河南省部分示范性高中2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025年普通高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一模擬招生考試12月聯(lián)考數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】由或，則.故選：B2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得；【詳解】由，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第三象限．故選：C．3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性列方程求解的值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，有，又由，所以.故選：A．4.北京某校高二年級(jí)上學(xué)期期中考試歷史試卷滿分為100分，60分以上（含60分）為及格．閱卷結(jié)果顯示，全年級(jí)800名學(xué)生的歷史成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷的難度系數(shù)（難度系數(shù)平均分/滿分）為0.5，標(biāo)準(zhǔn)差為10，則該次歷史考試及格的人數(shù)約為（）附：若，則，，．A.120人 B.122人 C.124人 D.127人【答案】D【解析】【分析】求出歷史成績(jī)的平均分，故，，又，由對(duì)稱性得到，從而得到答案.【詳解】歷史成績(jī)的平均分為，故，則，又，則，故該次歷史考試及格的人數(shù)約為.故選：D5.已知雙曲線的離心率為，若直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的離心率求出，再結(jié)合雙曲線性質(zhì)求出的范圍.【詳解】由，得，則雙曲線的漸近線方程為，當(dāng)直線在雙曲線的兩條漸近線所夾含軸的區(qū)域內(nèi)（包含兩條漸近線）時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B6.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由正弦定理邊化角和余弦定理計(jì)算即可；【詳解】由可得，進(jìn)而可得，可得，又，有，即，因式分解可得可得或，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.7.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代換后由基本不等式得最小值．【詳解】由，有，有，有，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：C．8.已知（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得；【詳解】由，令則，可得單調(diào)遞減，又可得，則，綜上可得，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而相似構(gòu)造函數(shù).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)為偶函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，若，則不等式的解集為【答案】AB【解析】【分析】由奇函數(shù)定義即可求解以及判斷函數(shù)和奇偶性判斷ABC；由單調(diào)性定義和奇偶性得，解該不等式即可得解判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以即，故，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù)定義域?yàn)?，又，故函?shù)為奇函數(shù)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由題，又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由題設(shè)可知函數(shù)單調(diào)遞增，不等式可化為，所以有，解得，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rulli，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測(cè)量一個(gè)Trulli的屋頂，得到圓錐SO（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心），已知圓錐的側(cè)面積和表面積分別為和，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓錐的體積為B.圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為C.圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為D.若是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與圓錐底面平行的平面將圓錐分成兩部分，這兩部分的體積分別為，則【答案】AC【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑、高、母線長(zhǎng)，逐項(xiàng)求解判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，如圖，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，設(shè)，則，解得，由得，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，圓錐的母線與底面所成的角為，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓錐側(cè)面展開圖的面積為，解得，故C正確；對(duì)于D，如圖，截的小圓錐的底面半徑為，高為，則截的小圓錐的體積為，由得這兩部分的體積分別為，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)，時(shí)，直線與曲線相切B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為C.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.當(dāng)，時(shí)，若（其中），有【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由切線斜率為1求出切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式即可判斷A；求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況即可判斷B；由函數(shù)的單調(diào)性和極值以及零點(diǎn)即可求解判斷C；由函數(shù)的零點(diǎn)情況，結(jié)合和基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，有，若，解得或，由，可得與曲線相切，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，由，有，故函數(shù)的減區(qū)間為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以由B可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，極大值，故若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，由，若（其中），則有，有，可得，有，又由，有，可得，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求證的關(guān)鍵1是先由即結(jié)合立方和公式化簡(jiǎn)得到，關(guān)鍵2是利用基本不等式得到關(guān)于的不等關(guān)系得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，且，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的運(yùn)算計(jì)算即可；【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)椋?