高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)5.5.2　簡(jiǎn)單的三角恒等變換(二)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換(二)含答案5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能利用三角恒等變換解決幾何中的問(wèn)題.2.能利用三角恒等變換解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算類型一三角恒等變換在幾何中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(教材P227例10改編)某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接矩形桌面,若扇形的半徑長(zhǎng)為1m,求割出的矩形桌面的最大面積(如圖).【解析】如圖,連接OC,設(shè)∠COB=θ,則0°<θ<45°,OC=1.因?yàn)锳B=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ,所以S矩形ABCD=AB·BC=(cosθ-sinθ)·sinθ=-sin2θ+sinθcosθ=-12(1-cos2θ)+12sin2θ=12(sin2θ+cos2θ)-12=22當(dāng)2θ-45°=0°,即θ=22.5°時(shí),(S矩形ABCD)max=2-12m2,所以割出的矩形桌面的最大面積為2【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖是由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為θ,那么cos2θ的值為 ()A.-725 B.725 C.-1225 【解析】選B.由題意可知小正方形的邊長(zhǎng)為1,大正方形的邊長(zhǎng)為5,直角三角形的面積為6.設(shè)直角三角形的直角邊分別為a,b且a<b,則b=a+1,所以直角三角形的面積為S=12ab聯(lián)立方程組可得a=3,b=4,所以sinθ=35,cos2θ=1-2sin2θ=7【總結(jié)升華】關(guān)于恒等變換在幾何中的應(yīng)用三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系,幾何中的角度、長(zhǎng)度、面積等問(wèn)題,常借助三角變換來(lái)解決,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想.【即學(xué)即練】如圖所示,要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形,當(dāng)α等于多少時(shí),才能使△OAB的周長(zhǎng)最長(zhǎng)?【解析】設(shè)△OAB的周長(zhǎng)為l,則AB=Rsinα,OB=Rcosα,所以l=OA+AB+OB=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=2Rsin(α+π4)+因?yàn)?<α<π2,所以π4<α+π4所以當(dāng)α+π4=π即α=π4時(shí),l最大,最大值為2R+R=(2+1)R故當(dāng)α=π4時(shí),△OAB的周長(zhǎng)最長(zhǎng)類型二恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例2】如圖,有一塊以點(diǎn)O為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD開(kāi)辟為綠地,使其一邊AD落在半圓的直徑上,另兩點(diǎn)B,C落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑長(zhǎng)為20m.(1)如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)A,D的位置,可以使矩形ABCD的面積最大,最大值是多少?【解析】(1)連接OB(圖略),設(shè)∠AOB=θ,則AB=OBsinθ=20sinθ,OA=OBcosθ=20cosθ,且θ∈(0,π2)因?yàn)锳,D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,所以AD=2OA=40cosθ.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因?yàn)棣取?0,π2所以當(dāng)sin2θ=1,即θ=π4時(shí),Smax=400m2.此時(shí)AO=DO=102m故當(dāng)A,D距離圓心O為102m時(shí),矩形ABCD的面積最大,其最大面積是400m2.(2)沿著AB,BC,CD修一條步行小路從A到D,如何選擇A,D位置,使步行小路的距離最遠(yuǎn)?【解析】(2)由(1)知AB=20sinθ,AD=40cosθ,所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=402sin(θ+π4又θ∈(0,π2所以θ+π4∈(π4,3π4),當(dāng)θ+π4=π2,即θ=π4時(shí),(AB+BC+CD)max=402,此時(shí)AO=DO=102,即當(dāng)A,D【總結(jié)升華】關(guān)于恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用(1)理解題意,作出實(shí)際問(wèn)題涉及的圖形,或?qū)l件轉(zhuǎn)化為圖形中的條件;(2)合理引入輔助角α,確定各量之間的關(guān)系,將實(shí)際問(wèn)題表示成關(guān)于角α的三角函數(shù)問(wèn)題,最后利用恒等變換結(jié)合函數(shù)知識(shí)解題.【即學(xué)即練】如圖,OA,OB是兩條互相垂直的筆直公路,半徑OA=2km的扇形AOB是某地的一處名勝古跡區(qū)域.當(dāng)?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力,欲在圓弧AB上新增一個(gè)入口P(點(diǎn)P不與A,B重合),并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB,MN,切點(diǎn)分別是B,P.當(dāng)新建的兩條公路總長(zhǎng)最小時(shí),投資費(fèi)用最低.