高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)1.3　第2課時(shí)　補(bǔ)集含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)1.3第2課時(shí)補(bǔ)集含答案第2課時(shí)補(bǔ)集【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解全集的含義及其符號(hào)表示.2.理解給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,并會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.3.會(huì)用Venn圖、數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、全集一般地,如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素,此集合稱為全集,通常記作U.教材挖掘(P12)全集一定是實(shí)數(shù)集R嗎?提示:不一定.全集因研究問(wèn)題的不同而變化.二、補(bǔ)集版本交融(蘇教P14思考)A∪(?UA)是什么集合?提示:A∪(?UA)=U.【教材深化】(1)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系,同時(shí)也是集合之間的一種運(yùn)算.求集合A的補(bǔ)集的前提是A是全集U的子集,隨著所選全集的不同,得到的補(bǔ)集也是不同的,因此,它們是相互依存、不可分割的兩個(gè)概念.(2)?UA包含三層意思:①A?U;②?UA是一個(gè)集合,且(?UA)?U;③?UA是由U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合.(3)若x∈U,則x∈A或x∈(?UA),二者必居其一.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若在全集U中研究問(wèn)題,則集合U沒(méi)有補(bǔ)集.(×)提示:全集U的補(bǔ)集是空集,即?UU=?.(2)集合A與集合A在全集U中的補(bǔ)集沒(méi)有公共元素.(√)提示:A∩(?UA)=?.(3)在全集U中存在元素x,有x?A,且x?(?UA).(×)提示:若x∈U,則x?A與x?(?UA)二者必居其一,不能同時(shí)成立.(4)若3?A,則3∈(?UA).(×)提示:若3∈U,則必有3∈(?UA),若3?U,則3?(?UA).類型一補(bǔ)集的運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-1,1},則?UA=_________;

【解析】(1)由題意,得?UA={-2,0,2}.(2)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x<1},則?UA=_________;

【解析】(2)把集合U和A表示在數(shù)軸上,如圖所示.由圖知?UA={x|x<-1或x≥1}.(3)已知全集U={x|-4≤x≤1},集合A={x|-1≤x<1},則?UA=_________.

【解析】(3)把集合U和A表示在數(shù)軸上,如圖所示.由圖知?UA={x|-4≤x<-1或x=1}.答案:(1){-2,0,2}(2){x|x<-1或x≥1}(3){x|-4≤x<-1或x=1}【總結(jié)升華】求補(bǔ)集的原則和方法(1)一個(gè)基本原則.求給定集合A的補(bǔ)集,從全集U中去掉屬于集合A的元素后,由所有剩下的元素組成的集合即為A的補(bǔ)集.(2)兩種求解方法.①若所給集合中的元素連續(xù)且無(wú)限,則常借助于數(shù)軸,把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上,然后再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解,注意端點(diǎn)值的取舍.②若所給的集合是用列舉法表示,則用Venn圖求解.【即學(xué)即練】1.已知全集為U,集合A={0,1,2},?UA={-1,3,4},集合B={-1,1,4},則?UB=_________.

答案:{0,2,3}【解析】因?yàn)锳={0,1,2},?UA={-1,3,4},所以U={-1,0,1,2,3,4}.又因?yàn)锽={-1,1,4},所以?UB={0,2,3}.2.若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},A={x|-3≤x≤0或1<x≤2},則?UA=_________.

