河南省安陽市文源高級(jí)中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

安陽市文源高級(jí)中學(xué)2025屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩個(gè)根分別為，，則（）A.1 B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B.3 C.2 D.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.15 B.20 C. D.5.在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對(duì)準(zhǔn)同一個(gè)弓箭靶，兩人同時(shí)射箭．已知甲、乙中靶的概率分別為0.5，0.4，且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（）A. B. C. D.6.已知是空間中的兩條直線，是兩個(gè)平面，則（）A.若，則是異面直線B.若，則C.若，則D.若，則7已知，且，則（）A. B. C. D.8.“北斗”衛(wèi)星系統(tǒng)的全面建成標(biāo)志著我國的探測(cè)領(lǐng)域進(jìn)入一個(gè)新的階段.單個(gè)衛(wèi)星的探測(cè)可簡(jiǎn)化為如圖所示，地球可近似看做圓心為，半徑的球體，為衛(wèi)星所在位置，陰影部分為觀測(cè)的空間范圍.已知衛(wèi)星的觀測(cè)范圍為地球表面的可觀測(cè)區(qū)域與之間的空間體積（單位：），過作地球的兩條切線，當(dāng)兩切線夾角最大時(shí)記為最大觀測(cè)角，可觀測(cè)地球表面積（單位：）滿足，則當(dāng)時(shí)，（）A. B.C. D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.10.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，分別表示直線的斜率，則（）A.存點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.存在點(diǎn)，使得 D.存在點(diǎn)，使得11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量，則__________.13.設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則______．14.已知函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則集合中元素的個(gè)數(shù)為______．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，△ABC的面積為，求b．16.已知等比數(shù)列的公比，且，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.18.已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)間的距離為.（1）求與的方程；（2）過坐標(biāo)軸上的點(diǎn)可以作兩條與的公切線.（i）求點(diǎn)坐標(biāo).（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，是否存在過點(diǎn)的直線，使與均有兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.19.在某場(chǎng)乒乓球比賽中，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10，接下來比賽規(guī)則如下:兩人輪流各發(fā)一個(gè)球，誰贏此球誰就獲得1分，直到有一方得分超過對(duì)方2分時(shí)即可獲得該局的勝利.已知甲先發(fā)球，且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是實(shí)力的較量，也是心態(tài)的比拼，以后每球比賽，若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為0.8，若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為.（1）求甲以的比分贏得比賽的概率;（2）若要使甲運(yùn)動(dòng)員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6，求的范圍;（3）若，設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員在第球比賽中獲勝的概率為，數(shù)列滿足，求證:.（參考知識(shí):當(dāng)時(shí)，若，則.）

安陽市文源高級(jí)中學(xué)2025屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩個(gè)根分別為，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出兩復(fù)數(shù)根，再根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，，即，當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，，綜上，.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再由集合的運(yùn)算求解．【詳解】因?yàn)?，，所以，所以．故選：D．3.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理,即可求得.【詳解】在中，，由余弦定理，得，即.故選：C.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.15 B.20 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而求出的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為，由，得，所以其展開式中的系數(shù)為.故選：C5.在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對(duì)準(zhǔn)同一個(gè)弓箭靶，兩人同時(shí)射箭．已知甲、乙中靶的概率分別為0.5，0.4，且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，求的是條件概率，根據(jù)條件概率的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”，則，，所以，，．所以．所以．故選：B．6.已知是空間中的兩條直線，是兩個(gè)平面，則（）A.若，則是異面直線B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面，線線位置關(guān)系逐選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，當(dāng)時(shí)，則，所以不是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，當(dāng)，也滿足題意，不一定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則或?yàn)楫惷嬷本€，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，根據(jù)線面垂直性質(zhì)，則，故D正確；故選：D.7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可求解.【詳解】由，可得，即，即，則，解得，又，即，則，故，故選：B8.“北斗”衛(wèi)星系統(tǒng)的全面建成標(biāo)志著我國的探測(cè)領(lǐng)域進(jìn)入一個(gè)新的階段.單個(gè)衛(wèi)星的探測(cè)可簡(jiǎn)化為如圖所示，地球可近似看做圓心為，半徑的球體，為衛(wèi)星所在位置，陰影部分為觀測(cè)的空間范圍.已知衛(wèi)星的觀測(cè)范圍為地球表面的可觀測(cè)區(qū)域與之間的空間體積（單位：），過作地球的兩條切線，當(dāng)兩切線夾角最大時(shí)記為最大觀測(cè)角，可觀測(cè)地球表面積（單位：）滿足，則當(dāng)時(shí)，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為的中點(diǎn)為，圓錐的體積為，可觀測(cè)區(qū)域各點(diǎn)與球心相連所成的立體圖形的體積為，圓錐的體積為，則所求體，分別求出，得到答案.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作地球的兩條切線在成最大觀測(cè)角時(shí)的兩切點(diǎn)分別為的中點(diǎn)為，以為圓心，為直徑的圓記為圓，圓錐的體積為，可觀測(cè)區(qū)域各點(diǎn)與球心相連所成的立體圖形的體積為，圓錐的體積為，則.