上海市閔行六校2024-2025學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁2024學年第一學期期末考試高二數(shù)學試卷考生注意：1．本場考試時間120分鐘，滿分150分．2．作答前，考生在答題紙正面填寫學校、姓名、考生號，粘貼考生本人條形碼．3．所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位．在草稿紙、試卷上作答一律不得分4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1.若點直線，且直線平面，則________.（填合適的符號）【答案】【解析】【分析】由點線面的位置關系判斷即可.【詳解】點直線，且直線平面，則，故答案為：2.直線的一個法向量為______．【答案】【解析】【分析】先求得直線的斜率，由此求出與其垂直的直線的斜率，進而求得直線的一個法向量.【詳解】直線的斜率為，故與其垂直的直線的斜率為，故直線的一個法向量為.故答案為：.3.如圖所示，是用斜二測畫法畫出的的直觀圖，其中，則的面積為_________.【答案】【解析】【分析】利用原圖和直觀圖的對應關系將直觀圖還原，即可得到原三角形的面積.【詳解】如圖，將直觀圖還原，則，的面積為.故答案：2.4.已知向量平行于向量，則________．【答案】【解析】【分析】根據共線向量定理可求的值，故可求的值.【詳解】因為，故存在實數(shù)，使得，故，故，故，故，故答案為：.5.直線與直線的夾角的大小是_____.【答案】##【解析】【分析】利用兩直線夾角公式去求解即可.【詳解】線與直線的斜率分別為，由直線的夾角公式可得，又，所以.故答案為：.6.若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：，．考點：棱柱的體積．【名師點睛】1．解答與幾何體的體積有關的問題時，根據相應的體積公式，從落實公式中的有關變量入手去解決問題，例如對于正棱錐，主要研究高、斜高和邊心距組成的直角三角形以及高、側棱和外接圓的半徑組成的直角三角形；對于正棱臺，主要研究高、斜高和邊心距組成的直角梯形．2．求幾何體的體積時，若給定的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺體，可直接利用公式求解；若給定的幾何體不能直接利用公式得出，常用轉換法、分割法、補形法等求解．7.如圖所示，在側棱長為的正三棱錐中，，過作截面，周長的最小值為________．【答案】【解析】【分析】將三棱錐沿著剪開，將側面、、延展至同一平面，計算出的長，即為周長的最小值.【詳解】如圖，將三棱錐沿側棱剪開，并將其側面展開平鋪在一個平面上，則線段的長即為所求的周長的最小值．取的中點，連接，則，.在中，，則，即周長的最小值為.故答案為：.【點睛】研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當?shù)哪妇€或棱展開，轉化為平面上兩點間的最短距離問題．8.某圓錐的底面半徑為1，沿該圓錐的母線把側面展開后可得到圓心角為的扇形.則該圓錐的側面積為_____.【答案】【解析】【分析】根據題意可得圓錐的母線長為，即可得求側面積.【詳解】設圓錐的母線長為，則，解得，所以該圓錐的側面積為.故答案為：.9.在如圖所示的圓柱中，是底面圓的直徑，是圓柱的母線，且，點是底面圓周上的一點，且，則直線與平面所成的角的正切值為_____．【答案】##【解析】【分析】根據線面垂直可得為直線與平面所成的角，即可利用三角形的邊角關系求解.【詳解】由于點是底面圓周上的一點，故,又平面，平面，故平面，故平面，故為直線與平面所成的角，由于，，故,故,故答案為：.10.有下列命題：①棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；②側棱垂直于底面棱柱是直棱柱；③存在每個面都是直角三角形的四面體；④棱臺的側棱延長后交于一點．其中，正確的命題是________．(填序號)【答案】②③④【解析】【詳解】①不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確；③正確，如圖，正方體中的三棱錐C1ABC四個面都是直角三角形；④正確，由棱臺的概念可知．【考查意圖】空間幾何體的結構特征．11.臺球運動已有五六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球．如圖，有一張長方形球臺，，現(xiàn)從角落沿角的方向把球打出去，球經2次碰撞球臺內沿后進入角落的球袋中，若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律，則的值為_____．【答案】1【解析】【分析】根據題意畫出示意圖，進而求解結論．【詳解】因為，現(xiàn)從角落沿角的方向把球打出去，球經2次碰撞球臺內沿后進入角落的球袋中；當是圖一時，如圖：關于的對稱點為，關于的對稱點為；

如圖；根據直線的對稱性可得：；當是圖2時，如圖：關于的對稱點為，關于的對稱點為，

如圖：根據直線的對稱性可得：；因為，則，故只有.故答案為：1．12.如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，點M為CG的中點，點P為底面上的動點，若存在唯一的點P滿足，則________.【答案】4【解析】【分析】由球面的性質結合已知可得線段為直徑的球與平面相切，取線段中點，在直角梯形中計算求解.【詳解】直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，以線段為直徑構造球，則點與球上任意一點（除外）均能構成直角，因此該球與平面相切時存在唯一P點，使得，取線段中點，連接，則平面，而平面，于是，則，，在直角梯形中，,，，則，所以.故答案為：4.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.已知直線平面，則“直線”是“”的（）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】結合空間線面位置關系，根據充分必要條件的定義可判斷．【詳解】若直線平面，，則直線平面或；若直線平面，直線，則，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．14.若直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據兩直線平行求出，再利用兩平行線間距離公式求解即可.【詳解】依題意可得，解得，則直線方程為，而方程，即，所以兩條平行線間的距離為.故選：B.15.正方體中，為線段，上的一個動點，則下列錯誤的是（）A. B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.