高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習方略》2025版必修第一冊課時過程性評價二十三　函數(shù)的奇偶性(一)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習方略》2025版必修第一冊課時過程性評價二十三函數(shù)的奇偶性(一)含答案二十三函數(shù)的奇偶性(一)(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},則a+b的值為 ()A.-1 B.1 C.0 D.2【解析】選A.因為一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以a與b有一個等于1,一個等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.2.(5分)如圖,給出奇函數(shù)y=f(x)的局部圖象,則f(-2)+f(-1)的值為 ()A.-2 B.2 C.1 D.0【解析】選A.f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-32-123.(5分)(2024·湛江高一檢測)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x>0時,f(x)=-2x2+x,則f(-2)= ()A.-6 B.6 C.-10 D.10【解析】選B.因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-2)=-f(2)=-(-2×22+2)=6.4.(5分)函數(shù)f(x)=x2+3x(xA.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【解析】選B.作出函數(shù)的圖象,如圖所示的實線部分:由圖可知,該函數(shù)為偶函數(shù).5.(5分)(多選)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()A.f(x)=x3 B.f(x)=x5C.f(x)=x+1x D.f(x)=【解析】選ABC.選項ABC中的函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點對稱,且f(-x)=-f(x),由奇函數(shù)的定義可知A,B,C符合.6.(5分)(多選)已知定義在區(qū)間[-7,7]上的一個偶函數(shù),它在[0,7]上的圖象如圖,則下列說法正確的有 ()A.這個函數(shù)有兩個單調(diào)遞增區(qū)間B.這個函數(shù)有三個單調(diào)遞減區(qū)間C.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7D.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7【解析】選BC.根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對稱性,作出其在[-7,7]上的圖象,如圖所示.由圖象可知這個函數(shù)有三個單調(diào)遞增區(qū)間,有三個單調(diào)遞減區(qū)間,在其定義域內(nèi)有最大值7,最小值不是-7.7.(5分)函數(shù)f(x)=x2+|x|的圖象關(guān)于對稱.

【解析】因為f(-x)=(-x)2+|-x|=x2+|x|=f(x),且x∈R,定義域關(guān)于原點對稱,所以y=f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱.答案:y軸8.(5分)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=.

【解析】在f(x)-g(x)=x3+x2+1中,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,又f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1),所以f(1)+g(1)=1.答案:1【補償訓(xùn)練】已知定義在[a-4,2a-2]上的奇函數(shù)f(x)=2024x3-2023x+b+2,則f(a)+f(b)的值為.

【解析】因為f(x)=2024x3-2023x+b+2是定義在[a-4,2a-2]上的奇函數(shù),所以a-4+(2a-2)=0,且f(0)=b+2=0.解得a=2且b=-2.所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0.答案:09.(5分)如圖,已知偶函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,則不等式f(x)<0的解集為.

