遼寧省葫蘆島市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省葫蘆島市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，則.故選：C.2.設(shè)命題，則為（）A. B.C.. D.【答案】A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得為：.故選：A.3.在中，為邊上的中線，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖，.故選：C.4.為了關(guān)注學(xué)生們的健康成長(zhǎng)，學(xué)校開(kāi)展了一次高一年級(jí)的學(xué)生身高的抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，將他們的身高劃分成了、、、、五個(gè)層次，根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖表，則從圖表中不能得出的信息是（）A.樣本中層次身高的女生少于男生B.樣本中層次身高人數(shù)最多C.樣本中層次身高的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的D.樣本中層次身高的男生有人【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，樣本中女生人數(shù)為人，則樣本中男生人數(shù)為人，樣本中層次身高的男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為人，所以，樣本中層次身高的女生少于男生，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槟猩袑哟蔚谋壤畲?，女生中層次的比例最大，所以樣本中層次身高人?shù)最多，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，樣本中層次身高的女生有人，男生層次的有，所以樣本中層次身高的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)為比例為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，樣本中層次身高的女生有人，D錯(cuò).故選：D.5.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由可得：，所以，取，可得：，不滿足，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于函數(shù)，，則，所以，函數(shù)的定義域，對(duì)于函數(shù)，有，即，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.7.甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為與，且每次射擊命中與否互不影響，兩人約定如下：每次由一人射擊，若命中，下一次由另一人射擊；若沒(méi)有命中，則繼續(xù)射擊.約定甲先射擊，則前4次中甲恰好射擊3次的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】前4次中甲恰好射擊3次有三種情況：第一種情況：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲沒(méi)命中，第四次甲射擊.第二種情況：第一次甲沒(méi)命中，第二次甲沒(méi)命中，第三次甲命中，第四次乙射擊.第三種情況：第一次甲沒(méi)命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射擊.甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為與，則甲、乙兩人每次射擊沒(méi)有命中目標(biāo)的概率分別為與.計(jì)算第一種情況的概率：根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式，這種情況的概率為.計(jì)算第二種情況的概率：根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式，這種情況的概率為.計(jì)算第三種情況的概率：根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式，這種情況的概率為.計(jì)算前4次中甲恰好射擊3次的總概率：將三種情況的概率相加得，前4次中甲恰好射擊3次的概率為.故選：B.8.已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意的且，滿足，若，則的值（）A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無(wú)法判斷【答案】B【解析】∵函數(shù)是冪函數(shù)，∴，解得或，∵對(duì)任意的且，滿足，∴在上為增函數(shù)，故，即，∵，∴為上單調(diào)遞增奇函數(shù)，∵，∴，∴，故.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是B.一組數(shù)據(jù)、、、、、的分位數(shù)為C.若樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為D.若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、、，因?yàn)?，因此，該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為，D對(duì).故選：AD.10.下列說(shuō)法正確的有（）A.的最小值為B.已知，則的最小值為C.若正數(shù)、為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為D.設(shè)、為實(shí)數(shù)，若，則的最大值【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)無(wú)最小值，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)2x-1=2故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)檎龜?shù)、滿足，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy2x+1y對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?、為?shí)數(shù)，且，則，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，D對(duì).故選：BD.11.如圖，在梯形中，，，為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B向量與共線C.D.若，則最大值【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，即，所以，，因?yàn)?，則存在，使得，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，可得，因?yàn)椤⒉还簿€，所以，，解得，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，、不共線，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，則，故，同理可得，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉榫€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則存在，使得，所以，，因?yàn)?、不共線，則，，故，因此，的最大值為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，則__________.【答案】2【解析】令，則，得.把代入中，此時(shí)，那么.13.“阿秒光脈沖”是年諾獎(jiǎng)物理學(xué)獲獎(jiǎng)項(xiàng)目，主要用于研究物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué).已知阿秒為時(shí)間單位，且阿秒等于秒，光速約為米/秒.將米長(zhǎng)的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒長(zhǎng)度小于光經(jīng)阿秒所走的距離，至少需要經(jīng)過(guò)的天數(shù)是__________.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【解析】設(shè)至少需要經(jīng)過(guò)天，木棒第一天剩余的長(zhǎng)度為米，木棒第二天剩余的長(zhǎng)度為米，木棒第三天剩余的長(zhǎng)度為米，，以此類推可知，木棒第天剩余的長(zhǎng)度為米，由題意可得，可得，所以，，所以，，則，故至少需要天.14.已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】由得，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象如下：由圖可知，的取值范圍為.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知集合，集合.（1）當(dāng)，求集合；（2）當(dāng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，解得，所以.當(dāng)時(shí)，集合，即，則或，則.（2）由的兩個(gè)根為，因，所以，又因?yàn)?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.16.在中，是重心，直線過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求；（2）若為正實(shí)數(shù)，求的最小值.解：（1）設(shè)點(diǎn)，由中心坐標(biāo)公式得：，，又，所以，故.法二：根據(jù)題意：，，所以.（2）由，得，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為6.17.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性（不必說(shuō)明理由）；（2）解不等式；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)，總，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）對(duì)任意的，，所以的定義域?yàn)榍液瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，符合題意，故成立；，是定義域上的增函數(shù)，理由如下：對(duì)任意的、且，則，所以，=22x所以，函數(shù)為上的增函數(shù).（2）因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)又是奇函數(shù)，所以由f4x+f所以，，可得2x2-4?2因?yàn)?，則，解得，所以不等式f4x+f（3）因?yàn)楹瘮?shù)，顯然，所以有，可得，則，則，因?yàn)?，令，?dāng)時(shí)，，設(shè)，所以，，于是當(dāng)時(shí)，，對(duì)，總，使得成立，所以，函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)在上的值域的子集，即，所以有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.為了解高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)的基本情況，抽取部分高一年級(jí)學(xué)生開(kāi)展體質(zhì)健康能力測(cè)試，滿分分.參加測(cè)試的學(xué)生共人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.（1）由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計(jì)全校高一年級(jí)體測(cè)成績(jī)的分位數(shù)；（2）為提升同學(xué)們的身體素質(zhì)，校方準(zhǔn)備增設(shè)體育課的活動(dòng)項(xiàng)目.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求兩人得分分別來(lái)自和的概率；（3）現(xiàn)已知直方圖中考核得分在內(nèi)的平均數(shù)為，方差為，在）內(nèi)的平均數(shù)為，方差為，求得分在內(nèi)的平均數(shù)和方差.解：（1）由題意得：，解得，抽取的樣本中，設(shè)第百分位數(shù)為，前三個(gè)矩形的面積之和為，前四個(gè)矩形的面積之和為，所以，則，解得，因此高一年級(jí)體測(cè)成績(jī)的的分位數(shù)為.（2）由題意知，抽出的位同學(xué)中，得分在的有人，設(shè)為、，在的有人，設(shè)為、、.則樣本空間為，，設(shè)事件兩人分別來(lái)自和，則，則，因此，所以兩人得分分別來(lái)自和的概率為.（3）由題意知，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個(gè)，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個(gè).記在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為、、、，平均分為，方差為，在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為為、、、，平均分為，方差為；這個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)為，方差為.由題意，，，，，且，，則.由分層抽樣方差公式可得：故得分在內(nèi)的平均數(shù)為，方差為.19.若兩函數(shù)與同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①定義域?yàn)榈姆浅Ｖ岛瘮?shù)；②均有，則稱為的“函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為的“函數(shù)”；（2）若為的“函數(shù)”，判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（3）在（2）的條件下，如果，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立，求滿