高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專題突破課二　常用邏輯用語(yǔ)中的參數(shù)問(wèn)題含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專題突破課八實(shí)系數(shù)二次方程實(shí)根(二次函數(shù)的零點(diǎn))分布問(wèn)題含答案專題突破課二常用邏輯用語(yǔ)中的參數(shù)問(wèn)題——寸轄制輪尋專題,綱舉目張謀突破常用邏輯用語(yǔ)中的參數(shù)問(wèn)題是本章的難點(diǎn),也是考試的命題熱點(diǎn).讀懂題意,合理轉(zhuǎn)化是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.常見(jiàn)以下兩種類型的題目:(1)根據(jù)充分條件、必要條件和充要條件求參數(shù)問(wèn)題;(2)根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假求參數(shù)問(wèn)題.類型一根據(jù)充分條件、必要條件和充要條件求參數(shù)問(wèn)題【例1】在①充分不必要條件,②必要不充分條件,③充要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,若問(wèn)題中的a存在,求a的取值集合M,若問(wèn)題中的a不存在,說(shuō)明理由.問(wèn)題:已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在實(shí)數(shù)a,使得x∈A是x∈B成立的?

【解析】由題意知A={x|0≤x≤4},若選①,則A是B的真子集,所以1-a≤0且1+a≥4(兩等號(hào)不能同時(shí)取得),又a>0,解得a≥3,所以a存在,且a的取值集合M={a|a≥3}.若選②,則B是A的真子集,所以1-a≥0且1+a≤4(兩等號(hào)不能同時(shí)取得),又a>0,解得0<a≤1,所以a存在,且a的取值集合M={a|0<a≤1}.若選③,則A=B,所以1-a=0且1+a=4,又a>0,方程組無(wú)解,所以不存在滿足條件的a.【總結(jié)升華】應(yīng)用充分不必要條件、必要不充分條件及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.【即學(xué)即練】設(shè)p:12≤x≤1;q:a≤x≤a+1,若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】設(shè)A={x|12≤xB={x|a≤x≤a+1},由p是q的充分不必要條件,可知A?B,所以a≤12,a+1>1或故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a0≤a≤類型二根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假求參數(shù)問(wèn)題【例2】已知命題p:?x∈R,x2-2x+a≥0,命題q:?x∈R,x2+x+2a-1=0,若p為真命題,q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】因?yàn)閤2-2x+a=(x-1)2+a-1,若p是真命題,則a-1≥0,即a≥1.因?yàn)閤2+x+2a-1=0,若q為假命題,則Δ=1-4×(2a-1)=5-8a<0,即a>58,故a≥1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}.【總結(jié)升華】命題真假求參數(shù)的范圍的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)專題突破課九三角函數(shù)中求ω和零點(diǎn)問(wèn)題三角函數(shù)中ω的求解是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容,涉及內(nèi)容廣泛,思維能力要求高,求解的關(guān)鍵是活用三角函數(shù)性質(zhì),常見(jiàn)的類型及解法:(1)若已知三角函數(shù)的單調(diào)性,則轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系,進(jìn)而建立ω所滿足的不等式(組)求解;(2)若已知函數(shù)的對(duì)稱性,則根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性研究其周期性,進(jìn)而可以研究ω的取值;(3)若已知三角函數(shù)的最值,則利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系,可以列出關(guān)于ω的不等式(組),進(jìn)而求出ω的值或取值范圍;(4)若已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),往往都是采取整體換元的思想,即通過(guò)ωx+φ的取值情況確定函數(shù)零點(diǎn)的情況,進(jìn)而可以研究ω的取值.類型一利用三角函數(shù)單調(diào)性求ω【例1】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在區(qū)間[-π4,2π3]上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍為 A.(0,83] B.(0,1C.[12,83] D.[3【解析】選B.