設(shè)∠POA=θ,公路MB,MN的總長(zhǎng)為f(θ).求f(θ)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.【解析】連接OM(圖略),在Rt△OPN中,OP=2,∠POA=θ,故NP=2tanθ.根據(jù)平面幾何知識(shí)可知,MB=MP,∠BOM=12∠BOP=12(π2-θ)=π在Rt△BOM中,OB=2,∠BOM=π4-θ故BM=2tan(π4-θ所以f(θ)=NP+2BM=2tanθ+4tan(π4-θ2顯然θ∈(0,π2),所以函數(shù)f(θ)的定義域?yàn)?0,π2教材深一度輔助角公式:一般地,對(duì)于y=asinx±bcosx,可以進(jìn)行合并轉(zhuǎn)化為y=a2+b2sin(x±φ),tanφ操作步驟如下:第一步:提常數(shù),提出a2得到a2+b2(aa2+第二步:定角度,確定一個(gè)角φ滿足cosφ=aa2+b2得到a2+b2(cosφsinx±sin第三步:化簡(jiǎn)、逆用公式得asinx±bcosx=a2+b2sin(x±φ),其中tan【典例3】(1)y=32sinx+12cosx的最小正周期為 (A.2π B.π C.π2 D.【解析】選A.y=32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x(2)已知sin(π6+α)=14,則cosα+3sinα的值為1【解析】cosα+3sinα=2(sinα·32+cosα·12)=2(sinαcosπ6+cosαsinπ6)=2sin(α+π6【典例4】已知函數(shù)f(x)=cos2x+3sinxcosx,(1)若α是第二象限角,且sinα=63,求f(α【解析】(1)因?yàn)棣潦堑诙笙藿?且sinα=63所以cosα=-1-sin2α所以f(α)=13-3×63×33(2)當(dāng)x∈[0,π2]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域【解析】(2)f(x)=cos2x+3sinxcosx=1+cos2x32sin2x=sin(2x+π6)+由x∈[0,π2],可知2x+π6∈[π6,所以-12≤sin(2x+π6)≤1,所以f(x)∈[0,3【總結(jié)升華】輔助角公式y(tǒng)=a2+b2sin(研究三角函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性和最值,通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過(guò)恰當(dāng)?shù)娜亲儞Q,轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角函數(shù),再研究轉(zhuǎn)化后的函數(shù)的性質(zhì).在這個(gè)過(guò)程中通常利用輔助角公式,將y=asinx±bcosx轉(zhuǎn)化為y=a2+b2sin(x±φ)或y=a2+【即學(xué)即練】1.y=sinx-cosx的最小值為 ()A.-1 B.0 C.-2 D.-2【解析】選D.y=sinx-cosx=2(sinx·22-cosx·22)=2(sinxcosπ4-cosx=2sin(x-π4),所以最小值為-22.2(sin15°+cos15°)的值為3.

【解析】2(sin15°+cos15°)=2·2(sin15°·22+cos15°·22)=2(sin15°cos45°+cos15°sin45°)=2sin(15°+45°)=2sin60°=2×32【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=sinx(2cosx-sinx)+cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;【解析】(1)因?yàn)閒(x)=sinx(2cosx-sinx)+cos2x=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4),所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π(2)若π4<α<π2,且f(α)=-5213【解析】(2)f(α)=-5213,即2sin(2α+π4則sin(2α+π4)=-5因?yàn)棣?<α<π2,所以3π4<2α+π所以cos(2α+π4)=-12所以sin2α=sin[(2α+π4)-π=22sin(2α+π4)-22cos(2α=22×(-513)-22×(-125.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能運(yùn)用二倍角的余弦公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式.2.能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值及證明.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算1.半角公式正弦sinα2=±余弦cosα2=±正切tanα2=±2.半角的有理公式tanα2=sinα1+cosα=1教材挖掘(P225思考)問(wèn)題1α與α2提示:倍角關(guān)系.問(wèn)題2用cosα如何表示sin2α2,cos2α2,tan2提示:cosα=1-2sin2α2=2cos2α1-【教材深化】(1)半角公式中的正弦、余弦公式實(shí)際上是由二倍角的余弦公式變形得到的.(2)半角公式給出了求α2的正弦、余弦、正切的另一種方式,即只需知道cosα的值及相應(yīng)的α的條件,便可求出sinα2,cosα2(3)對(duì)“半角”的理解應(yīng)是廣義的,不能僅限于α2是α的一半,其他如α是2α的一半,α4是α2的一半,3α(4)半角公式中的±不能去掉,若沒(méi)有給出決定符號(hào)的條件,則在根號(hào)前保留±兩個(gè)符號(hào);若給出α的具體范圍時(shí),則先求α2的所在范圍,然后根據(jù)α2【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)cosα2=1+cosα2提示:cosα2=±1+cos(2)存在α∈R,使得cosα2=12cosα.