江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學年高二上學期期末調(diào)研數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁2024-2025學年高二第一學期期末六校聯(lián)合調(diào)研試題高二數(shù)學一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線斜率的定義直接得出結(jié)果.【詳解】由得，故傾斜角滿足為，故.故選：D2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差，進而求出.【詳解】等差數(shù)列中，由，得公差，所以.故選：B3.“”是“方程表示雙曲線”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】∵方程為雙曲線，∴，∴或，∴“”是“方程為雙曲線”的充分不必要條件，故選：Ａ.4.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程即可.【詳解】由，求導得，則，因此曲線在點處的切線為，即.故選：D5.若拋物線的準線經(jīng)過橢圓的左焦點，則的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的左焦點，由拋物線的準線方程得.【詳解】橢圓的半焦距，因此拋物線y2=2pxp>0的準線過點，則，所以.故選：C6.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C.1或 D.或【答案】B【解析】【分析】先判斷，再運用等比數(shù)列求和公式化簡方程，求得，利用等比數(shù)列通項公式化簡所求式即得.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，則，故，則由可得：，因，可將其化簡為：，即，解得（舍去）或.則.故選：B.7.已知函數(shù)在上有三個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，分析可知，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，令，可得或，列表如下：0,+增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.已知，若在直線上存在點，使得，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)求出點的軌跡方程為，由題意，說明直線與圓有公共點，借助于直線與圓的位置關(guān)系判斷方法，得到不等式，求解即得.【詳解】設點，因，由可得：，化簡得，即，依題意，直線與圓有公共點，故圓心到直線的距離，即，化簡得，解得：.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查動點的軌跡方程的求法與應用，屬于較難題.解題的關(guān)鍵有二：其一，要會利用所給等式通過設點，求出其軌跡方程；其二，正確理解軌跡方程表示的幾何意義，學會等價轉(zhuǎn)化解題.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.設為實數(shù)，直線的方程為，則下列說法正確的是（）A.當變化時，恒過定點B.若，則在軸，軸上的截距之和為4C.若，則的斜率為1D.當時，點關(guān)于直線的對稱點坐標為【答案】AC【解析】【分析】對于A，將直線方程轉(zhuǎn)化為，由解方程組即可；對于B，求出直線在軸，軸上的截距即可；對于C，化為斜截式即可得解；對于D，根據(jù)點關(guān)于直線的對稱的求法，求得對稱點的坐標.【詳解】對于A項，直線的方程為化為，由，解得，所以直線恒過定點0,2，A正確；對于B項，時，，令，，令，，此時在軸，軸上的截距之和為，B錯誤；對于C項，由B項可知，故的斜率為1，C正確；對于D項，時，，設關(guān)于直線對稱點坐標，則，解得，即點關(guān)于直線的對稱點坐標為，D錯誤.故選：AC10.已知等差數(shù)列滿足，記為前項和，則下列說法正確的是（）A.B.是遞增數(shù)列C.當時，取得最小值D.使得的的最小值為13【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得，公差，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前項和公式逐項判斷即可.【詳解】由，得，等差數(shù)列的公差，對于B，數(shù)列是遞增數(shù)列，B正確；對于AC，數(shù)列的前7項都為負，從第8項起為正，因此，當時，取得最小值，A錯誤，C正確；對于D，，因此使得的的最小值不為13，D錯誤.故選：BC11.已知為坐標原點，拋物線為拋物線上的兩點，且，則下列說法正確的是（）A.直線過拋物線的焦點B.以為直徑的圓與軸相切C.當時，D.若點，且，則【答案】ABD【解析】【分析】設直線方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求得可判斷A；計算可得的中點到軸的距離為，可判斷B；求出結(jié)合焦點弦公式求解可判斷C；利用數(shù)量積夾角公式判斷即可判斷D.【詳解】對于A，設直線方程為，與聯(lián)立得：，故，因為，所以，解得，即直線恒過點，故選項A正確；對于B，設點M是的中點，，的中點，點到軸的距離為，故以線段為直徑的圓與軸相切，故B正確；對于C，因為，且三點共線，則，所以，代入中，得到，即，所以，故C錯誤；對于D，因為點，且AF=AD，所以，由對稱性不妨設點A在第一象限，所以，，所以，又，所以，所以，所以，，所以，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】結(jié)論點睛：拋物線的相關(guān)結(jié)論，中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切；中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.12.