，則，可得，所以，又，所以.故答案為：.13.已知，滿足，，則________．【答案】##【解析】【分析】由余弦二倍角公式，正弦二倍角公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算即可；【詳解】由，，有．故答案為：14.已知橢圓的離心率為是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)得到的周長(zhǎng)為16即，求出即可；【詳解】設(shè)橢圓焦距為，由題意有，有，所以，可得為等邊三角形，又為線段的中點(diǎn)，可得是線段的垂直平分線，所以，又的周長(zhǎng)為16，有，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠利用橢圓的性質(zhì)將的周長(zhǎng)表示為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)等比數(shù)列中項(xiàng)公式和等差數(shù)列性質(zhì)求得通項(xiàng)即可；（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及裂項(xiàng)相消法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，由，且，，成等比數(shù)列，有，解得或（舍去），有，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由，有，有，可得.16.某大學(xué)社團(tuán)共有8名大學(xué)生，其中男生4人，女生4人，從這8名大學(xué)生中任選4人參加比賽．（1）設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件，求；（2）設(shè)所選的4人中男生和女生的人數(shù)分別為，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）先求出，，從而利用條件概率公式求出概率；（2）求出的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】男生甲沒有被選中，則從剩余的7人中任選4人，故，男生甲沒有被選中，且女生乙被選中，則從剩余的6人中選擇3人，故，所以；【小問2詳解】的情況一共有，故的可能取值為4,2,0，當(dāng)時(shí)，即選擇了4名男生或4名女生，則，當(dāng)時(shí)，即選擇了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生，則，當(dāng)時(shí)，即選擇了2名男生和2名女生，則，故隨機(jī)變量的分布列為420數(shù)學(xué)期望為.17.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）若平面平面直線，證明：直線；（2）若，直線與平面相交于點(diǎn)，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用四點(diǎn)共面求出，再分別求出平面和平面的法向量，代入空間向量的二面角公式求解即可；【小問1詳解】如圖，連接，因?yàn)?，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以直線.【小問2詳解】因?yàn)槠矫妫?，以向量方向分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，有，可得，由四點(diǎn)共面，有，有，即，即，解得，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)平面的法向量為，由，，則，取，可得，所以，所以平面和平面的夾角的余弦值為.18.約瑟夫·路易斯·拉格朗日是聞名世界的數(shù)學(xué)家，拉格朗日中值定理就是他發(fā)現(xiàn)的.定理如下：若函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)（函數(shù)圖象沒有間斷）；②函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)存在）．則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中稱為“拉格朗日中值點(diǎn)”．（1）求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；（2）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，證明：；（3）已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的兩個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先求f′x，再根據(jù)“拉格朗日中值點(diǎn)”的定義令（2）設(shè)，分和兩種情況討論，利用拉格朗日中值定理有，結(jié)合即可求證；（3）對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，利用拉格朗日中值定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】因?yàn)椋?，，，所以在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.【小問2詳解】設(shè)，有，易知函數(shù)φx在R當(dāng)時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，有，又由，有，可得，由上知，不等式成立.【小問3詳解】由，有，又由，設(shè)，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，同理可知，存在，使得，又由和函數(shù)單調(diào)遞增，有，有，由化簡(jiǎn)可得，故不等式成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于能夠?qū)栴}與拉格朗日中值定理聯(lián)系并結(jié)合導(dǎo)數(shù)解決問題.19.已知點(diǎn)（其中）是拋物線上的兩點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線的傾斜角互補(bǔ)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若以線段為直徑的圓與直線相切，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（3）若直線與相交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）點(diǎn)代入拋物線方程，求出，得到拋物線方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，消去，根據(jù)相切得到，求出直線的方程為，求出點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線的傾斜角互補(bǔ)，可得直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求出，由直線的方程，可知直線的方程和點(diǎn)，得到，若以線段為直徑的圓與直線相切，到直線的距離等于，從而得到方程，求出的縱坐標(biāo)為；（3）聯(lián)立直線和的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得，，由三角形面積公式得到.【小問1詳解】將點(diǎn)代入拋物線中，得，由于，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，直線的方程為，整理得，聯(lián)