函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在區(qū)間[-π4,2π所以-πω4+解得ω≤因?yàn)棣?gt;0,所以當(dāng)k=0時(shí),可得0<ω≤12【總結(jié)升華】利用三角函數(shù)單調(diào)性求ω的策略確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)區(qū)間之間的包含關(guān)系,建立不等式,即可求ω的取值范圍.【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0)滿足f(π6)=3,f(π)=0,且f(x)在區(qū)間(π6,π3)上單調(diào),則ω的值有【解析】設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0)的周期為T,則T=2πω;由f(π6)=3,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得,T4+kT2=5π6,k∈N;解得T=10π3(1+2k)又因?yàn)閒(x)在區(qū)間(π6,π3所以π3-π6=π6<T2,所以所以ω=2πT<6,即3解得k<92,k∈N;所以k的取值為0,1,2,3,4;則符合條件的ω的值有5個(gè)答案:5類型二利用三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性求ω【例2】(1)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)的圖象向右平移3π4個(gè)單位長(zhǎng)度后與原圖象重合,則實(shí)數(shù)ω的最小值是 (A.43 B.83 C.163 【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)的圖象向右平移3π4個(gè)單位長(zhǎng)度后與原圖象重合,所以Asin(ωx+π3)=Asin(ωx+π3-3ωπ4),則實(shí)數(shù)ω最小時(shí),3π(2)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為f(x)圖象的對(duì)稱軸,且f(x)在(π18,5π36)上單調(diào),則ωA.11 B.9 C.7 D.5【解析】選B.因?yàn)閤=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為f(所以2n+14·T=π2,即2n+14·即ω=2n+1(n∈N),即ω為正奇數(shù),因?yàn)閒(x)在(π18,5π36則5π36-π18=π12即T=2πω≥π6,解得當(dāng)ω=11時(shí),-11π4+φ=kπ,k∈因?yàn)閨φ|≤π2,所以φ=-π此時(shí)f(x)在(π18,5π36當(dāng)ω=9時(shí),-9π4+φ=kπ,k∈因?yàn)閨φ|≤π2,所以φ=π此時(shí)f(x)在(π18,5π36故ω的最大值為9.【總結(jié)升華】利用三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性求ω的方法(1)利用正弦、余弦三角函數(shù)的周期性求ω的公式ω=2πT(2)三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平距離”與周期T密切相關(guān),可利用對(duì)稱性來(lái)研究周期,進(jìn)而求出ω的取值范圍.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心與函數(shù)的零點(diǎn)之間相互轉(zhuǎn)化,因此也可轉(zhuǎn)化求ω的值(或取值范圍).【即學(xué)即練】1.為了使y=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50次最大值,則ω的最小值是()A.98π B.197π2 C.199π2 D【解析】選B.因?yàn)槭箉=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50次最大值,所以4914×T≤1,即1974×2πω≤1,所以ω2.將函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的圖象向右平移3π2ω個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若F(x)=f(x)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,0)對(duì)稱,則ω的最小值為A.13 B.12 C.1 D【解析】選C.將函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的圖象向右平移3π2ω個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=sin(ωx-3π2+π6)=sin(若F(x)=f(x)g(x)=sin(ωx+π6)sin(ωx+2π=sin(ωx+π6)cos(ωx+π6)=12sin(2ωx+π3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,0)對(duì)稱,所以2ω·π3+π3=kπ,k類型三利用三角函數(shù)的最值求ω【例3】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0),將其圖象向右平移14個(gè)周期得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在[0,π]上的值域?yàn)閇-12,1],則ω的取值范圍為 A.[1,43] B.[23,C.[23,53] D.