí)際案例，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中掌握正弦定理的應(yīng)用。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過正弦定理的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界的能力，發(fā)展學(xué)生解決幾何問題的邏輯推理能力，以及通過直觀想象構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-正弦定理的推導(dǎo)過程：教師需引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握正弦定理的推導(dǎo)過程，包括等腰三角形中的角邊關(guān)系和全等三角形的判定。

-正弦定理的應(yīng)用：強(qiáng)調(diào)在解決三角形問題時(shí)，如何靈活運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算，例如求解未知的邊長或角度。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-正弦定理的直觀理解：學(xué)生可能難以直觀理解正弦定理的適用條件和適用范圍，教師應(yīng)通過直觀教具或圖形幫助學(xué)生建立直觀模型。

-正弦定理的綜合應(yīng)用：學(xué)生在解決復(fù)雜問題時(shí)，可能會遇到多解、無解或解不唯一的情況，需要教師指導(dǎo)學(xué)生如何分析和處理這些情況。

-正弦定理與實(shí)際問題的結(jié)合：學(xué)生可能難以將正弦定理應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如建筑測量、工程計(jì)算等，教師需通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)。四、教學(xué)資源-軟硬件資源：三角板、直尺、圓規(guī)、多媒體投影儀

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部數(shù)學(xué)教學(xué)平臺

-信息化資源：正弦定理推導(dǎo)動畫、三角形幾何問題案例庫

-教學(xué)手段：實(shí)物教具展示、多媒體教學(xué)課件、小組合作探究五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示一幅古代建筑測量場景圖片，提問學(xué)生如何利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行測量。

2.提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考在已知兩邊和一個(gè)角的情況下，如何求解三角形的第三邊。

3.引入課題：引出正弦定理的概念，說明其在解決三角形問題中的重要性。

（二）講授新課（15分鐘）

1.正弦定理的推導(dǎo)：

-利用等腰三角形性質(zhì)，展示等腰三角形兩腰上的正弦值相等。

-通過全等三角形的判定，推導(dǎo)出正弦定理。

-用時(shí)：5分鐘

2.正弦定理的應(yīng)用：

-舉例說明正弦定理在求解三角形邊角問題中的應(yīng)用。

-通過實(shí)例分析，引導(dǎo)學(xué)生掌握正弦定理的應(yīng)用步驟。

-用時(shí)：10分鐘

（三）鞏固練習(xí)（10分鐘）

1.課堂練習(xí)：分發(fā)練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成。

2.學(xué)生展示：請部分學(xué)生展示解題過程，教師點(diǎn)評并總結(jié)。

3.討論交流：學(xué)生分組討論，共同解決練習(xí)中的難題。

4.用時(shí)：10分鐘

（四）課堂提問（5分鐘）

1.提問：正弦定理的適用條件是什么？

2.提問：如何判斷正弦定理是否適用？

3.提問：正弦定理在解決實(shí)際問題中有哪些應(yīng)用？

4.用時(shí)：5分鐘

（五）師生互動環(huán)節(jié)（10分鐘）

1.教師提問：引導(dǎo)學(xué)生思考正弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用場景。

2.學(xué)生回答：學(xué)生結(jié)合實(shí)際案例，闡述正弦定理的應(yīng)用。

3.教師點(diǎn)評：教師對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評，總結(jié)正弦定理的應(yīng)用要點(diǎn)。

4.用時(shí)：10分鐘

（六）核心素養(yǎng)拓展（5分鐘）

1.提問：正弦定理與哪些數(shù)學(xué)概念有關(guān)聯(lián)？

2.學(xué)生回答：學(xué)生列舉與正弦定理相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，如余弦定理、正切定理等。

3.教師總結(jié)：教師總結(jié)正弦定理與其他數(shù)學(xué)概念的關(guān)系，拓展學(xué)生的知識面。

4.用時(shí)：5分鐘

（七）課堂小結(jié)（5分鐘）

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：正弦定理的推導(dǎo)、應(yīng)用及拓展。

2.強(qiáng)調(diào)正弦定理在解決三角形問題中的重要性。

3.提醒學(xué)生在課后復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識。

4.用時(shí)：5分鐘

總計(jì)用時(shí)：45分鐘六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.理解與掌握正弦定理：學(xué)生在學(xué)習(xí)后能夠清晰地理解正弦定理的概念、推導(dǎo)過程和應(yīng)用條件，能夠在實(shí)際問題中識別并應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算。

2.增強(qiáng)邏輯推理能力：通過正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠鍛煉邏輯推理能力，學(xué)會如何從已知條件推導(dǎo)出未知量，提高解決幾何問題的能力。

3.提高數(shù)學(xué)建模能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)正弦定理的過程中，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述和分析，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的能力。