答案:{x|0<x≤1或2<x≤3,x∈R}【解析】如圖,由補(bǔ)集定義可知?UA表示圖中陰影部分,故?UA={x|0<x≤1或2<x≤3,x∈R}.類型二并集、交集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)已知全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},B={1,2},A∩(?UB)等于()A.{3} B.{4} C.{3,4} D.?【解析】選A.因?yàn)槿疷={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以?UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩(?UB)={3}.(2)已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么陰影部分表示的集合為()A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3}【解析】選D.由題意得,陰影部分所表示的集合為(?UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}.【總結(jié)升華】解決集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的技巧(1)解決集合的混合運(yùn)算時(shí),一般先運(yùn)算括號(hào)內(nèi)的部分,再計(jì)算其他部分.(2)當(dāng)集合是用列舉法表示時(shí),如數(shù)集,可以通過(guò)列舉集合的元素得到所求的集合;當(dāng)集合是用描述法表示時(shí),如不等式形式表示的集合,則可借助數(shù)軸求解.【即學(xué)即練】1.已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},則?U(A∪B)等于()A.{-2,3} B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}【解析】選A.因?yàn)锳={-1,0,1},B={1,2},所以A∪B={-1,0,1,2}.又因?yàn)閁={-2,-1,0,1,2,3},所以?U(A∪B)={-2,3}.2.已知全集U=R,集合A={x|x≤5},B={x|x>0},則集合?U(A∩B)等于()A.{x|x≤0} B.{x|x>5}C.? D.{x|x≤0或x>5}【解析】選D.由已知A∩B={x|0<x≤5},故?U(A∩B)={x|x≤0或x>5}.類型三由補(bǔ)集運(yùn)算求參數(shù)問(wèn)題(邏輯推理)角度1離散數(shù)集中的參數(shù)問(wèn)題【典例3】設(shè)全集U={2,3,a2+2a-3},A=16+a6,2.若?UA={5},則實(shí)數(shù)答案:2【解析】因?yàn)?UA={5},且全集U={2,3,a2+2a-3},所以a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2,當(dāng)a=-4時(shí),16+a6=16-當(dāng)a=2時(shí),16+a6=16+26=3,此時(shí)A={3,2},滿足?U綜上可得,a=2.【總結(jié)升華】元素離散的集合的參數(shù)問(wèn)題的求解步驟(1)確定全集;(2)根據(jù)所研究的子集中的元素是全集中的元素列出方程,求參數(shù)值;(3)檢驗(yàn)所研究的集合中元素是否滿足互異性,檢驗(yàn)所研究的集合是否為全集的子集.【即學(xué)即練】已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且?UA={-1},則a的值是()A.-1 B.1 C.3 D.±1【解析】選A.因?yàn)?UA={-1},且全集U={-1,1,3},所以a+2=1a2所以a=-1.角度2連續(xù)數(shù)集中的參數(shù)問(wèn)題【典例4】(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(1)已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(?UA)∩B≠?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________.

【解析】(1)因?yàn)锳={x|x<3或x≥7},所以?UA={x|3≤x<7}.又(?UA)∩B≠?,所以a>3.(2)已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(?UB)∪A=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________.

