高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價二十六　平面含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價二十六平面含答案(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)若點(diǎn)Q在直線b上,b在平面β內(nèi),則Q,b,β之間的關(guān)系可記作()A.Q∈b∈β B.Q∈b?βC.Q?b?β D.Q?b∈β【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上,所以Q∈b.又因?yàn)橹本€b(集合)在平面β(集合)內(nèi),所以b?β,所以Q∈b?β.2.(5分)(2024·宜春高二期末)能確定一個平面的條件是()A.空間的三點(diǎn) B.一個點(diǎn)和一條直線C.兩條相交直線 D.無數(shù)點(diǎn)【解析】選C.對于A,當(dāng)這三個點(diǎn)共線時,經(jīng)過這三點(diǎn)的平面有無數(shù)個,故A不正確;對于B,當(dāng)此點(diǎn)剛好在已知直線上時,有無數(shù)個平面經(jīng)過這條直線和這個點(diǎn),故B不正確;對于C,根據(jù)基本事實(shí)的推論可知,兩條相交直線可唯一確定一個平面,故C正確;對于D,給出的無數(shù)個點(diǎn)不一定在同一個平面內(nèi),故D不正確.3.(5分)如果直線a?平面α,直線b?平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,則()A.l?α B.l?αC.l∩α=M D.l∩α=N【解析】選A.因?yàn)镸∈a,a?α,所以M∈α,又因?yàn)镹∈b,b?α,所以N∈α,又M,N∈l,所以l?α.4.(5分)在空間四邊形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果GH與EF交于一點(diǎn)P,則()A.P一定在直線BD上B.P一定在直線AC上C.P在直線AC或BD上D.P既不在直線BD上,也不在AC上【解析】選B.由題意知GH?平面ADC,GH與EF交于一點(diǎn)P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ADC=AC,由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P一定在直線AC上.5.(5分)(多選)已知α,β為平面,A,B,M,N為點(diǎn),a為直線,下列推理正確的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MNC.A∈α,A∈β?α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合【解析】選ABD.選項(xiàng)C中,α與β有公共點(diǎn)A,則它們有過點(diǎn)A的一條交線,而不是點(diǎn)A,故C錯,其他選項(xiàng)均正確.6.(5分)(多選)下列說法正確的是()A.不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線B.若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則點(diǎn)A,B,C,D,E共面C.若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面D.過直線外一點(diǎn)和直線上三點(diǎn)的三條直線共面【解析】選AD.在A中,假設(shè)其中有三點(diǎn)共線,則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個平面,這與四點(diǎn)不共面矛盾,故其中任意三點(diǎn)不共線,A正確;在B中,如圖①,兩個相交平面有三個公共點(diǎn)A,B,C,且點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,B不正確;如圖②,選項(xiàng)C顯然不正確;在D中,過直線與直線外一點(diǎn)可確定一個平面,設(shè)為α,因此這三條直線都在平面α內(nèi),即三條直線共面,D正確.7.(5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)AC∩BD=__________;

(2)平面AB1∩平面A1C1=__________;

(3)A1B1∩B1B∩B1C1=__________.

【解析】(1)AC,BD同在平面ABCD中,交于點(diǎn)O.(2)平面AB1與平面A1C1相交,交線為A1B1.(3)A1B1,B1B,B1C1三條直線交于一點(diǎn)B1.答案:(1)O(2)A1B1(3)B18.(5分)已知空間四點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線,那么這四點(diǎn)可以確定平面的個數(shù)是________.

【解析】其中三個點(diǎn)可確定唯一的平面,當(dāng)?shù)谒膫€點(diǎn)在此平面內(nèi)時,可確定1個平面,當(dāng)?shù)谒膫€點(diǎn)不在此平面內(nèi)時,則可確定4個平面.答案:1或49.(5分)若直線l與平面α相交于點(diǎn)O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________.