由，得，故，所以，，可得圓的半徑為，則圓的面積為，則.，則，設(shè)球的表面積為，體積為，則，由得，，所以.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；例如，，，，，顯然，B錯(cuò)誤；由得，，∴，即，C正確；易知，，，，∴，D正確；故選：ACD．10.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，分別表示直線的斜率，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.存在點(diǎn)，使得 D.存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)以及坐標(biāo)運(yùn)算逐一確定選項(xiàng)中的范圍，進(jìn)而判斷存在性.【詳解】由已知得：對(duì)于A，由為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)可得，，A正確；對(duì)于B，由，得以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，因而存在點(diǎn)使得，B正確；對(duì)于C，由為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)可得，又由可得，解得，與矛盾，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由已知，因?yàn)椋?，所以，所以存在點(diǎn)，使得，D正確．故選：ABD．11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，集合，得出不等式組，可得判定A，B正確；由，得到，可判定C錯(cuò)誤；令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，進(jìn)而求得，得到，可判定D正確.【詳解】由，可得，所以，所以，由0，知，所以，可得，所以A，B正確；由，可得，即，所以C錯(cuò)誤；令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由，可得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略，1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，求和方法等對(duì)于式子化簡(jiǎn)變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量，則__________.【答案】【解析】【分析】由向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以故答案為?3.設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則______．【答案】13【解析】【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合已知求出，繼而化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意，顯然，且，則，解得，所以．故答案為：1314.已知函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則集合中元素的個(gè)數(shù)為______．【答案】10【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象可得答案.【詳解】作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)．又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，部分函數(shù)圖象如圖，由圖象可得，，，…，，，，，…，，即，即，解得，即2，3，4，…，10，11，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．故答案為：10.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵點(diǎn).四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，△ABC的面積為，求b．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用二倍角公式，結(jié)合和角公式，正弦定理化簡(jiǎn)即可；（2）運(yùn)用面積公式，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【小問1詳解】由已知，得，由正弦定理，得，即，即．由，得，所以．由正弦定理，得．【小問2詳解】因?yàn)椋寓伲捎嘞叶ɡ?，得，即．由?），得，所以，化簡(jiǎn)，得，代入①，得，所以．16.已知等比數(shù)列的公比，且，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列、等差數(shù)列性質(zhì)求出公比及公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求和即得.【小問1詳解】由題意得，而，解得，所以.由，得數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，又，則，因此數(shù)列的公差為，所以.【小問2詳解】由（1）知，則，于是，兩式相減得，所以.17.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由空間向量運(yùn)算可得，，再由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；（2）（i）由余弦定理求，根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，再由三角形面積公式即可求解；（ii）由（i）得即為與平面所成角，根據(jù)及即可求解.【小問1詳解】因?yàn)镋為邊AB的中點(diǎn)，所以.又，即，即.，所以.又因?yàn)?，所以，?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】（i）由余弦定理可得，所以，所以.（ii）由（1）可知，平面，所以即為與平面所成角.因?yàn)?，所以，，所以，?設(shè)到平面的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則.因?yàn)?，又，所?18.已知橢圓與雙曲線焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)間的距離為.（1）求與的方程；（2）過坐標(biāo)軸上的點(diǎn)可以作兩條與的公切線.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo).（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，是否存在過點(diǎn)的直線，使與均有兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（i）或或或；（ii）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，求解即可求與的方程；（2）（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設(shè)公切線，分別與與的方程聯(lián)立方程組，利用判別式等于0可求公切線方程，公切線的交點(diǎn)即點(diǎn)的坐標(biāo).（ii）假設(shè)存在直線與均有兩個(gè)交點(diǎn)，由（i）知，判斷方程組有無解即可.【小問1詳解】由題意可得，解得.所以.【小問2詳解】（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設(shè)公切線，聯(lián)立得，則，即①聯(lián)立得，則，即②聯(lián)立①②得，所以公切線為或.公切線的交點(diǎn)即點(diǎn)的坐標(biāo)，由，解得，由，解得，由，解得，，解得，綜上所述：或或或.（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，假設(shè)存在直線與均有兩個(gè)交點(diǎn)，由（i）知，不等式組無解，所以不存在過點(diǎn)的直線與均有兩個(gè)交點(diǎn).19.在某場(chǎng)乒乓球比賽中，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10，接下來比賽規(guī)則如下:兩人輪流各發(fā)一個(gè)球，誰贏此球誰就獲得1分，直到有一方得分超過對(duì)方2分時(shí)即可獲得該局的勝利.已知甲先