遼寧省葫蘆島市2025屆高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省葫蘆島市2025屆高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，故?fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?故選：A.4.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，故選：B.5.風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，是人類最早的風(fēng)箏起源．如圖，是某高一年級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體為的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，當(dāng)時(shí)，多面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)镈為的中點(diǎn)，，所以，所以，，又，四邊形為矩形，，平面，所以平面，又，，平面，所以平面，故由四邊形為矩形得平面，所以由，，得,所以，又由得，所以，所以多面體的體積為.故選：C.6.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋詴r(shí)，，又的值域?yàn)?，則，解得，故選：D.7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，最高點(diǎn)，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，又，，則，又，所以，又由圖知，“五點(diǎn)法”作圖中的第二個(gè)點(diǎn)、第三個(gè)點(diǎn)分別為，，則，解得，所以，令，得到，所以，代入，得到，又，解得，所以，則，故選：C.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，函?shù)是奇函數(shù)，則對任意的，，可得，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值不確定，C錯(cuò)；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，所以，，即對任意的，，即，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B對；因?yàn)?，而不一定等于零，故函?shù)不一定是偶函數(shù)，A錯(cuò)；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，所以，，則，故，D錯(cuò).故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分．）9.已知某校高三年級(jí)在期末考試中，1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則對于該校學(xué)生成績，下列說法正確的有（）（參考數(shù)據(jù)：；；．）A.成績在內(nèi)的人數(shù)約為997B.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為10C.及格率超過D.成績低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等【答案】ABD【解析】A：因?yàn)?000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，，所以，即成績在內(nèi)的人數(shù)約人，故A正確；B：該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差，故B正確；C：，，，因?yàn)?0分為及格線，所以及格率小于，故C不正確；D：因?yàn)槌煽兎恼龖B(tài)分布，，所以，即，因?yàn)?20分為優(yōu)秀線，所以成績低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等，故D正確，故選：ABD.10.已知，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】A：令，得，即，A正確；B：令，則原等式變形為，由二項(xiàng)式定理得，，令，得，等式兩側(cè)同乘，得，∴，B錯(cuò)誤；C：令，得，故，C錯(cuò)誤；D：對等式兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)函數(shù)得，，令，得，D正確，故選：AD.11.年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”．其來源于雅各?伯努利仿照橢圓的定義稍做改動(dòng)．他是這樣定義雙紐線的：在平面內(nèi)，設(shè)兩定點(diǎn)、之間距離為，則到兩定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡叫做雙紐線．按照如圖所示坐標(biāo)系研究此曲線，下列說法正確的是（）A.若，則的方程為B.若上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之積為，則點(diǎn)在上C.若點(diǎn)在上，則D.當(dāng)時(shí)，上第一象限內(nèi)的點(diǎn)滿足的面積為，則【答案】ACD【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，易知、，由，即，整理可得，即，化簡得，對于A選項(xiàng)，若，則，此時(shí)，曲線的方程為，即，故A正確；對于B選項(xiàng)，若上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之積為，則，此時(shí)，曲線的方程為，因?yàn)?，故點(diǎn)不在曲線上，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，若點(diǎn)在上，則，可得，故，故C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，設(shè)點(diǎn)，由題意可得，，則，可得，曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程可得，整理可得，可得，因?yàn)椋獾?，故?dāng)時(shí)，上第一象限內(nèi)的點(diǎn)滿足的面積為，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.曲線在處的切線方程為______．【答案】【解析】，所以，由，所以切線方程為，即，故答案為：.13.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為是線段的中點(diǎn)，若，則的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)直線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，由，解得，所以，由，解得，所以，可得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，又，，所以，所以所以的離心率為.故答案為：.14.甲乙兩人進(jìn)行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于13或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束．若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是______．【答案】或0.1【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從8張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為13，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為13；總的情況相當(dāng)于從8張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為13的組合有；；；；；共6種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；時(shí)，乙在剩余的5個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，要排除乙抽到或，此時(shí)共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.記的內(nèi)角的對邊分別是，且．（1）求；（2）點(diǎn)在上，平分，且，求．解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?）解法一：如圖，由題意可知，因?yàn)椋?，又，所以，在中，由余弦定理得，解得，解法二：如圖，由題意可知，因?yàn)椋?，又，所以，在中，由余弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，解得，所以，?16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過定點(diǎn)，求面積的取值范圍；（3）若，求直線的方程．解：（1）由題意拋物線C經(jīng)過點(diǎn)，代入方程可得.所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）依題意，直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)所以直線斜率不為0，設(shè)直線如圖：聯(lián)立，整理得．整理得：故的取值范圍是.（3）如圖：由題意得拋物線的焦點(diǎn)，又由，可知直線過焦點(diǎn)且斜率不為0于是可設(shè)直線的方程為：，設(shè)聯(lián)立方程組得于是由可知，，代入上式所以直線的方程或.17.如圖，在四棱柱中，．（1）求證：；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，線段交于點(diǎn)平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：設(shè)交于點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)?，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即有為中點(diǎn)又因?yàn)?，則，又平面，因此平面，而平面，所以．（2）解：由（1）知，平面，而平面，則平面平面，平面內(nèi)過作，又平面平面，因此平面，射線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，射線的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，則點(diǎn)是正的重心，又平面，且，則，所以，因?yàn)椋?設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面的夾角為，則．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)．（ⅰ）求取值范圍；（ⅱ）證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，由，所以.故單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）（?。┙猓海?，即令，，則是方程的兩個(gè)正根，則，即，有，，即.所以的取值范圍為：.（ⅱ）證明：令則．令，則，則在上單調(diào)遞減，又故存在，使，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減則，又，故即.19.對于數(shù)列，如果中存在四項(xiàng)，使得（互不相同），則稱數(shù)列為友好數(shù)列．（1）若數(shù)列：為友好數(shù)列，且，求的所有可能值；（2）數(shù)列是等比數(shù)列，公比且是友好數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)的最小值，并求此時(shí)公比的個(gè)數(shù)；（3）項(xiàng)數(shù)為（且為偶數(shù)）的數(shù)列為等差數(shù)列，公差不為，從中任意取出個(gè)元素組成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列為友好數(shù)列的概率超過，求的最大值．參考公式：解：（1）因?yàn)闉橛押脭?shù)列，且，所以，得到，或，得到，或，解得，或，解得，或，解得，或，解得，綜上，的所有可能取值為：.（2）若項(xiàng)數(shù)為，不妨令為，則，得到，即，解得（舍），若項(xiàng)數(shù)為，不妨令為，且為從小到大或從大到小排列，①，得到，整理得，所以，解得（舍），②，得到，因?yàn)?，所以，令，則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又所以，存，使得，③，即，得到，解得（舍），④，即，整理得到，即，令，則，由，可得，所以在上為增函數(shù)，又，所以，存在，使得．⑤（舍）綜上，項(xiàng)