數(shù)列的通項公式為，則它的前6項和為__________.【答案】147【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列通項公式特點，運用分組求和，利用等差（等比）數(shù)列求和公式計算即得.【詳解】因，則該數(shù)列的前6項和為：.故答案為：147.13.在邊長為的長方形鐵片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的長方體箱子，則箱子容積的最大值為______.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)長方體的體積公式求得，求得函數(shù)的定義域，利用導數(shù)法求得最大值即可.【詳解】設小正方形的邊長為，依題意，箱子容積，由，解得，所以的定義域為.則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當時，取到最大值，且最大值為.故答案為：1814.在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，上頂點為.連接并延長交橢圓于點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點.若，則橢圓離心率為__________.【答案】【解析】【分析】求出點的坐標，由對稱性求出點的坐標，由題意可得出，可得出關(guān)于、的齊次等式，結(jié)合可求出的值.【詳解】如下圖所示：易知點、Fc,0，直線的方程為，聯(lián)立解得，即點，由橢圓對稱性可知，點與點關(guān)于軸對稱，則，所以，，且直線的斜率為，由已知，則，則，所以，，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得，解得.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.四?解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用求通項公式；(2)先根據(jù)，再拆項，然后求和．【詳解】解：（1）當時，，解得：，當時，，得，因為，所以，因為，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和.16.已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知以為端點弦的長度為，求該弦所在直線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出的中垂線方程，與圓心所在直線方程聯(lián)立求得，利用距離公式求出半徑，即可得解；（2）按照弦所在直線斜率是否存在討論，當斜率存在時，結(jié)合點到直線距離公式，根據(jù)弦長公式列式求解即可.【小問1詳解】因為，所以的中垂線的斜率為，又的中點為，所以的中垂線方程為即，由，解得，又半徑，所以圓的方程為.（或）【小問2詳解】若弦所在直線斜率不存在，則弦長為8，不合題意，故所求弦的斜率存在.設弦所在直線方程為，即，設圓心到弦的距離為，由所以，即，解得或.所以弦所在的直線方程為或.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論導數(shù)正負情況即可求出函數(shù)單調(diào)性.（2）由（1）求出函數(shù)的最小值，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式.【小問1詳解】函數(shù)中，，求導得，當時，在上單調(diào)遞增；當時，時，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】證明：由（1）知，當時，，設，求導得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此，則，所以.18.已知為坐標原點，雙曲線過點，漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）直線過點，與雙曲線交于兩點.①若直線，求的面積；②在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（2）①寫出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出弦長和點到的距離即可；②設，Ax1,y1,Bx2,y2，當直線斜率不為0時，設，與雙曲線方程聯(lián)立，表示并化簡得，根據(jù)為常數(shù)得出時；再驗證當直線斜率時也滿足即可.【小問1詳解】因為點在雙曲線上，得又因為漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】①直線斜率為，故直線的方程為，代入雙曲線得，，所以，又點到的距離為，故的面積為.②設，Ax1當直線斜率不為0時，設，代入雙曲線得，，，所以，若為常數(shù)，則為常數(shù)，設為常數(shù)，則對任意的實數(shù)恒成立，，所以，所以，此時.當直線斜率時為，對于所以，解得或（舍），所以在軸上存在定點，使得為定值.19.在數(shù)列中，按照下面方式構(gòu)成：，，，其中表示數(shù)列中最大的項.（1）若數(shù)列的前4項分別為，求數(shù)列的前4項；（2）若滿足，且.①求的值；②求的前項和.【答案】（1）（2）①392；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項和公比均為的等比數(shù)列，進而可得.①結(jié)合題意即可得；②根據(jù)題意可得的通項公式，利用分組求和法結(jié)合錯位相減法運算求解.【小問1詳解】因為數(shù)列的前4項分別為，則，所以的前4項分別為【小問2詳解】因為，即，且，可知數(shù)列是以首項和公比均為的等比數(shù)