【解析】(2)因?yàn)锽={x|x<a},所以?UB={x|x≥a}.又(?UB)∪A=R,所以a≤3.答案:(1){a|a>3}(2){a|a≤3}【總結(jié)升華】連續(xù)數(shù)集參數(shù)問(wèn)題的解題策略根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果畫數(shù)軸直觀展示各集合之間的關(guān)系,通過(guò)分析數(shù)軸上有關(guān)點(diǎn)的位置關(guān)系列方程(或不等式)求參數(shù)的值(或范圍).【即學(xué)即練】已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A?(?UB),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】若B=?,則a+1>2a-1,則a<2,此時(shí)?UB=R,即A?(?UB);若B≠?,則a+1≤2a-1,即a≥2,此時(shí)?UB={x|x<a+1或x>2a-1},由于A?(?UB),如圖,則a+1>5,即a>4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a<2,或a>4}.教材深一度集合中的德摩根定律(源于教材P13練習(xí)T3)【常用結(jié)論】?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).【典例5】已知全集U中有m個(gè)元素,(?UA)∪(?UB)中有n個(gè)元素,若A∩B≠?,則A∩B的元素個(gè)數(shù)為()A.m B.nC.m+n D.m-n【解析】選D.由于(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有n個(gè)元素,全集U中有m個(gè)元素,所以A∩B的元素個(gè)數(shù)為m-n.1.4充分條件與必要條件第1課時(shí)充分條件與必要條件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解充分條件、必要條件的概念,能進(jìn)行充分條件、必要條件的判斷.2.了解充分條件與判定定理,必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.3.能通過(guò)充分性、必要性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理數(shù)學(xué)抽象邏輯推理充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系p?qpq條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系(1)數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.(2)數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件教材挖掘(P18思考)若p是q的充分條件,這樣的條件p是唯一的嗎?請(qǐng)舉例說(shuō)明.提示:不唯一.如“對(duì)角線相等的平行四邊形”“有一個(gè)角是直角的平行四邊形”“有三個(gè)角是直角的四邊形”都是“四邊形是矩形”的充分條件.版本交融(人BP32想一想)有人說(shuō),充分條件就是“有之即可,無(wú)之也行”的條件,必要條件就是“有之未必即可,無(wú)之則必不行”的條件,你覺(jué)得有道理嗎?提示:有道理.若p?q,則p是q的充分條件,即要使q成立,有p成立就足夠了,就是“有之即可,無(wú)之也行”;若p?q,q是p的必要條件,即q是p成立的必不可少的條件,缺其不可,就是“有之未必即可,無(wú)之則必不行”.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若“p?q”,則p的充分條件是q.(×)提示:若“p?q”,則p是q的充分條件.(2)若q是p的必要條件,則q是唯一的.(×)提示:給定條件p,由p可以推出的結(jié)論q不是唯一的.(3)“若q,則p”是真命題,則p是q的必要條件.(√)(4)“若p,則q”為假命題,則p不是q的充分條件,但q可以是p的必要條件.(×)提示:“若p,則q”為假命題,則p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.類型一充分條件的判斷(邏輯推理)【典例1】(多選)下列“若p,則q”形式的命題中,p是q的充分條件的是()A.p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0B.在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>ABC.p:m>-14,q:方程x2-x-mD.p:x>2,q:x>1【解析】選BD.選項(xiàng)A,因?yàn)?x-2)(x-3)=0,所以x=2或x=3,不能推出x-2=0,所以p不是q的充分條件.選項(xiàng)B,在△ABC中,由大角對(duì)大邊知,∠B>∠C?AC>AB,所以p是q的充分條件.選項(xiàng)C,因?yàn)閙>-14,所以Δ=12+4m>0,方程x2-x-m=0有實(shí)根,所以p不是q的充分條件選項(xiàng)D,設(shè)集合A={x|x>2},B={x|x>1},所以A?B,所以p是q的充分條件.【總結(jié)升華】充分條件的兩種判斷方法(1)定義法(2)集合關(guān)系法已知條件甲“x∈A”,條件乙“x∈B”,若A?B,則甲是乙的充分條件.【即學(xué)即練】下列命題中,p是否是q的充分條件?(1)p:a2+b2=0,q:a+b=0;【解析】(1)因?yàn)閍2+b2=0,所以a=b=0,所以a+b=0,所以p是q的充分條件.(2)p:四邊形的對(duì)角線相等,q:四邊形是矩形;【解析】(2)因?yàn)榈妊菪蔚膶?duì)角線相等,所以四邊形的對(duì)角線相等四邊形是矩形.所以p不是q的充分條件.(3)p:x=1,q:x2-4x+3=0;【解析】(3)當(dāng)x=1時(shí),x2-4x+3=0,所以x=1?x2-4x+3=0,所以p是q的充分條件.(4)p:x,y∈R,|x|=|y|,q:x=y.【解析】(4)若x=1,y=-1,則|x|=|y|,但x≠y,所以pq,所以p不是q的充分條件.類型二必要條件的判斷(邏輯推理)【典例2】下列命題中,q是否是p的必要條件?(1)p:一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直,q:這個(gè)四邊形是菱形;【解析】(1)如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直,但它不是菱形,pq,所以q不是p的必要條件.(2)p:a>b,q:ac>bc;【解析】(2)因?yàn)楫?dāng)c≤0時(shí)不成立,即pq,所以q不是p的必要條件.(3)p:a<b,q:ab<1【解析】(3)由于a<b,當(dāng)b<0時(shí),ab>1;當(dāng)b>0時(shí),a因此pq,所以q不是p的必要條件.【總結(jié)升華】必要條件的兩種判斷方法(1)定義法(2)集合關(guān)系法已知條件甲“x∈A”,條件乙“x∈B”,若A?B,則甲是乙的必要條件.【即學(xué)即練】下列“若p,則q”形式的命題中,q不是p的必要條件的有(填序號(hào)).

(1)若兩個(gè)三角形面積相等,則兩個(gè)三角形全等;(2)若x為有理數(shù),則1x(3)若x=y,則x2=y2.【解析】(1)因?yàn)槊}“若兩個(gè)三角形面積相等,則兩個(gè)三角形全等”是假命題,所以q不是p的必要條件;(2)當(dāng)x=0時(shí),x是有理數(shù),但1x無(wú)意義,所以1x不是有理數(shù),所以q不是(3)因?yàn)閤=y,等號(hào)左右兩邊平方后,等式依然成立,所以p?q,所以q是p的必要條件.答案:(1)(2)【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈(M∩N)”的()A.充分條件B.必要條件C.既不是充分條件也不是必要條件D.無(wú)法判斷【解析】選B.x∈M或x∈N,即x∈(M∪N),因?yàn)?M∩N)?(M∪N),