【解析】由條件利用偶函數(shù)的性質(zhì),畫出函數(shù)f(x)在R上的簡圖:數(shù)形結(jié)合可得不等式f(x)<0的解集為(-3,0)∪(0,3).答案:(-3,0)∪(0,3)10.(10分)判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=2x+1x【解析】(1)函數(shù)的定義域為{x|x≠0},由f(-x)=-2x+1-x=-(2x+1x)=-f(x),所以函數(shù)f((2)f(x)=2-|x|;【解析】(2)函數(shù)的定義域為R,由f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).(3)f(x)=(1-x)1+x【解析】(3)由1+x1-x所以函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1),不關(guān)于原點對稱,故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).【綜合應(yīng)用練】11.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=1-x1+x,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1【解析】選B.f(x-1)-1=1-(x-1)1+x-1-1=2-2xx,不是奇函數(shù),故選項A不符合題意;f(x-1)+1=1-(x-1)1+x12.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax3-bx-3,若f(-1)=7,則f(1)= ()A.-7 B.7 C.-13 D.13【解析】選C.設(shè)g(x)=f(x)+3=ax3-bx,則g(-x)=-g(x),又g(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,所以g(x)為奇函數(shù),由f(-1)=7,得g(-1)=10,所以g(1)=-10,從而f(1)=g(1)-3=-13.13.(5分)若函數(shù)f(x)=x(2x+1)(【解析】函數(shù)f(x)的定義域為xx又f(x)為奇函數(shù),定義域應(yīng)關(guān)于原點對稱,所以a=12答案:114.(10分)已知函數(shù)f(x)=1x2(1)請據(jù)此在該坐標系中補全函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的圖象,并說明作圖依據(jù);【解析】(1)因為x2+1≠0,所以f(x)的定義域為R.又對任意x∈R,都有f(-x)=1(-x)2+1=1x2+1=f所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,其圖象如圖所示.(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間.【解析】(2)由函數(shù)的圖象得函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,0].15.(10分)已知函數(shù)f(x)是正比例函數(shù),函數(shù)g(x)是反比例函數(shù),且f(1)=1,g(1)=2.(1)求函數(shù)f(x)和g(x);【解析】(1)設(shè)f(x)=k1x,g(x)=k2x(k1,k則1=f(1)=k1,2=g(1)=k2,所以f(x)=x,g(x)=2x(2)判斷f(x)+g(x)的奇偶性;【解析】(2)令h(x)=f(x)+g(x)=x+2x則其定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),又h(-x)=-x+2-x=-(x+2x)=-h所以f(x)+g(x)為奇函數(shù).(3)求函數(shù)f(x)+g(x)在(0,2)上的最小值.【解析】(3)因為當x∈(0,2)時,f(x)+g(x)=x+2x≥2x·2當且僅當x=2x>0,即x=2∈(0,2)時不等式等號成立,故f(x)+g(x)在(0,2)上的最小值為22【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)已知函數(shù)f(x-2)為偶函數(shù),當x>0時,f(x)=x2+mx,且f(-6)=5,則m= (A.2 B.4 C.100 D.186【解析】選A.令g(x)=f(x-2),則g(x)為偶函數(shù),所以g(-4)=f(-6)=5=g(4),又g(4)=f(2),所以f(2)=4+m2=5,解得m=217.(5分)已知y=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù),它們的定義域都是[-3,3],且它們在x∈[0,3]時的圖象如圖所示,則不等式f(x)g(A.(1,2)B.(0,1)∪(2,3)C.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)D.(-3,-2)∪(-1,1)∪(2,3)【解析】選C.已知y=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù),根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性畫出y=f(x),y=g(x)在[-3,0)上的圖象如圖所示.由圖可知f(x)>0?0<x<2或-2<x<0,f(x)<0?2<x≤3或-3≤x<-2,g(x)>0?1<x<3或-1<x<0,g(x)<0?0<x<1或-3<x<-1.當f(x)g((-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).二十四函數(shù)的奇偶性(二)(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(x)<f(1)的x的取值范圍是 ()A.(-∞,1) B.(-∞,-1)C.(0,1) D.[-1,1)【解析】選A.由于f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且是奇函數(shù),所以f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)<f(1)等價于x<1.2.(5分)若偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),則a=f(-2),b=f(π2),c=f(32)的大小關(guān)系是(A.b<a<c B.b<c<aC.a<c<b D.c<a<b【解析】選C.由f(x)為偶函數(shù),得a=f(-2)=f(2).又2<32<π2,f(所以f(2)<f(32)<f(π2),即a<c【補償訓(xùn)練】若對于任意實數(shù)x總有f(-x)=f(x),且f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是增函數(shù),則 ()A.f(-32)<f(-1)<fB.f(2)<f(-32)<fC.f(2)<f(-1)<f(-32D.f(-1)<f(-32)<f【解析】選B.因為對任意實數(shù)x總有f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),所以f(2)=f(-2).又f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是增函數(shù),-2<-32<-1,所以f(2)<f(-32)<f3.(5分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 ()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【解析】選C.易知f(x)g(x)是奇函數(shù),|f(x)|g(x)是偶函數(shù),則A,B不正確.又f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,知f(x)·|g(x)|是奇函數(shù),C正確.顯然|f(x)g(x)|是偶函數(shù),D項不正確.4.(5分)(2024·深圳高一檢測)奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的解析式為f(x)=x(1+x),則f(x)在(0,+∞)上有 ()A.最大值-14 B.最大值C.最小值-14 D.最小值【解析】選B.當x>0時,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-(x-12)2+14,所以當x>0時,f(x)有最大值5.(5分)(多選)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-2x-3,則下列說法中正確的有 ()A.當x<0時,f(x)=x2+2x+3B.f(0)=-3C.當x<0時,f(x)=-x2-2x+3D.f(-2)=3【解析】選CD.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(0)=0,設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2×(-x)-3=x2+2x-3,f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3,f(-2)=3.6.(5分)(多選)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減C.有最小值f(2) D.有最大值f(2)【解析】選BC.因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)f(x)在y軸兩側(cè)的單調(diào)性相同.因為f(x)在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2).【補償訓(xùn)練】如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,-1]上單調(diào)遞增且有最大值5,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上 ()A.單調(diào)遞增且最小值為-5B.單調(diào)遞增且最大值為-5C.單調(diào)遞減且最小值為-5D.單調(diào)遞減且最大值為-5【解析】選A.因為f(x)為奇函數(shù),所以f(x)在[1,3]上的單調(diào)性與[-3,-1]上一致且f(1)為最小值,又已知f(-1)=5,所以f(-1)=-f(1)=5,所以最小值為f(1)=-5.7.(5分)函數(shù)f(x)在R上為偶函數(shù),且x>0時,f(x)=x+1,則當x<0時,f(x)=.

