山東省德州市優(yōu)高聯(lián)盟九校2025屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁德州市優(yōu)高聯(lián)盟九校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；2025年1月注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名，班級(jí)，考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共8個(gè)小題，總分40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集的概念求解即可.【詳解】由，，則.故選：B.2.“數(shù)列為等差數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.【詳解】如果數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)可得一定有，反之成立，不一定有數(shù)列是等差數(shù)列，比如滿足，但是數(shù)列不是等差數(shù)列，所以“數(shù)列為等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)與的圖象分別向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象重合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的平移變換與誘導(dǎo)公式，得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得解.【詳解】依題意，得，所以或，得或（不恒成立，舍去），故選：C4.某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都由蛋白質(zhì)構(gòu)成，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某病毒的成活率與溫度的關(guān)系，病毒數(shù)量個(gè)與溫度的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，由表中數(shù)據(jù)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的，預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，病毒數(shù)量為（）溫度481018病毒數(shù)量個(gè)30221814A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【解析】【分析】求出樣本點(diǎn)中心，代入回歸方程得到，得回歸方程，即可進(jìn)行求解.【詳解】由表格數(shù)據(jù)可得，，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為22℃時(shí)，病毒數(shù)量為9個(gè)，故B正確.故選：B.5.如圖所示，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長(zhǎng)為，求出后可得所求的范圍.【詳解】

過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長(zhǎng)為，由可得，故，故的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：D.6.2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（）A.1440種 B.1360種C.1282種 D.1128種【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用捆綁法，結(jié)合分類討論和排列組合知識(shí)計(jì)算即可.【詳解】采取對(duì)丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：種，如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：種．則不同的安排方案共有(種)．故選：D．7.已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的最大值為，最小值為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由數(shù)形結(jié)合得出最大角及最小角，利用三角恒等變換得解.【詳解】如圖，過點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，則與分別為的最大?最小角，設(shè)，由，可得，由可知,所以.故選：D.8.設(shè)雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)為，，P為雙曲線一條漸近線上一點(diǎn)，若.則雙曲線C的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)在漸近線上，結(jié)合角的關(guān)系求出即可代入漸近線結(jié)合離心率公式計(jì)算求解.【詳解】由題雙曲線一條漸近線為，不妨設(shè)在該漸近線上，則可得，由得，故，所以，所以，所以或，由對(duì)稱性不妨設(shè)即，因?yàn)榧?，所以，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）.二、多選題（每小題6分，共3個(gè)小題，總分18分）9.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解一元二次方程，利用模的運(yùn)算即可判斷A，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算代入計(jì)算，即可判斷BC，由即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由已知得，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，由已知得，即，故D不正確.故選：AC.10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.與為互斥事件 B.與相互獨(dú)立C. D.【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AB；利用概率的基本性質(zhì)計(jì)算判斷C；求出條件概率判斷D.【詳解】依題意，不放回的隨機(jī)取兩次，共有種不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，對(duì)于A，事件能同時(shí)發(fā)生，如基本事件，與不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，共6個(gè)不同結(jié)果，，與相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，共9個(gè)不同結(jié)果，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，D正確.故選：BD11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù) B.C. D.上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法及偶函數(shù)的定義判斷ABC，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷D.【詳解】令，，，再令，得（1），即，所以，故B正確；令，得，由（1）得，，故A正確；令，，，，，即，故C不正確；設(shè)，則，則由B，C的分析及題意可得即，在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件等式，合理給變量賦值以及賦變量，化抽象為具體函數(shù)，再判斷奇偶性和單調(diào)性.第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共3個(gè)小題，總分15分）12.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，且，對(duì)于的零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取500個(gè)，用Y表示這500個(gè)零件的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量Y的方差是________.【答案】【解析】【分析】由題可得質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間的概率，后由二項(xiàng)分布的方差可得答案.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)得質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間的概率為，即1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間的概率為，∴，故.故答案為：13.展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為______.