勾股定理單元教學(xué)計劃

勾股定理單元教學(xué)計劃第一篇：勾股定理單元教學(xué)計劃勾股定理單元教學(xué)計劃一、教材分析本章主要研究勾股定理與其逆定理，包括它們的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用首先讓學(xué)生通過觀察得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論并加以證明，從而得到勾股定理，然后運用勾股定理解決問題在此基礎(chǔ)上，引入勾股定理的逆定理，并結(jié)合此項內(nèi)容介紹逆命題、逆定理的概念二、學(xué)情分析學(xué)生對幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步形成。部分學(xué)生解題思維能力比較高，能夠正確歸納所學(xué)知識，能夠正確歸納所學(xué)知識，能夠正確歸納所學(xué)知識，通過學(xué)習(xí)小組討論交流，能夠形成解決問題的思路?，F(xiàn)在的學(xué)生已經(jīng)厭倦教師單獨的說教方式，希望教師設(shè)計便于他們進(jìn)行觀察的幾何環(huán)境，給他們自己探索、發(fā)表自己見解和展示自己才華的機(jī)會；更希望教師滿足他們的創(chuàng)造愿望。三、教學(xué)目標(biāo)1.體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單的問題2、會運用勾股定理的逆定理判定直角三角形3、通過具體的例子，了解定理的含義；了解逆命題、逆定理的概念；知道原命題成了其逆命題不一定成立。五、重點：勾股定理及其逆定理的探索與運用難點：勾股定理的證明，勾股定理及其逆定理的運用。六、課時安排探索勾股定理2課時2、一定是直角三角形嗎1課時3、勾股定理應(yīng)用舉例1課時回顧與思考1課時七、學(xué)法教法建議1讓學(xué)生體驗勾股定理的探索和運用過程；2、結(jié)合具體例子介紹抽象概念；3、注重介紹數(shù)學(xué)文化。第二篇：勾股定理勾股定理一、教材分析勾股定理在初中數(shù)學(xué)中扮演著很重要的角色。在以后的學(xué)習(xí)中會經(jīng)常用到有關(guān)勾股定理的知識，本節(jié)課我們主要來探究勾股定理的由來。二、教學(xué)目標(biāo)1．經(jīng)歷探究勾股定理的過程，發(fā)展合情推理的能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想。2．能說出勾股定理并能運用勾股定理解決簡單的問題。3．經(jīng)歷多種拼圖方法驗證勾股定理的過程，發(fā)展用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界和有條理地思考與表達(dá)的能力，感受勾股定理的文化價值。4.掌握勾股定理，能夠熟練地運用勾股定理由直角三角形的任意兩邊求得第三邊．能根據(jù)一已知邊和另兩未知邊的數(shù)量關(guān)系通過方程求未知兩邊。三、教學(xué)重點難點教學(xué)重點：勾股定理的推導(dǎo)的過程內(nèi)容勾股定理的具體內(nèi)容教學(xué)難點：勾股定理的內(nèi)容以及應(yīng)用四、教學(xué)方法本節(jié)的教學(xué)分為五步：情境引入——定理探索——定理應(yīng)用——鞏固練習(xí)——課堂拓展的模式展開。教師引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，提出問題并與學(xué)生共同探索、討論。讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解勾股定理的意義。五、教具學(xué)具小黑板正方形和直角三角形的模型若干六、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑激思如圖，由4個邊長為a,b,c的直角三角形拼成一個正方形，中間有一個正方形的開口（圖中陰影部分），試用不同的方法計算這個陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？看到這個題目，學(xué)生感到十分的熟悉，這是七年級下冊學(xué)習(xí)因式分解的時候見過的題目。學(xué)生們分組討論，課堂氣氛十分的活躍，不久得出了答案。分析：因為整個圖形是一個邊長為c的正方形所以S全＝c2也可以分割求這個圖形的面積S全＝4S直角△+S陰＝4×ab+（a-b）2＝2ab+a2-2ab+b2=a2+b2于是有a2+b2＝c2得到了以上一個結(jié)論，此時不急于總結(jié)結(jié)論從而引出勾股定理，因為僅僅一個題目不足以說明問題。于是提出“類似于上面的拼圖問題，你們還記得多少。同學(xué)們于是分組討論，另一個類似的拼圖問題。如圖，游4個邊長分別a,b,c的直角三角形拼成一個正方形用不同的方法，計算這個正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？S2ab+c2所以a+2ab+b＝2ab+c2所以a2+b2＝c2【設(shè)計意圖】本段采用小組合作學(xué)習(xí)方式進(jìn)行，學(xué)生按教師事先分好的小組以小組為單位進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，每個小組選擇一種證法進(jìn)行研究。每個小組有4名成員，位置相鄰，便于所有的人都能參與到明確的集體任務(wù)中。小組成員之間相互依賴、相互溝通、相互合作，共同負(fù)責(zé)，從而達(dá)到共同的目標(biāo)。