【解析】因為f(x)為偶函數(shù),x>0時,f(x)=x+1,所以當x<0時,-x>0,f(x)=f(-x)=-x+1,所以當x<0時,f(x)=-x答案:-x8.(5分)定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:對于任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y則f(0)=,f(x)為函數(shù)(填“奇”或“偶”).

【解析】令x=y=0,則f(0)+f(0)=f(0),得f(0)=0.令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),又定義域關(guān)于原點對稱,故y=f(x)是奇函數(shù).答案:0奇9.(5分)(2024·杭州高一檢測)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是增函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是.

【解析】因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),所以f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),又因為f(2)=0,所以f(x)<0?f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)10.(10分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=13x3+12x(1)求f(x)的解析式,并補全f(x)的圖象;【解析】(1)設(shè)x<0,則-x>0,于是f(-x)=-13x3+12x又因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=-13x3+12x所以f(x)=-1補全圖象如圖所示.(2)根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.【解析】(2)根據(jù)圖象知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).【綜合應(yīng)用練】11.(5分)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a-1,2a]上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,2a]上單調(diào)遞增,則不等式f(x-1)<f(a)的解集為 ()A.[-1,3] B.(0,2)C.(0,1)∪(2,3] D.[-1,0)∪(1,2)【解析】選B.因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a-1,2a]上的偶函數(shù),所以-a-1+2a=0,解得a=1,故f(x-1)<f(a)可化為f(|x-1|)<f(1),因為f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,所以|x-1|<1,解得0<x<2.12.(5分)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法正確的是 ()A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x)為偶函數(shù)C.g(x)=f(x)+1為奇函數(shù)D.g(x)=f(x)+1為偶函數(shù)【解析】選C.因為對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1.所以令x1=x2=0,得f(0)=-1;令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以g(x)=f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]=-g(-x),所以g(x)=f(x)+1為奇函數(shù).13.(5分)若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函數(shù),則f(0),f(1),f(-2)從小到大的排列是.

【解析】因為f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,所以m=0,即f(x)=-x2+2.因為f(x)的圖象開口向下,對稱軸為y軸,在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)<f(0).答案:f(-2)<f(1)<f(0)14.(10分)設(shè)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=1x-1,求函數(shù)f(x),g(【解析】因為f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=1x-用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=1-所以f(x)-g(x)=1-x(①+②)÷2,得f(x)=1x(①-②)÷2,得g(x)=xx15.(10分)已知函數(shù)f(x)是定義在(-2,2)上的奇函數(shù),滿足f(1)=15,當-2<x≤0時,有f(x)=ax(1)求函數(shù)f(x)的解析式;【解析】(1)因為函數(shù)f(x)是定義在(-2,2)上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即b4=0,解得b=0因為f(1)=15,所以f(-1)=-15=-所以a=1,所以當-2<x≤0時,f(x)=xx當x∈[0,2)時,-x∈(-2,0],則f(x)=-f(-x)=--xx2綜上所述,f(x)=xx2+4(-2<(2)若函數(shù)f(x)在(-2,2)上為