【答案】120【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，中的乘以展開式的常數(shù)項(xiàng)得到一部分，中的乘以展開式中的含的項(xiàng)得到一部分，故展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14.如圖，曲線是四葉玫瑰花瓣曲線，若點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則的最大值為__________，玫瑰花瓣及其邊界內(nèi)包含整點(diǎn)（橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的個(gè)數(shù)為__________.【答案】①.8②.17【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最大值；求出圓及內(nèi)部的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，再剔除在玫瑰花瓣外的點(diǎn)即可得解.【詳解】由基本不等式，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為8；在圓及其內(nèi)部的整點(diǎn)橫向最上面一排有，共5排；縱向每一列也有5個(gè)點(diǎn)，有5列，共25個(gè)，驗(yàn)證知只有坐標(biāo)軸上除原點(diǎn)外的8個(gè)點(diǎn)不在花瓣內(nèi)，所以共有17個(gè).故答案為：8；17【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定圓及其內(nèi)部的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是解決第2空的關(guān)鍵.四、解答題（共5個(gè)大題，總分77分）15.在中，角所對(duì)的邊分別為，設(shè)向量，，，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）若，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得，利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（2）解得，由利用正弦定理邊化角得，再結(jié)合余弦定理求得，面積公式求的面積．【小問1詳解】.因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，有最大值；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理，所以，，又因?yàn)?，所以，得，由余弦定理有：，即，所以，所以?6.統(tǒng)計(jì)顯示，我國(guó)在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，下表為年—年我國(guó)在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中年—年對(duì)應(yīng)代碼依次為—.年份代碼市場(chǎng)規(guī)模，，，其中參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)估計(jì)年我國(guó)在線直播生活購物用戶的規(guī)模（結(jié)果精確到）；（2）已知我國(guó)在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率，現(xiàn)從我國(guó)在線直播購物用戶中隨機(jī)抽取人，記這人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為，若，求的數(shù)學(xué)期望和方差.【答案】（1）億人（2），【解析】【分析】（1）將題中數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出與的擬合函數(shù)關(guān)系式，再將代入函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；（2）由題意可知，，由結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求得的值，然后利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋?，，所以，，所以，與的擬合函數(shù)關(guān)系式為當(dāng)時(shí)，，則估計(jì)年我國(guó)在線直播生活購物用戶的規(guī)模為億人.【小問2詳解】由題意知，所以，，，由，可得，因?yàn)椋獾?，所以，?17.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，其離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于點(diǎn)，試問：點(diǎn)是否恒在一條直線上？若是，求出此定直線方程，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）點(diǎn)恒在定直線上．【解析】【詳解】試題分析：（1）橢圓的方程為：；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，，得，故點(diǎn)恒在定直線上．試題解析：解：(1)由題意可設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得：所以橢圓的方程為：(2)設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立由是上方程的兩根可知：直線的方程為：直線的方程為：得：把代入得：即，故點(diǎn)恒在定直線上．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有3個(gè)零點(diǎn)，，，其中.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間即可.（2），由得，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)分類討論其單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，不滿足，當(dāng)時(shí)，要是除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，則，再由韋達(dá)定理求出其余兩個(gè)零點(diǎn)的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明所求范圍即為所求.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.【小問2詳解】，，，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，所以在單調(diào)遞減，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，要是除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則，，所以當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，即有3個(gè)零點(diǎn)，，，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可以利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，或借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.19.已知項(xiàng)數(shù)為m（，）的數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，若，且，則稱為的“伴隨數(shù)列”.（1）數(shù)列4，10，16，19是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”，若不存在，說明理由；（2）若為的“伴隨數(shù)列”，證明：；（3）已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”，且，，求m的最大值.【答案】（1）存在，“伴隨數(shù)列”是15,13,11,10（2）見解析（3）的最大值為【解析】【分析】（1）根據(jù)定義求出即可；（2）證明即可得出；（3）首先證明的伴隨數(shù)列是存在的，最小的，然后確定得到范圍，求得到最大值，由（2）知，利用累加法可得，得出，從而，（是整數(shù)）又由知是的正約數(shù)，這樣得出得到最大值為，構(gòu)造數(shù)列，，它存在伴隨數(shù)列，從而得證.【小問1詳解】，,,，均為正整數(shù)，所以數(shù)列4，10，16，19存在“伴隨數(shù)列”，且其“伴隨數(shù)列”是15,13,11,10.【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列存在“伴隨數(shù)列”，所以，且，所以，所以，即，所以.【小問3詳解】①因?yàn)?，，其中，?dāng)時(shí)，，，有，均為正整數(shù)，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列1,2025存在“伴隨數(shù)列”：，