高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊3.3　冪函數(shù)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊3.3冪函數(shù)含答案3.3冪函數(shù)【學(xué)習(xí)目標】1.了解冪函數(shù)的概念,會求冪函數(shù)的解析式.2.結(jié)合冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x13.能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【素養(yǎng)達成】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算直觀想象、邏輯推理邏輯推理一、冪函數(shù)的概念一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).教材挖掘冪函數(shù)有何特點,函數(shù)y=2x,y=2x2是冪函數(shù)嗎?提示:冪函數(shù)的特征:(1)xα的系數(shù)是1;(2)xα的底數(shù)x是自變量;(3)xα的指數(shù)α為常數(shù).函數(shù)y=2x不滿足(2),不是冪函數(shù),函數(shù)y=2x2不滿足(1),不是冪函數(shù).二、常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x12和y=x-1的圖象都過點(2)函數(shù)y=x,y=x3,y=x-1是奇函數(shù),函數(shù)y=x2是偶函數(shù);(3)在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x12單調(diào)遞增,函數(shù)y=x-1單調(diào)(4)在第一象限內(nèi),函數(shù)y=x-1的圖象向上與y軸無限接近,向右與x軸無限接近.教材挖掘(P90)冪函數(shù)的圖象能出現(xiàn)在第四象限嗎?為什么?提示:不能,當x>0時,不論α如何取值,函數(shù)值均不小于0.【教材深化】冪函數(shù)的單調(diào)性(1)如果α>0,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;如果α<0,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.(2)在(1,+∞)上,隨著指數(shù)的逐漸增大,函數(shù)圖象越來越靠近y軸.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y=x0是冪函數(shù). (√)提示:滿足冪函數(shù)的特征.(2)冪函數(shù)的圖象都過原點. (×)提示:冪函數(shù)y=x-1的圖象不過原點.(3)冪函數(shù)一定具有奇偶性. (×)提示:y=x12(4)當α>0時,冪函數(shù)y=xα在第一象限內(nèi)都是遞增的. (√)類型一冪函數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是冪函數(shù),則a+b等于()A.2 B.1 C.12 D.【解析】選A.因為f(x)=ax2a+1-b+1是冪函數(shù),所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,則a+b=2.(2)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足f(4)=4f(2),則f(12)的值等于【解析】設(shè)f(x)=xα,因為f(4)=4f(2),所以4α=4×2α,解得α=2,所以f(x)=x2,所以f(12)=1答案:1【總結(jié)升華】冪函數(shù)概念的關(guān)注點一個必須:必須完全具備形如y=xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù).三條滿足:(1)指數(shù)為常數(shù);(2)底數(shù)為自變量;(3)系數(shù)為1.【即學(xué)即練】1.下列函數(shù)中,是冪函數(shù)的為()A.y=1x2 B.y=4x3 C.y=x2+x D【解析】選A.因為y=1x2=x-2,所以是冪函數(shù);y=4x3由于出現(xiàn)系數(shù)4,因此不是冪函數(shù);y=x2+x是兩項和的形式,不是冪函數(shù);y=1與y=x0(x≠0),可以看出,常函數(shù)y=1的圖象比冪函數(shù)y=x0的圖象多了一個點(0,1),所以常函數(shù)y2.若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足f(3)=27,則f(-2)的值等于.

【解析】設(shè)f(x)=xα,因為f(3)=27,所以3α=27,解得α=3,所以f(-2)=(-2)3=-8.答案:-8類型二冪函數(shù)的圖象及其應(yīng)用(直觀想象)【典例2】(1)如圖是冪函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則()A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1【解析】選B.在(0,1)內(nèi)取同一值x0,作直線x=x0,與各圖象有交點,如圖所示.根據(jù)點低指數(shù)大,有0<m<1,n<-1.(2)(2024·上海高一檢測)如圖為三個冪函數(shù)y=xa1,y=xa2,y=xa3在其定義域上的局部圖象,則實數(shù)a1,a2,【解析】對于y=xa1,由其圖象可知a1<-1,例如a對于y=xa2,由其圖象可知0<a2<1,例如a2=對于y=xa3,由其圖象可知a3>1,例如a3=3,所以a1<a2<a答案:a1<a2<a3【總結(jié)升華】解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象判斷冪指數(shù)大小,相關(guān)結(jié)論為:在(0,1)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸;在(1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越遠離x軸.(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或y=x12或y=x3【即學(xué)即練】下列關(guān)于函數(shù)y=xα與y=αx(α∈{-1,12【解析】選C.函數(shù)y=xα是冪函數(shù),而y=αx是一次函數(shù),選項A,直線對應(yīng)函數(shù)y=x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y=x-1;選項B,直線對應(yīng)函數(shù)為y=2x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y=x12;選項C,直線對應(yīng)函數(shù)為y=2x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y=x2;選項D,直線對應(yīng)函數(shù)y=-x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y=x【補償訓(xùn)練】函數(shù)y=x5【解析】選B.函數(shù)y=x53=3x5是定義域為R的奇函數(shù),且此函數(shù)在定義域上是增函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,排除A,C.另外,因為y=(12)