[1【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω將其圖象向右平移14個(gè)周期得到函數(shù)g(x)=sin(ωx-ω×14×2πω+π3)=sin(ωx-π6)的圖象,在[0,π]上,ωx-π6∈[-π若函數(shù)g(x)在[0,π]上的值域?yàn)閇-12,1]所以π2≤ωπ-π6≤7π6,求得23≤【總結(jié)升華】利用三角函數(shù)的最值求ω的策略(1)已知含參數(shù)ω的函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上的值域求參數(shù)ω的方法:“整體代換”法,其步驟與求函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上的值域類似.(2)利用三角函數(shù)的最值與單調(diào)性和對(duì)稱性的關(guān)系,列出關(guān)于ω的不等式,進(jìn)而求出ω的值(范圍).【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|≤π2,-π4為f(x)的零點(diǎn),且f(x)≤|f(π4)|恒成立,f(x)在區(qū)間(-π12,π24)上有最小值無(wú)最大值,則ωA.11 B.13 C.15 D.17【解析】選C.由題意知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)x=π4為f(x)圖象的對(duì)稱軸,x=-π4為f(x)的零點(diǎn),所以2n-14·2πω=π2,n∈N*,所以ω=2n-1,n∈N*,f(x)在區(qū)間(-π12,π24)上有最小值無(wú)最大值,所以周期T≥(π所以ω≤16.所以要求ω的最大值,結(jié)合選項(xiàng),先檢驗(yàn)ω=15,當(dāng)ω=15時(shí),由題意可得-π4×15+φ=kπ,φ=-π4,函數(shù)為y=f(x)=sin(15x-π在區(qū)間(-π12,π24)上,15x-π4∈(-3π2此時(shí)f(x)在15x-π4=-π2時(shí)取得最小值,無(wú)最大值,所以ω則ω的最大值為15.類型四利用三角函數(shù)的零點(diǎn)求ω【例4】將函數(shù)f(x)=sinx的圖象先向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω(ω>0),縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在(π2,3π2)上沒(méi)有零點(diǎn),則ω的取值范圍是A.(0,29]∪[23,89] B.(C.(0,29∪[89,1] D【解析】選A.將函數(shù)f(x)=sinx的圖象先向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sin(x-π3再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω(ω得到函數(shù)g(x)=sin(ωx-π3)由函數(shù)g(x)在(π2,3π2)上沒(méi)有零點(diǎn),則T2≥3π2-π2,則T假設(shè)函數(shù)g(x)在(π2,3π2則ωx-π3=kπ,k∈Z,則x=kπω+π3由π2<kπω+π可得2k3+29<ω<2k+23,k>-1又0<ω≤1,則ω∈(29,23)∪(89則由函數(shù)g(x)在(π2,3π2且0<ω≤1,可得ω∈(0,29]∪[23,8【總結(jié)升華】利用三角函數(shù)的零點(diǎn)求ω的策略(1)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問(wèn)題時(shí),往往都是采取整體換元的思想,即通過(guò)ωx+φ的取值情況確定函數(shù)零點(diǎn)的情況,因此可根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況來(lái)確定ω的值或取值范圍.(2)三角函數(shù)兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間的“水平間隔”為T2,根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),可以研究ω的取值【即學(xué)即練】1.(多選)已知函數(shù)f(x)=cos2ωx2+32sinωx-12(ω>0,x∈R),若函數(shù)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則ω的取值可以是 A.512 B.56 C.1112 【解析】選ABC.f(x)=12cosωx+32sinωx-12=sin(ωx+π6令ωx+π6=kπ可得x=-π6ω+kπω令π<-π6ω+kπω<2π解得ω+16<k因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),所以區(qū)間(ω+16,2ω+16)又2πω·12≥2π-π=π,所以又ω>0,所以(ω+16,2ω+16)?(0,1)或(ω+16,2ω+16所以2ω+16≤1或1≤ω+16<2ω+解得0<ω≤512或56≤ω≤2.(2022·全國(guó)乙卷)記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T.若f(T)=32,x=π9為f(x)的零點(diǎn),則ω的最小值為【解析】因?yàn)閒(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=2πω因?yàn)閒(T)=cos(ω·2πω+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=32,又因?yàn)?<φ<π,所以φ=即f(x)=cos(ωx+π6)又因?yàn)閤=π9為f(x所以π9ω+π6=π2+kπ,解得ω=3+9k,k∈Z,因?yàn)棣?/p>