在集體學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，每組推選一位同學(xué)代表本組進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，主要時將本組證法的思路講清，同時同組同學(xué)可以補(bǔ)充或糾錯。其他小組此時則通過聆聽對他組的證法進(jìn)行學(xué)習(xí)。（二）自己總結(jié)，得出結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生思考問題：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？于是我們得到結(jié)論：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖：我們有a2+b2＝c22分析：因為S全＝（a+b）2＝a2+2ab+b2全＝4×ab+c2＝教師在此基礎(chǔ)上介紹“勾，股，弦”的含義，進(jìn)行點題，結(jié)合直角三角形，讓學(xué)生從中體驗勾股定理蘊含的深刻的數(shù)形結(jié)合思想?！驹O(shè)計意圖】八年級學(xué)生能獨立思考，有強(qiáng)烈的探究愿望，并能在探索的過程中形成自己的觀點，能在交流意見的過程中逐漸完善自己的觀點。故本段設(shè)計遵循“構(gòu)建主義”的學(xué)習(xí)理念，以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學(xué)知識意義的主動建構(gòu)。教師只是給學(xué)生提供一定的學(xué)習(xí)“情景”，在此“情景”中，學(xué)生通過“協(xié)作”、“會話”和“意義建構(gòu)”進(jìn)行有效學(xué)習(xí)。(三)勾股定理簡單的應(yīng)用1、例題精講如圖Rt△ABC∠ACB＝90。以三角形三邊向外作三個正方形。面積分別為S1,S2,S3,試探索S1,S2,S3三者之間的關(guān)系分析：因為Rt△ABC中，∠ACB=900所以a2+b2=c2(勾股定理)因為S1=b2,S2=a2,S3=c2所以S1＋S2＝S32、鞏固練習(xí)（1）求下列直角三角形中未知邊的長（2）求下列圖中未知數(shù)x,y,z的值3、拓展與延伸（1）一個直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，則另一條邊是（2）一個直角三角形的兩條邊分別為3和4，則另一條邊是（3）一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？（4）將梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，梯子的長為5.41米。求梯子上端A到墻的底端B的距離.（精確到0.01米）【設(shè)計意圖】課堂從廣義上講是開放的，教師在授課時，不僅要傳授學(xué)生必要的知識，更要打開學(xué)生的思路，給學(xué)生提供更為廣闊的空間，引領(lǐng)學(xué)生課后去探索，從而讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。在當(dāng)今的網(wǎng)絡(luò)社會，學(xué)生尤其要善于在網(wǎng)上“淘金”，滿足自己學(xué)習(xí)的需要。網(wǎng)上學(xué)習(xí)必將成為未來的最為重要的學(xué)習(xí)方式。七、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲？你能談?wù)勀銓@節(jié)課的感受嗎？【設(shè)計意圖】一個好的小結(jié)，不只是對課堂內(nèi)容的簡單回顧，還是對所用數(shù)學(xué)思想、方法的總結(jié)，學(xué)生通過自己的總結(jié)，不僅促進(jìn)了對知識的理解，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)表達(dá)能力和概括能力，而且通過歸納反思，能有效地把握知識的脈搏，找到知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，這對于學(xué)生主動構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)大有裨益，也讓學(xué)生從中學(xué)會感悟數(shù)學(xué)。八、課堂作業(yè)書上第47頁習(xí)題2.1，2，3【設(shè)計意圖】鞏固勾股定理，進(jìn)一步體會定理與實際生活的聯(lián)系。促進(jìn)學(xué)生學(xué)知識，用知識的意識。新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡課題學(xué)習(xí)（研究性學(xué)習(xí)），通過課題學(xué)習(xí)與研究更多地把數(shù)學(xué)與社會生活和其他學(xué)科知識聯(lián)系起來，使學(xué)生進(jìn)一步體會不同的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)與外界之間的聯(lián)系，初步學(xué)習(xí)研究問題的方法，提高學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識。