直線直線.【答案】D【解析】【分析】結合正方體的性質，利用線面平行和垂直的性質定理和判定定理分別進行判斷證明．【詳解】解：．在正方體中，，，，面，面，，正確．．平面，平面成立．即正確．．三棱錐的底面ΔABC為定值，錐體的高為定值，錐體體積為定值，即正確．．，直線錯誤．故選．【點睛】本題主要考查空間直線和平面的位置關系的判斷，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．16.在正方體中，若點（異于點）是棱上一點，則滿足和所成的角為45°的點有（）A.6個 B.4個 C.3個 D.2個【答案】C【解析】【分析】將各個頂點分別與的連線與直線所成的角大于等于和小于兩類；從而可知當點在上運動時都經歷了從小于到大于的變化，從而得到結果.【詳解】如圖，將正方體的各個頂點（除點外）分類，規(guī)定當頂點與的連線與直線所成的角大于等于時為一類，小于時為一類顯然與所成角的正切值為，故大于，與所成角的為，大于，與所成角的余弦值為，角大于，與所成角的正切值為，小于，當點從運動到時，角度從大于變化到小于，一定經過一個點滿足；依此類推，當點在上運動時，都經歷過角度從小于到大于的變化，故滿足條件的點共有個.故選：【點睛】方法點睛：利用類似于函數(shù)的零點存在性定理的方式，通過確定角度的變化規(guī)律，找到變化過程中的臨界點，通過一上一下兩點的角度變化特點得到是否存在滿足要求的點.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟．17.如圖，在直三棱柱中，，，且、分別是、的中點．（1）證明：；（2）求二面角的大小．（結果用反三角函數(shù)值表示）【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據線線垂直可證明平面，即可利用線面垂直的性質求解，（2）根據線面垂直的性質可得，，故可得為所求的平面角，即可利用三角形的三邊關系求解.【小問1詳解】由于三棱柱為直三棱柱，且、分別是、的中點，故平面，故平面，故，又，故,平面，故平面，又平面，故【小問2詳解】由于，，故，即，取中點為，連接,由（1）知平面，故平面，故，又故，平面，故平面，平面，故，因此為二面角的平面角，由于,故，結合為銳角，故,18.已知直線的傾斜角為，，且這條直線經過點.（1）求直線的方程；（2）直線恒過定點，求點到直線的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線斜率，由點斜式求出直線方程；（2）直線變形后求出定點坐標，進而由點到直線距離公式求出答案.【小問1詳解】由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過點，∴由直線的點斜式方程得，即；【小問2詳解】∵直線化簡得：，令，解得，∴定點，則點到直線的距離，∴到直線的距離為.19.如圖，四面體的各棱長均為2，，分別為棱，的中點，又設，，；（1）用向量，，的線性組合表示向量，；（2）求兩條異面直線，所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據空間向量的線性運算即可求解，（2）根據向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】；【小問2詳解】由四面體各棱長均為2，可知四面體為正四面體，所以，，兩兩夾角為，因此，，，由于兩條異面直線，所成角，所以兩條異面直線，所成角為.20.如圖，將一塊三角形的玉石置于平面直角坐標系中，已知，，點，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經過點的直線進行切割．（1）求直線的傾斜角的取值范圍．（2）是否存在直線，使得點關于直線的對稱點在線段上？（3）設玉石經切割后剩余部分的面積為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）觀察點運動時，直線與線段（不包括端點）有無公共點，數(shù)形結合可得出直線的傾斜角的取值范圍；（2）假設存在直線，使得點關于直線的對稱點在線段上，求出直線的斜率，由題意可知，求出直線的斜率，結合（1）中的結論判斷即可；（3）對直線的斜率是否存在進行分類討論，當軸時，直接求出的值；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，求出點、的坐標，可求出面積的取值范圍，進而可得出的取值范圍，綜合可得出結論.【小問1詳解】解：由圖可知，點在第一象限，設點，因為，，則，所以，，解得，即點，由題圖可知，當點從原點沿著軸的正方向移動時，直線的傾斜角在逐漸增大，當直線與直線重合時，設直線交軸的交點為，如下圖所示：當點在線段上運動時，直線與線段（不包括端點）沒有公共點，當點在線段（不包括點）上運動時，直線與線段（不包括端點）有公共點，且直線的斜率為，直線的傾斜角為，綜上所述，直線傾斜角的取值范圍是.【小問2詳解】解：由（1）可知，、，則直線的斜率為，假設存在直線，使得點關于直線的對稱點在線段上，此時，，則，此時，直線的傾斜角滿足，不合乎題意，因此，不存在直線，使得點關于直線的對稱點在線段上.【小問3詳解】解：當軸時，此時，為線段的垂直平分線，此時，；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，其中，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，即點，聯(lián)立可得，即點，所以，，所以，，因為，則，所以，，綜上所述，的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題第（3）問在求解三角形面積的取值范圍時，要注意對直線的斜率是否存在進行分類討論，在設出直線的方程后，關鍵要求出點、的坐標，再利用三角形的面積公式以及函數(shù)思想求范圍.21.在空間直角坐標系中，任何一個平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空間向量為該平面的一個法向量．有四個平面，，，（1）若平面與平面互相垂直，求實數(shù)的值；（2）根據點到直線的距離公式，類比出到平面的距離公式，并用利用法向量和投影向量的相關知識證明．（3）若四個平面，，，圍成的四面體的外接球體積為，利用（2）的結論求該四面體的體積．【答案】（1）（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據兩平面垂直法向量關系運算得解；（2）根據空間點到平面距離向量公式運算得證；（3）聯(lián)立可求得頂點，同理可求得其它頂點坐標，設外接球球心為，根據接球半徑，求得球