53=12×(12)

23<12,y=153=1,y=253=2×223>2,所以當x∈(0,1)時,函數(shù)y=類型三冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(邏輯推理)角度1比較冪值的大小【典例3】(類題·節(jié)節(jié)高)比較下列各組數(shù)的大小:(1)(23)0.5與(35)0.【解析】(1)因為y=x0.5在[0,+∞)上是增函數(shù)且23>35,所以(23)0.5>(35)(2)-3.143與-π3;【解析】(2)因為y=x3是R上的增函數(shù),且3.14<π,所以3.143<π3,所以-3.143>-π3.(3)(32)

34與(3【解析】(3)因為函數(shù)y1=x3又32>1,所以(32)

34又因為函數(shù)y2=x32在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且所以(34)

32所以(32)

34>(3【總結(jié)升華】比較冪值大小的兩種基本方法【即學(xué)即練】比較下列各組數(shù)的大小:(1)252與【解析】(1)因為冪函數(shù)y=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又25>1所以252>(2)(-23)-1與(-35)【解析】(2)因為冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上單調(diào)遞減,又-23<-3所以(-23)-1>(-35)角度2冪函數(shù)性質(zhì)的綜合問題【典例4】已知冪函數(shù)f(x)=xm2-m-3(m∈(1)求f(x);【解析】(1)由題知冪函數(shù)f(x)=xm2-m-3(m所以m2-m-3<0,解得1-132<m又m∈N*且m≥2,所以m=2.當m=2時,f(x)=x-1,為奇函數(shù).故f(x)=x-1.(2)比較f(-2024)與f(-2023)的大小.【解析】(2)由題知f(x)為奇函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),所以f(-2024)=-f(2024),f(-2023)=-f(2023),且f(2024)<f(2023),所以f(-2024)>f(-2023).【總結(jié)升華】冪函數(shù)性質(zhì)綜合問題的注意點(1)充分利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì),如圖象所過定點、單調(diào)性、奇偶性等;(2)注意運用常見的思想方法,如分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.【即學(xué)即練】已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(3,13)(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并判斷奇偶性.【解析】(1)依題意得13=(3)α,α=-2故f(x)=x-2,定義域為x≠0.f(-x)=(-x)-2=1x2=x-2=f(x),所以f(x(2)判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明.【解析】(2)假設(shè)任意x1<x2<0,f(x1)-f(x2)=x1-2-=(x1+x2)(x2-x1)x12x(3)作出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的大致圖象(不必寫出作圖過程).【解析】(3)如圖.3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)【學(xué)習(xí)目標】1.了解函數(shù)模型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.2.能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題.【素養(yǎng)達成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模類型一一次函數(shù)模型(數(shù)學(xué)建模)【典例1】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的出廠價為50元,其成本為25元,因為在生產(chǎn)過程中,平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設(shè)計了兩個污水處理方案,并準備實施.方案1:工廠污水凈化后再排出,每處理1立方米污水所耗原料費為2元,并且每月排污設(shè)備損耗費為30000元;方案2:工廠污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理,每處理1立方米污水需付14元排污費.(1)若工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品,在不污染環(huán)境,又節(jié)約資金的前提下,應(yīng)選擇哪個污水處理方案?請通過計算加以說明;【解析】設(shè)工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品時,依方案1得到的利潤為y1元,依方案2得到的利潤為y2元,則y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)當x=3000時,y1=42000,y2=54000.因為y1<y2,所以應(yīng)選擇方案2處理污水.(2)當工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品時,又該如何決策呢?【解析】設(shè)工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品時,依方案1得到的利潤為y1元,依方案2得到的利潤為y2元,則y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(2)當x=6000時,y1=114000,y2=108000.因為y1>y2,所以應(yīng)選擇方案1處理污水.【總結(jié)升華】一次函數(shù)模型應(yīng)用問題的關(guān)注點(1)特點:圖象是一條直線;(2)方法:求一次函數(shù)解析式的常用方法是待定系數(shù)法;(3)單調(diào)性:當一次項系數(shù)為正時,一次函數(shù)為增函數(shù);當一次項系數(shù)為負時,一次函數(shù)為減函數(shù).