【解析】如圖,因?yàn)锳C∥BD,所以AC與BD確定一個平面,記作平面β,則α∩β=直線CD.因?yàn)閘∩α=O,所以O(shè)∈α.又O∈AB?β,所以O(shè)∈直線CD,所以O(shè),C,D三點(diǎn)共線.答案:共線10.(10分)已知A∈l,B∈l,C∈l,D?l,如圖.求證:直線AD,BD,CD共面.【證明】因?yàn)镈?l,所以直線l與點(diǎn)D可以確定平面α,所以只需證明AD,BD,CD都在平面α內(nèi).因?yàn)锳∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD?α.同理,BD?α,CD?α,所以AD,BD,CD在同一平面α內(nèi),即它們共面.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(多選)在空間中,下列結(jié)論正確的是()A.三角形確定一個平面B.四邊形確定一個平面C.梯形可確定一個平面D.圓心和圓上兩點(diǎn)確定一個平面【解析】選AC.三角形的三個頂點(diǎn)不共線,不共線的三點(diǎn)確定的平面有且只有一個,故A正確.四邊形假設(shè)為空間四邊形,確定的平面可能有四個,故B錯誤.由于梯形有兩條對邊平行,所以確定的平面有且只有一個,故另兩條邊也在該平面上,故C正確.當(dāng)圓心和圓上的兩點(diǎn)在同一條線上時,不能確定一個平面,故D錯誤.12.(5分)如圖,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C?l,直線AB∩l=D,過A,B,C三點(diǎn)確定的平面為γ,則平面γ,β的交線必過()A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C,但不過點(diǎn)D D.點(diǎn)C和點(diǎn)D【解析】選D.根據(jù)基本事實(shí)判定點(diǎn)C和點(diǎn)D既在平面β內(nèi)又在平面γ內(nèi),故在β與γ的交線上.13.(5分)空間中三個平面最少把空間分成________部分;最多把空間分成________部分.

【解析】當(dāng)三個平面兩兩平行時,可以把空間分成4部分;當(dāng)三個平面兩兩相交且存在一個公共點(diǎn)時,把空間分成8部分.答案:4814.(10分)如圖,已知D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點(diǎn),平面α經(jīng)過D,E兩點(diǎn).(1)作直線AB與平面α的交點(diǎn)P;(2)求證:D,E,P三點(diǎn)共線.【解析】(1)延長AB交平面α于點(diǎn)P,如圖所示.(2)因?yàn)槠矫鍭BC∩平面α=DE,P∈AB,AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.又因?yàn)镻∈α,所以P在平面α與平面ABC的交線DE上,即P∈DE,所以D,E,P三點(diǎn)共線.15.(10分)已知四面體D-ABC(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且CG=13BC,CH=13(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)直線FH,EG,AC共點(diǎn).【證明】(1)連接EF,GH.因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF12BD,因?yàn)镚,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且CG=13BC,CH=所以GH13BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)由(1)得EF∥GH,且EF≠GH,所以四邊形EFHG是梯形,設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T.因?yàn)镋G?平面ABC,FH?平面ACD,所以T∈平面ABC,且T∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以T∈AC,即直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.二十七空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)直線a與直線b相交,直線c與直線b相交,則直線a與直線c的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.異面 D.以上都有可能【解析】選D.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB與AA1相交,A1B1與AA1相交,AB∥A1B1;又AD與AA1相交,AB與AD相交;又A1D1與AA1相交,AB與A1D1異面.2.(5分)如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行,那么這條直線與另一個平面的位置關(guān)系為()A.平行B.直線在平面內(nèi)C.相交或直線在平面內(nèi)D.平行或直線在平面內(nèi)【解析】選D.若一條直線與兩個平行平面中的一個平行,則這條直線與另一個平面平行或直線在平面內(nèi).3.(5分)已知直線a∥平面α,P∈α,那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線()A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.有無數(shù)條,不一定在平面α內(nèi)C.只有一條,且在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條,一定在平面α內(nèi)【解析】選C.過點(diǎn)P和直線a可確定唯一一個平面,在這個平面內(nèi),過點(diǎn)P可作直線與直線a平行,且這條直線唯一,而且這條直線在平面α內(nèi).4.(5分)過平面外一條直線作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一個B.至少可以作一個C.至多可以作一個D.一定不能作【解析】選C.因?yàn)橹本€在平面外包含兩種情況:直線與平面相交和直線與平面平行.①當(dāng)直線與平面相交時,不能作出符合題意的平面;②當(dāng)直線與平面平行時,可作出唯一的一個符合題意的平面.綜上可得所能作的平面至多有一個.5.(5分)(多選)下列命題為真命題的是()A.若直線與平面有兩個公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi)B.若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥αC.若直線l與平面α相交,則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線D.若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面【解析】選AD.對于B,直線l也可能與平面α相交;對于C,直線l與平面α內(nèi)不過交點(diǎn)的直線異面,而與過交點(diǎn)的直線相交.故B,C中的命題是假命題.6.(5分)(多選)已知平面α與平面β,γ都相交,則這三個平面的交線可能有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【解析】選ABC.當(dāng)三個平面兩兩相交且過同一直線時,它們有1條交線;當(dāng)平面β和γ平行時,它們的交線有2條;當(dāng)這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時,它們有3條交線.7.(5分)如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'中:(1)與直線AB平行的平面是__________;