4.增強(qiáng)直觀想象能力：通過直觀教具和圖形的使用，學(xué)生能夠更好地理解正弦定理的幾何意義，提高直觀想象能力，有助于解決復(fù)雜幾何問題。

5.提升解決實(shí)際問題的能力：學(xué)生能夠?qū)⒄叶ɡ響?yīng)用于實(shí)際案例，如建筑測量、工程計(jì)算等，提高解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

6.培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)意識：在鞏固練習(xí)和討論交流環(huán)節(jié)，學(xué)生通過小組合作，共同解決難題，培養(yǎng)了合作學(xué)習(xí)意識，提高了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

7.提升自主學(xué)習(xí)能力：學(xué)生在課后復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識，通過自主學(xué)習(xí)，加深對正弦定理的理解，提高了自主學(xué)習(xí)能力。

8.增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)：通過正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠鍛煉數(shù)學(xué)思維，學(xué)會從不同角度思考問題，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

9.培養(yǎng)創(chuàng)新精神：在教學(xué)過程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生提出問題、尋找解決方案，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高了學(xué)生的創(chuàng)新意識。

10.提高學(xué)習(xí)興趣：通過創(chuàng)設(shè)情境、實(shí)例分析等方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更加積極主動地參與課堂學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果。七、作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成教材第9章解三角形9.1.1正弦定理的相關(guān)練習(xí)題，包括推導(dǎo)正弦定理的過程和應(yīng)用正弦定理解決三角形邊角問題。

2.分析以下實(shí)際問題，并嘗試運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解：

-一個(gè)建筑工人在地面上的垂直高度為5米，要測量一個(gè)塔尖的高度，已知從地面到塔尖的水平距離為20米，求塔尖的高度。

-在航海中，一艘船從A地出發(fā)，沿著東南方向航行30海里后，又改變方向向正南方向航行20海里，求船離開A地的距離。

作業(yè)反饋：

1.對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行逐題批改，檢查是否正確理解并掌握了正弦定理的應(yīng)用。

2.對學(xué)生在推導(dǎo)正弦定理過程中的邏輯推理進(jìn)行評價(jià)，確保學(xué)生能夠正確理解等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)。

3.對于應(yīng)用正弦定理解決實(shí)際問題的作業(yè)，關(guān)注學(xué)生是否能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并正確運(yùn)用正弦定理進(jìn)行計(jì)算。

4.對于學(xué)生的錯(cuò)誤，及時(shí)指出并分析錯(cuò)誤原因，如概念理解不清、計(jì)算錯(cuò)誤等，給予具體的改進(jìn)建議。

5.對于優(yōu)秀作業(yè)，給予肯定并鼓勵(lì)，同時(shí)對其中體現(xiàn)的創(chuàng)新思維和獨(dú)特解題方法進(jìn)行點(diǎn)評。

6.收集作業(yè)中的典型錯(cuò)誤，在下節(jié)課開始時(shí)進(jìn)行集中講解，幫助學(xué)生共同提高。

7.鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行相互交流，通過小組討論解決彼此的疑惑，促進(jìn)共同進(jìn)步。

8.對作業(yè)完成情況良好的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，對未完成作業(yè)或完成質(zhì)量較低的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。

9.定期進(jìn)行作業(yè)分析，根據(jù)學(xué)生的作業(yè)反饋調(diào)整教學(xué)策略，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和方法。八、教學(xué)反思今天的正弦定理課程結(jié)束了，我在這里想對自己這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行一番反思。首先，我覺得課堂氛圍挺不錯(cuò)的，學(xué)生們對于新知識的接受度很高，這讓我感到很欣慰。

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我通過展示古代建筑測量的圖片，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓他們感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。我發(fā)現(xiàn)，這樣的方式挺有效的，學(xué)生們對正弦定理的學(xué)習(xí)興趣明顯提高了。

但在教學(xué)中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。比如，有些學(xué)生在推導(dǎo)正弦定理的過程中，對于等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致他們在應(yīng)用正弦定理時(shí)出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤。針對這個(gè)問題，我決定在課后加強(qiáng)學(xué)生的輔導(dǎo)，幫助他們更好地理解這些性質(zhì)。

另外，我在布置作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生的作業(yè)完成得并不理想。他們在解決問題時(shí)，要么概念理解不清，要么計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤。這說明我在教學(xué)過程中，還需要更加注重基礎(chǔ)知識的講解和鞏固。接下來，我會通過課后輔導(dǎo)、小組討論等方式，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識。

在教學(xué)過程中，我還發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生對于正弦定理的應(yīng)用存在一定的困惑。例如，在解決實(shí)際問題時(shí)，他們難以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。針對這個(gè)問題，我認(rèn)為我可以在課堂上多舉一些實(shí)際案例，讓學(xué)生在實(shí)際操作中掌握解決問題的方法。