提醒:建立一次函數(shù)模型時應(yīng)先求出自變量的取值范圍.【即學(xué)即練】某長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李.若超過規(guī)定的質(zhì)量,則需購買行李票,行李費用y(元)是行李質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù),其圖象如圖所示.(1)根據(jù)圖象數(shù)據(jù),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0).由題中圖象可知,當x=60時,y=6;當x=80時,y=10.所以60k+b=6,80k+所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1(2)問旅客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量是多少?【解析】(2)根據(jù)題意,當y=0時,0≤x≤30.所以旅客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量為30kg.類型二二次函數(shù)模型(數(shù)學(xué)建模)【典例2】如圖,某渠道的截面是一個等腰梯形,上底AD長為一腰和下底長之和,且兩腰AB,CD與上底AD之和為8米.設(shè)腰長為x米.(1)將渠道的截面面積S表示為腰長x的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)腰AB=CD=x米,則上底AD為(8-2x)米,下底BC為(8-3x)米,所以由勾股定理得梯形的高為32x米由x>0,8-2x>0,8-3x>0,可得0<x<83所以S=12[(8-2x)+(8-3x)]×3=34(-5x2+16x即S=34(-5x2+16x)(0<x<83(2)試問:等腰梯形的腰與上、下底長各為多少米時,截面面積最大?并求出截面面積S的最大值.【解析】(2)因為S=34(-5x2+16x)=-534(x-85)2+1635,所以x=85∈(0,此時,腰長AB=85米,上底AD=245米,下底BC=165米,最大截面面積為【總結(jié)升華】二次函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)注點(1)方法:根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后,可利用配方法、判別式法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值,從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題.(2)注意:取得最值時的自變量與實際意義是否相符.【即學(xué)即練】據(jù)市場分析,某海鮮加工公司當月產(chǎn)量在10噸至25噸時,月生產(chǎn)總成本y(萬元)可以看成月產(chǎn)量x(噸)的二次函數(shù);當月產(chǎn)量為10噸時,月總成本為20萬元;當月產(chǎn)量為15噸時,月總成本最低為17.5萬元,為二次函數(shù)的頂點.(1)寫出月總成本y(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)設(shè)y=a(x-15)2+17.5(a≠0),將x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,解得a=110所以y=110(x-15)2+17.5(10≤x≤25)(2)已知該產(chǎn)品銷售價為每噸1.6萬元,那么月產(chǎn)量為多少時,可獲最大利潤?【解析】(2)設(shè)最大利潤為Q(x),則Q(x)=1.6x-y=1.6x-[110(x-15)2+17.5]=-110(x-23)2+12.9(10≤x所以月產(chǎn)量為23噸時,可獲最大利潤12.9萬元.【補償訓(xùn)練】A,B兩城相距100km,在兩城之間距A城xkm處的D地建一核電站給A,B兩城供電,為保證城市安全,核電站距城市的距離不得少于10km.已知每個城市的供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.A城供電量為20億千瓦時/月,B城為10億千瓦時/月.(1)把A,B兩城月供電總費用y(萬元)表示成x(km)的函數(shù),并求定義域.【解析】(1)由題意,設(shè)A城的月供電費用為y1,則y1=λ×20x2.設(shè)B城的月供電費用為y2,則y2=λ×10×(100-x)2,所以A,B兩城月供電總費用y=λ×20x2+λ×10(100-x)2.又λ=0.25,所以y=152x2-500x+25000(10≤x≤90)(2)核電站建在距A城多遠,才能使月供電總費用最小?【解析】(2)y=152x2-500x=152(x-1003)2+50則當x=1003時,y最小故當核電站建在距A城1003km處時,才能使月供電總費用最小類型三分段函數(shù)模型(數(shù)學(xué)建模)【典例3】經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生的注意力與老師的授課時間有關(guān),開始授課時,學(xué)生的注意力逐漸集中,到達理想的狀態(tài)后保持一段時間,隨后開始逐漸分散,用f(x)表示學(xué)生的注意力,x表示授課時間(單位:分),實驗結(jié)果表明f(x)與x有如下關(guān)系:f(x)=5(1)開始授課后多少分鐘,學(xué)生的注意力最集中?能維持多長時間?【解析】(1)由題意得,當0<x<10時,f(x)=5x+9,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當10≤x≤16時,函數(shù)f(x)取得最大值,此時f(x)=59;當16<x≤30時,f(x)=-3x+107,此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以開始授課后10分鐘,學(xué)生的注意力最集中,能維持6分鐘.(2)若講解某一道數(shù)學(xué)題需要55的注意力以及10分鐘的時間,老師能否及時在學(xué)生一直達到所需注意力的狀態(tài)下講完這道題?【解析】(2)當0<x<10時,令f(x)≥55,即5x+9≥55,解得9.2≤x<10,集中注意力時間共10-9.