九、教學(xué)反思我認(rèn)為，本節(jié)課較為成功之處在于以下幾個轉(zhuǎn)變：1、教的轉(zhuǎn)變本節(jié)課教師的角色從知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者與共同研究者，在引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，利用習(xí)題加以鞏固，激發(fā)學(xué)生自覺探究數(shù)學(xué)問題，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣。2、學(xué)的轉(zhuǎn)變學(xué)生的角色從學(xué)會轉(zhuǎn)變?yōu)闀W(xué)。本節(jié)課學(xué)生不是停留在學(xué)會課本知識層面，而是站在研究者的角度深入其境。3、課堂氛圍的轉(zhuǎn)變整節(jié)課以“流暢、開放、合作、‘隱’導(dǎo)”為基本特征，教師對學(xué)生的思維減少干預(yù)，教學(xué)過程呈現(xiàn)一種比較流暢的特征。整節(jié)課學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與教師之間以“對話”、“討論”為出發(fā)點，以互助合作為手段，解決問題為目的，讓學(xué)生在寬松的環(huán)境中自主探索，獲得成功！第三篇：勾股定理范文勾股定理勾股定理，又稱“畢達(dá)哥拉斯定理”，是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，上至帝王總統(tǒng)，下至平民百姓，都愿意探討和研究它的證明。它是幾何學(xué)中一顆閃亮的明珠。所謂勾股，就是古人把彎曲成一個直角三角形模樣的手臂，上臂（即直角三角形的底邊）稱為“勾”，前臂（即直角三角形的高）稱為“股”，所以稱之為“勾股”。也許是因為勾股定理十分實用，所以便反復(fù)被人們論證。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理證明專輯。從勾股定理的發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在，大約3000年里，勾股定理的證明方法多種多樣：有的簡潔明了，有的略微復(fù)雜，有的十分精彩……本文將會帶著大家一起來證明勾股定理并解決一些實際問題。勾股定理、證明、解決實際問題什么是勾股定理？又稱商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。還有的國家稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”。在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”。蔣銘祖定理：蔣銘祖是公元前十一世紀(jì)的中國人。當(dāng)時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學(xué)著作《蔣銘祖算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。蔣銘祖說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！笔Y銘祖那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是著名的蔣銘祖定理，關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，《蔣銘祖算經(jīng)》上說：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也；”“此數(shù)”指的是“勾三股四弦五”。這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關(guān)系是在大禹治水時發(fā)現(xiàn)的。勾股定理的發(fā)現(xiàn)相傳畢達(dá)哥拉斯在在一次散步中，偶然看見了地上由幾塊三角形瓷磚拼成的一個長方形瓷磚，如圖：畢達(dá)哥拉斯靈機(jī)一動，用手在上面比劃了起來。大家看，以直角三角形各邊為正方形的邊長，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜邊為正方形邊長，可拼出一個這樣的正方形：其面積為：直角三角形斜邊的平方其中有四塊直角三角形。以直角三角形底和高做正方形邊長，可拼出一個這樣的正方形：其面積為：底邊（高）的平方其中有兩塊直角三角形。因為長方形瓷磚面積不變，所以所有第二種正方形面積和與所有第一種正方形面積和相等。因此畢達(dá)哥拉斯得出這樣一個結(jié)論：在一個直角三角形中，底邊的平方+高的平方=斜邊的平方。這就是勾股定理。勾股定理的證明勾股定理證明方法有很多，下面這種是一位名叫茄菲爾德的美國總統(tǒng)證明的：勾股定理的運用說了這么多，也許有人會問“勾股定理有什么用呢？”其實，勾股定理對我們的生活幫助可不小！尤其是在測量、建筑方面。下面，讓我們來解決一下實際問題吧！有一座山，高500米。在山腳下，有兩個登山口，它們之間的距離是2400米。登山路沿著山的斜面修建（如圖），我們從左面的登山口上山，到山頂?shù)木嚯x是多少？這道題看似與勾股定理沒什么關(guān)系，但是仔細(xì)看圖，這是一個直角三角形！已知直角三角形的斜邊是2400米，要求其中一條直角邊，我們應(yīng)先做輔助線，將這座山分成兩半：這樣，問題就轉(zhuǎn)化成了求這左邊這半直角三角形的斜邊。原底邊的長度是2400，現(xiàn)在是一半，即為1200，另一條直角邊是500。根據(jù)勾股定理，底邊2+高2=斜邊2，計算時，把1200寫成12，把500寫成5，即122+52=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因為前面的1200和500縮小了100倍，所以13要擴(kuò)大100倍，即1300。