(2)與直線AA'平行的平面是__________.

答案:(1)平面A'C',平面DC'(2)平面B'C,平面DC'8.(5分)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有__________.

【解析】題干圖(1)中,直線GH∥MN;題干圖(2)中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;題干圖(3)中,連接MG(圖略),GM∥HN,因此,GH與MN共面;題干圖(4)中,G,M,N共面,但H?平面GMN,所以GH與MN異面.所以圖(2)(4)中GH與MN異面.答案:(2)(4)9.(5分)過平面外兩點(diǎn),可作__________個平面與已知平面平行.

【解析】若過兩點(diǎn)的直線與已知平面相交,則作不出平面與已知平面平行;若過兩點(diǎn)的直線與已知平面平行,則可作一個平面與已知平面平行.答案:0或110.(10分)三個平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直線c?β,c∥b.(1)判斷c與α的位置關(guān)系,并說明理由;(2)判斷c與a的位置關(guān)系,并說明理由.【解析】(1)c∥α.因?yàn)棣痢桅?所以α與β沒有公共點(diǎn).又c?β,所以c與α無公共點(diǎn),則c∥α.(2)c∥a.因?yàn)棣痢桅?所以α與β沒有公共點(diǎn).又γ∩α=a,γ∩β=b,則a?α,b?β,且a,b?γ,a,b沒有公共點(diǎn).由于a,b都在平面γ內(nèi),因此a∥b.又c∥b,所以c∥a.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(多選)以下說法正確的是()A.三個平面最多可以把空間分成八部分B.若直線a?平面α,直線b?平面β,則“a與b相交”與“α與β相交”等價C.若α∩β=l,直線a?平面α,直線b?平面β,且a∩b=P,則P∈lD.若n條直線中任意兩條共面,則它們共面【解析】選AC.易知A,C正確;對于B,逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”,也可能a∥b;對于D,反例:正方體的側(cè)棱任意兩條都共面,但這4條側(cè)棱并不共面,故D錯.12.(5分)α,β是兩個不重合的平面,下面說法中正確的是()A.平面α內(nèi)有兩條直線a,b都與平面β平行,那么α∥βB.平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β,那么α∥βC.若直線a與平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行,那么α∥β【解析】選D.A,B都不能保證α,β無公共點(diǎn),如圖①;C中當(dāng)a∥α,a∥β時,α與β可能相交,如圖②;只有D說明α,β一定無公共點(diǎn).13.(5分)如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的有__________對.

【解析】把平面展開圖還原原正方體如圖,則AB與CD,AB與GH,EF與GH互為異面直線,共3對.答案:314.(10分)已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1,底面A1B1C1D1是梯形,A1D1∥B1C1,如圖所示.(1)直線A1B1與四棱臺的各面有什么位置關(guān)系?(2)平面ABCD與四棱臺的其他面有什么位置關(guān)系?【解析】(1)直線A1B1與平面ABCD平行;直線A1B1與平面BCC1B1,平面ADD1A1,平面CDD1C1均相交;直線A1B1在平面A1B1C1D1,平面AA1B1B內(nèi).(2)平面ABCD與平面A1B1C1D1平行;平面ABCD與平面AA1D1D,平面DD1C1C,平面CC1B1B,平面BB1A1A均相