此外，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在合作學(xué)習(xí)時(shí)，積極性不高。我認(rèn)為這可能與他們的個(gè)性特點(diǎn)有關(guān)，也可能與課堂氛圍有關(guān)。因此，我需要在今后的教學(xué)中，努力營造一個(gè)積極向上的課堂氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與合作學(xué)習(xí)。

最后，我覺得在今后的教學(xué)中，我還應(yīng)該更加注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。例如，在講解正弦定理的應(yīng)用時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何將正弦定理與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，解決更復(fù)雜的問題。典型例題講解例題1：在三角形ABC中，已知∠A=30°，AB=8，AC=10，求BC的長度。

解：由正弦定理得：

$$\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}$$

代入已知條件，得：

$$\frac{8}{\sinC}=\frac{10}{\sinB}$$

由于∠A=30°，則∠B=180°-∠A-∠C=150°-∠C。

又因?yàn)椤螧和∠C的和為180°，所以∠B=180°-∠A-∠C=150°-∠C。

所以，sinB=sin(150°-∠C)。

代入上式，得：

$$\frac{8}{\sinC}=\frac{10}{\sin(150°-∠C)}$$

化簡得：

$$\sinC=\frac{8}{10}\sin(150°-∠C)$$

由于sin(150°-∠C)=sin30°=1/2，代入上式得：

$$\sinC=\frac{8}{10}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{10}$$

所以，∠C的正弦值為4/10，由sinC=4/10，得∠C=arcsin(4/10)。

由正弦定理，得：

$$BC=\frac{AB}{\sinC}=\frac{8}{\frac{4}{10}}=20$$

所以，BC的長度為20。

例題2：在三角形ABC中，已知∠A=45°，AB=10，AC=10√2，求∠B和∠C的正弦值。

解：由正弦定理得：

$$\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}$$

代入已知條件，得：

$$\frac{10}{\sinC}=\frac{10\sqrt{2}}{\sinB}$$

由于∠A=45°，則∠B=180°-∠A-∠C=135°-∠C。

所以，sinB=sin(135°-∠C)。

代入上式，得：

$$\frac{10}{\sinC}=\frac{10\sqrt{2}}{\sin(135°-∠C)}$$

化簡得：

$$\sinC=\frac{10}{10\sqrt{2}}\sin(135°-∠C)$$

由于sin(135°-∠C)=sin45°=√2/2，代入上式得：

$$\sinC=\frac{10}{10\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$$

所以，∠C的正弦值為1/2，由sinC=1/2，得∠C=30°。

同理，可得∠B的正弦值為√2/2。

例題3：在三角形ABC中，已知∠A=60°，AB=6，AC=8，求∠B和∠C的正切值。

解：由正弦定理得：

$$\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}$$

代入已知條件，得：

$$\frac{6}{\sinC}=\frac{8}{\sinB}$$

由于∠A=60°，則∠B=180°-∠A-∠C=120°-∠C。

所以，sinB=sin(120°-∠C)。

代入上式，得：

$$\frac{6}{\sinC}=\frac{8}{\sin(120°-∠C)}$$

化簡得：

$$\sinC=\frac{6}{8}\sin(120°-∠C)$$

由于sin(120°-∠C)=sin60°=√3/2，代入上式得：

$$\sinC=\frac{6}{8}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

所以，∠C的正弦值為3√3/8，由sinC=3√3/8，得∠C=arcsin(3√3/8)。

由正弦定理，得：

$$BC=\frac{AB}{\sinC}=\frac{6}{\frac{3\sqrt{3}}{8}}=\frac{16}{\sqrt{3}}$$

同理，可得∠B的正切值為√3。

例題4：在三角形ABC中，已知∠A=75°，AB=5，AC=5√3，求∠B和∠C的正余弦值。

解：由正弦定理得：

$$\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}$$

代入已知條件，得：

$$\frac{5}{\sinC}=\frac{5\sqrt{3}}{\sinB}$$

由于∠A=75°，則∠B=180°-∠A-∠C=105°-∠C。

所以，sinB=sin(105°-∠C)。

代入上式，得：

$$\frac{5}{\sinC}=\frac{5\sqrt{3}}{\sin(105°-∠C)}$$

化簡得：

$$\sinC=\frac{5}{5\sqrt{3}}\sin(105°-∠C)$$

由于sin(105°-∠C)=sin75°=√6+√2/4，代入上式得：

$$\sinC=\frac{5}{5\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$$

所以，∠C的正弦值為(√6+√2)/(4√3)，由sinC=(√6+√2)/(4√3)，得∠C=arcsin((√6+√2)/(4√3))。

同理，可得∠B的正余弦值為(√6-√2)/(4√3)。

例題5：在三角形ABC中，已知∠A=30°，AB=4，BC=6，求∠B和∠C的正弦和余弦值。

解：由正弦定理得：

$$\frac{AB}{\sinC}=\frac{BC}{\sinB}$$

代入已知條件，得：

$$\frac{4}{\sinC}=\