所以登山路的長度是1300米?？偨Y(jié)這就是勾股定理的妙用，還不止這些。尤其是測量三個地方之間的距離時，勾股定理是我們的一大幫手。總之，勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。它的主要意義有：1、勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個對象——數(shù)與形的第一定理。2、勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，從而深刻揭示了數(shù)與量的區(qū)別，即所謂“無理數(shù)"與有理數(shù)的差別，這就是所謂第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。3、勾股定理開始把數(shù)學(xué)由計算與測量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明與推理的科學(xué)。4、勾股定理中的公式是第一個不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個范式。第四篇：勾股定理由“勾股定理”可知M2—5班鄭天麒今天，我來和大家討論一下“勾股定理”這個問題。首先，我來介紹一下“勾股定理”的發(fā)現(xiàn)者：古希臘的畢達(dá)哥拉斯和中國周朝時期的商高。畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。無論是解說外在物質(zhì)世界，還是描寫內(nèi)在精神世界，都不能沒有數(shù)學(xué)!最早悟出萬事萬物背后都有數(shù)的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島(今希臘東部小島)，自幼聰明好學(xué)，曾在名師門下學(xué)習(xí)幾何學(xué)、自然科學(xué)和哲學(xué)。以后因為向往東方的智慧，經(jīng)過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明。商高：周朝數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)成就據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，主要有三方面：勾股定理、測量術(shù)和分?jǐn)?shù)運算?！吨荀滤憬?jīng)》中記載了這樣一件事——一次周公問商高：古時作天文測量和訂立歷法，天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺寸去測量，請問數(shù)是怎樣得來的？商高回答說：數(shù)是根據(jù)圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來。矩是根據(jù)乘、除計算出來的。這里的“矩”原是指包含直角的作圖工具。這說明了“勾股測量術(shù)”，即可用3∶4∶5的辦法來構(gòu)成直角三角形。《周髀算經(jīng)》并有“勾股各自乘，并而開方除之”的記載，說明當(dāng)時已普遍使用了勾股定理。勾股定理是中國數(shù)學(xué)家的獨立發(fā)明，在中國早有記載?！吨荀滤憬?jīng)》還記載了矩的用途：“周公曰：大哉言數(shù)！請問用矩之道。商高曰：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方?！睋?jù)此可知，當(dāng)時善于用矩的商高已知道用相似關(guān)系的測量術(shù)?！碍h(huán)矩為圓”，即直徑上的圓周角是直角的幾何定理，這比西方的發(fā)現(xiàn)要早好幾百年。其次，我再來介紹一下“勾股定理”：在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理（PythagorasTheorem）。數(shù)學(xué)公式中常寫作a＋b＝c（兩直角邊分別為a.b，斜邊為c）“勾股定理”的來源：畢達(dá)哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯證明了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”?！吨荀滤憬?jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。常用勾股數(shù)3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17。畢達(dá)哥拉斯樹：畢達(dá)哥拉斯樹是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復(fù)的圖形。又因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達(dá)哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。兩個相鄰的小正方型面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積。利用不等式a^2+b^2≥2ab可以證明下面的結(jié)論：三個正方形之間的三角形，其面積小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個小正方形面積的二分之一。