黑龍江省龍東地區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東地區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于，故，所以，解得.故選：C.3.若一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1，2，母線與底面所成角為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓臺(tái)的軸截面如下圖：因?yàn)槟妇€與下底面所成的角為，所以母線長為，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為：.故選：D.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，由于在上單調(diào)遞增，故，因此恒成立，故，由于，故，故選：B.5.已知一種物質(zhì)的某種能量N與時(shí)間t的關(guān)系為，其中m是正常數(shù)，若經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，則再經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)的能量為，則，又經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，所以，所以，則再經(jīng)過時(shí)間時(shí)，該物質(zhì)的能量為.故選：C.6.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】根據(jù)題意有，，故，從而.所以.故選：A.7.已知銳角，滿足，，則的最小值為（）A2 B.3 C.5 D.【答案】A【解析】由題意得，故.于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為．若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使得，且的面積為，為銳角，則雙曲線的離心率（）A. B.2C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，從而.而在雙曲線的右支上，故，從而，即.同時(shí)，由于，故.移項(xiàng)可得，兩邊除以就得到.所以，從而，即.兩邊平方即得，整理得到.去分母后即可得到關(guān)于的方程.直接計(jì)算可得，故該方程等價(jià)于.從而或，將這兩個(gè)方程分別看作關(guān)于的一元二次方程，即可分別解得和.同時(shí)，由于為銳角，故，所以，故.而，故符合條件的解只有一個(gè).而，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量，若，則B.若隨機(jī)變量（其中），，則C.若事件，且，則D.若隨機(jī)變量，且，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，由于，故，故A正確；對(duì)于B，由于，故，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，且，則，故C正確；對(duì)于D，，故，進(jìn)而可得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖，在棱長為2的正方體，中，點(diǎn)分別是梭，，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若正方體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為B.異面直線與所成角的余弦值為C.平面和平面分正方體成三部分的體積由小到大的比值為1：8：16D.平面和平面之間的距離為【答案】ABD【解析】對(duì)于A,正方體的外接球的直徑為,故外接球的半徑為，故體積為，故A正確，對(duì)于B，由于,因此為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，,由余弦定理可得,故B正確；對(duì)于C，,延長和相交于點(diǎn),由于是的中點(diǎn)，,所以是的中點(diǎn)，同理可知與也相交于點(diǎn)，故為三棱臺(tái)，因此，因此平面和平面之間的體積為,因此三部分的體積由小到大的比值為1：7：16，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，因此到平面的距離即為平面和平面之間的距離，,故到平面的距離為，故D正確，故選：ABD11.已知曲線C：，則（）A.曲線C的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱B.曲線C上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為C.若點(diǎn)在曲線C上，則D.若直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)于A；由，可得，所以曲線C的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又，所以，所以，所以曲線C上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C；若點(diǎn)在曲線C上，則，令，求導(dǎo)得，，求導(dǎo)可得，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，故C正確；若直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，所以在上有三個(gè)解，顯然時(shí)，方程不成立，所以在上有三個(gè)解，令，則，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，，所以，所以，所以，即在上為增函數(shù)，又，所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，要使在上有三個(gè)解，則需，解得或，所以若直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若單位向量，滿足，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】由可得，故，故，由于，故，故答案為：.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則______．【答案】【解析】設(shè)，由題意，由圖象可知，則，又，所以，即，因?yàn)椋捶项}意，則，因?yàn)?，所以，所以或，所以或，因?yàn)?，即符合題意，綜上.故答案為：.14.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)6，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過程為，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行8次運(yùn)算后得到1．若從正整數(shù)3，11，12，13，14中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均被4整除余1的概率為______．【答案】【解析】按照題中運(yùn)算規(guī)律，正整數(shù)3的運(yùn)算過程為，運(yùn)算次數(shù)為；正整數(shù)11的部分運(yùn)算過程為，當(dāng)運(yùn)算到10時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為9，由正整數(shù)3的運(yùn)算過程可知，正整數(shù)7總的運(yùn)算次數(shù)為；正整數(shù)12的運(yùn)算次數(shù)為，共次；正整數(shù)13的運(yùn)算次數(shù)為9；正整數(shù)14的運(yùn)算次數(shù)為，共故能被4整除余1共3個(gè)，概率為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若，，求．解：（1）由可得，故，即，故，由于，故，（2）由可得，由，由正弦定理可得.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E是DP的中點(diǎn)，，垂足為F，，（1）證明：平面AEF；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，平面ABCD，平面，所以，即兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，注意到，不妨設(shè)，所以，所以，從而，即，由題意，又平面，所以平面AEF；（2）解：由（1）可知平面的一個(gè)法向量可以是，注意到三點(diǎn)共線，從而可設(shè)，而，，所以，解得，所以，由（1）可知，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，設(shè)二面角的大小為，則，故所求為.17.已知橢圓C：的長半軸長為2，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓C分別相交于P，Q（點(diǎn)P，Q不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，判斷直線PN和QM的交點(diǎn)是否在定直線上，并說明理由．解：（1）由題意：，又，所以.則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，且，即，，直線方程為：，，直線方程為：，，直線方程為：，直線方程為：，聯(lián)立直線方程與直線方程得，化簡可得恒成立,因此直線與直線的交點(diǎn)過定直線.18.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論函數(shù)單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，證明：．（1）解：由于，故，解得或.（2）解：首先有.若，則在上遞減；若，則對(duì)有，對(duì)有.所以在上遞減，在上遞增；若，則對(duì)有，對(duì)有.所以在上遞減，在上遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增.（3）證明：為使有意義，需要，下面的討論默認(rèn)為正數(shù).先證明一些結(jié)論作為準(zhǔn)備工作：①設(shè)，則對(duì)有，對(duì)有.所以在上遞減，在上遞增，從而，.②設(shè)，則.所以對(duì)有，對(duì)有.從而在上遞減，在上遞增，故.③設(shè)，則對(duì)有，對(duì)有.從而在上遞減，在上遞增，故.④由于，故，所以.由于，，故.所以，即，從而.將和結(jié)合，即得.最后，由于，故.所以.從而原命題得證.19.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，其中d為非零常數(shù)．（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）若且，從，，，…，（且）中任取兩個(gè)數(shù)，記這兩個(gè)數(shù)是無理數(shù)，且這兩個(gè)無理數(shù)中間僅包含一個(gè)整數(shù)概率為，若，求正整數(shù)的最小值．公式：（其中n為正整數(shù)）．（1）解：由可得，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，因此是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，因此，又為正項(xiàng)數(shù)列，可得，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）證明：根據(jù)遞推關(guān)系可得：所以,因此（3）解：由（2）中結(jié)