提示:如cosα2=1-(3)若α是第一象限角,則tanα2=1-cos提示:若α是第一象限角,則α2是第一、三象限角,tanα2類型一利用半角公式求值(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(教材提升·P225例7)已知sinα=-45,π<α<3π2,求sinα2,cosα2【解析】因?yàn)棣?lt;α<3π2,sinα=-4所以cosα=-35,且π2<α2所以sinα2=1-coscosα2=-1+cosα2tanα2=sinα【總結(jié)升華】利用半角公式求值的思路(1)觀察角:已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍;(2)明范圍:依據(jù)已知角的范圍,確定相應(yīng)半角的范圍;(3)選公式:涉及半角公式的正切值時(shí),常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開(kāi)方帶來(lái)的求角的范圍問(wèn)題;涉及半角公式的正、余弦值時(shí),常先利用sin2α(4)下結(jié)論:結(jié)合(2)求值.【即學(xué)即練】1.求下列式子的值:(1)sin75°;(2)tan75°.【解析】(1)sin75°=1-cos150°2=1+cos30°2=【解析】(2)方法一:tan75°=1-cos150°1+cos方法二:tan75°=1-cos150°方法三:tan75°=sin150°1+cos2.已知|cosθ|=35,且5π2<θ<3π,求sinθ【解析】因?yàn)閨cosθ|=35,5π2<所以cosθ=-35,5π4<θ2所以sinθ2=-1+35【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sinα=-45,則tanα2=-12【解析】因?yàn)閟inα=-45,所以cosα=±3若cosα=35,則tanα2=1-若cosα=-35,則tanα2=1+類型二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題(數(shù)學(xué)抽象)【典例2】化簡(jiǎn)(1-sinα-cosα)【解析】原式=(2si=2sin=sinα2(si因?yàn)?π<α<0,所以-π2<α2<0,所以sin所以原式=-sinα【總結(jié)升華】化簡(jiǎn)問(wèn)題中的“三變”(1)變角:尋找式子中各角之間的聯(lián)系,通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯(lián)系它們的公式;(2)變名:觀察三角函數(shù)種類的差異,盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱,如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切;(3)變式:分析式子的結(jié)構(gòu)形式的差異,選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?如升冪、降冪、配方、開(kāi)方等.提醒:涉及開(kāi)方運(yùn)算時(shí)一定要注意角的范圍.【即學(xué)即練】已知π<α<3π2,化簡(jiǎn):1+sinα1+cos【解析】原式=sinsin因?yàn)棣?lt;α<3π2,所以π2<α2所以cosα2<0,sinα2>0原式=sinsinα2sinα2-cos【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡(jiǎn):cos(3π2-α【解析】因?yàn)閠anα2=sin所以(1+cosα)tanα2=sin又因?yàn)閏os(3π2-α)=-sinα且1-cosα=2sin2α2所以原式=-sinα=-22因?yàn)?<α<π,所以0<α2<π所以sinα2>0所以原式=-22cosα2類型三三角恒等式的證明問(wèn)題(邏輯推理)【典例3】求證:1+sinθ-cosθ1+sin【證明】方法一:左邊=2sin2cos2θ2+2sinθ2cosθ22sin方法二:左邊=(=2(1+sinθ)2+2cos2【總結(jié)升華】三角恒等式證明的五種常用方法執(zhí)因索果法證明的形式一般化繁為簡(jiǎn)左右歸一法證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子拼湊法針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異,有針對(duì)性地變形,以消除它們之間的差異,簡(jiǎn)言之,即化異求同比較法設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“左邊/右邊=1”分析法從被證明的等式出發(fā),逐步探求使等式成立的條件,一直到已知條件或明顯的事實(shí)為止,就可以斷定原等式成立【即學(xué)即練】證明:2sinxcosx【證明】左邊=2sin=2sinxcosx4sin右邊=1+2cos2x所以左邊=右邊,即等式成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求證:1+sinα1-【證明】左邊=1+sinα1=tan2=1+tanα教材深一度1.積化和差公式(1)sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β(2)cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β(3)cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β(4)sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]2.和差化積公式(1)sinθ+sinφ=2sinθ+φ2(2)sinθ-sinφ=2cosθ+φ2(3)cosθ+cosφ=2cosθ+φ2(4)cosθ-cosφ=-2sinθ+φ2積化和差、和差化積的轉(zhuǎn)換用到了換元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,從而把包含α,β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ,φ的三角函數(shù)式.或者把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作關(guān)于x,y的方程,則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程(組)求x,它們都體現(xiàn)了化歸思想.【典例4】(1)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.【解析】方法一:sin220°+cos250°+sin20°cos50°=12(1-cos40°)+12(1+cos10