畢達(dá)哥拉斯樹所以說，發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的確是數(shù)學(xué)界的一大杰出貢獻(xiàn)。最后，我還是要說明，世界上最早運用“勾股定理”的實際上是古巴比倫人，因為：1945年，人們在研究古巴比倫人遺留下的一塊數(shù)學(xué)泥板時，驚訝的發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有15組能夠成“勾股定理”的三邊數(shù)，其年代遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于商高之前。第五篇：勾股定理勾股定理勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。[1]中文名勾股定理外文名Pythagorastheorem別稱商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理表達(dá)式a2+b2=c2提出者畢達(dá)哥拉斯趙爽商高提出時間公元前551年應(yīng)用學(xué)科幾何學(xué)適用領(lǐng)域范圍數(shù)學(xué)，幾何學(xué)適用領(lǐng)域范圍數(shù)學(xué)，幾何學(xué)中國記載著作《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》外國記載著作《幾何原本》限制條件直角三角形在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)：勾股定理是余弦定理中的一個特例。推導(dǎo)趙爽弦圖《九章算術(shù)》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實。開方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實亦成玄實。以差實減玄實，半其余。以差為從法，開方除之，復(fù)得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之實，即成玄實?；蚓赜趦?nèi)，或方于外。形詭而量均，體殊而數(shù)齊。勾實之矩以股玄差為廣，股玄并為袤。而股實方其里。減矩勾之實于玄實，開其余即股。倍股在兩邊為從法，開矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實得股玄并。以并除勾實亦得股玄差。令并自乘與勾實為實。倍并為法。所得亦玄。勾實減并自乘，如法為股。股實之矩以勾玄差為廣，勾玄并為袤。而勾實方其里，減矩股之實于玄實，開其余即勾。倍勾在兩邊為從法，開矩股之角，即勾玄差。加勾為玄。以差除股實得勾玄并。以并除股實亦得勾玄差。令并自乘與股實為實。倍并為法。所得亦玄。股實減并自乘如法為勾，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之為勾。以勾玄差增之為股。兩差增之為玄。倍玄實列勾股差實，見并實者，以圖考之，倍玄實滿外大方而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄實乃減之，開其余，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減并而半之為勾。加差于并而半之為股。其倍玄為廣袤合。令勾股見者自乘為其實。四實以減之，開其余，所得為差。以差減合半其余為廣。減廣于玄即所求也?！庇矛F(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是黃實的面積等于大正方形的面積減去四個朱實的面積。2002年第24屆國際數(shù)學(xué)家大會（ICM）的會標(biāo)即為該圖。加菲爾德證法加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，∵加菲爾德證法變式該證明為加菲爾德證法的變式。如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:青朱出入圖青朱出入圖，是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。劉徽描述此圖，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也?！逼浯笠鉃?，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再以盈補(bǔ)虛，分割線內(nèi)不動，線外則“各從其類”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。歐幾里得證法在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。歐幾里得證法證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個同等面積的長方形。設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA?！螩AB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。把這兩個結(jié)果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的。由于這個定理的證明依賴于平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。推廣編輯勾股數(shù)組勾股數(shù)組是滿足勾股定理例如