河南省南陽(yáng)市2025屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，可得.所以.故選：B（改編自《數(shù)學(xué)》（必修第一冊(cè)）第7頁(yè)例4）2.已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以，集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：A.3.直線交圓于、兩點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】聯(lián)立解得：，，所以.故選：D.4.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.而，所以的系數(shù)為為.故選：C.5.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”．如表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的數(shù)就是，那么將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)就是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.6.已知點(diǎn)，Q為曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】為曲線上任意一點(diǎn)，可設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，最大.故選：C.7.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增B.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與原圖象重合，則實(shí)數(shù)的最小值為D.若在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值為【答案】D【解析】對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，的圖象關(guān)于不對(duì)稱，AB錯(cuò)誤；對(duì)于C，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，由圖象與原圖象重合，得，解得，的最小值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，三個(gè)零點(diǎn)，得，解得，因此實(shí)數(shù)的最大值為，D正確.故選：D.8.如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，A、B、C、D是它們的公共點(diǎn)，且都在圓上，直線與x軸交于點(diǎn)P，直線與雙曲線交于點(diǎn)，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（）A.2 B.C. D.4【答案】B【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由，，所以，所以橢圓方程可化為，由，兩式相減得，，則，根據(jù)對(duì)稱性可知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱.則，直線的方程為.將代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以雙曲線方程可化為，由消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，解得，所以，所以.故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列命題中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)，，，，，，，，的分位數(shù)為B.若一組樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為C.在對(duì)高三某班學(xué)生物理成績(jī)的分層隨機(jī)抽樣調(diào)查中，抽取男生人，其平均數(shù)為，方差為；抽取女生人，其平均數(shù)為，方差為，則這名學(xué)生物理成績(jī)的方差為D.若隨機(jī)變量，且，則【答案】CD【解析】對(duì)于A：該組數(shù)據(jù)已從小到大排序，又，故分位數(shù)為第位，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)闃颖军c(diǎn)都在直線上，說(shuō)明是負(fù)相關(guān)且相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：這名同學(xué)物理成績(jī)的平均數(shù)為：，所以這名同學(xué)物理成績(jī)的方差為：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，且，所，所以，故D正確.故選：CD.10.小明在“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”課中，取兩個(gè)三角形模具，把它們的斜邊靠在一起，如圖所示，三角形模具繞著可以轉(zhuǎn)動(dòng).其中斜邊，，，則（）A.當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)，B.當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，則C.當(dāng)平面平面時(shí)，D.當(dāng)A、B、C、D不共面時(shí)，四點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，且此球的體積為【答案】BCD【解析】由，，，可得，，.對(duì)于A：，由余弦定理得，錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，得即，解得，正確；對(duì)于C：過(guò)作于，則為的中點(diǎn)，連接.當(dāng)面面時(shí)，面面，面，則面.而面，則，所以為直角三角形，，正確；對(duì)于D：取的中點(diǎn)，則，所以四點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，且球的半徑為5，所以，正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，且B.令，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)C.若恒成立，則D.若，，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以，使得，故A正確；對(duì)于B：由A得，，使得，即，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以恒大于0；所以要研究函數(shù)的零點(diǎn)，只需研究函數(shù)的零點(diǎn).由，令，，，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，所以，即，即在單調(diào)遞增，又時(shí)，，所以，由恒大于0，恒大于0，故無(wú)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，又，，則，所以，即，整理得，不等式兩邊同除以得，，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某校高三年級(jí)有男生660人，女生440人，現(xiàn)按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取5人組成某活動(dòng)志愿者小隊(duì)，再?gòu)谋怀槿〉倪@5人中抽取2人作為志愿者小隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)，則恰有1名男隊(duì)長(zhǎng)的概率為_(kāi)____.【答案】或0.6【解析】由分層抽樣知，所抽取的這5人中有3男2女，所以恰有1個(gè)男隊(duì)長(zhǎng)的概率.故答案為：.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，，四點(diǎn)共面（為該平面外一點(diǎn)），則_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，所以，即.所以.故答案為：.14.已知雙曲線的方程為：，離心率為，過(guò)的右支上一點(diǎn)，作兩條漸近線的平行線，分別交軸于，兩點(diǎn)，且.過(guò)點(diǎn)作的角平分線，在角平分線上的投影為點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)____.【答案】【解析】，，即，∴兩漸近線方程為，為右支上一點(diǎn)，.設(shè)，，分別令，可得，，又，，即，，∴雙曲線方程為，故，，.延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，平分且，，又，，為的中點(diǎn)，，，易知，，，，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.（1）如圖（1），在圓O的內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，求四邊形ABCD的面積．（2）如圖（2），設(shè)圓O的內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，試證明其面積為．解：（1）如圖所示：連接BD，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因?yàn)?，則，兩式相減得，又，所以，所以.（2）如圖所示：連接AC，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因?yàn)椋瑒t，兩式相減得：，所以，而，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，，即.16.已知拋物線.（1）求拋物線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若直線交拋物線于不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，經(jīng)研究，下面三個(gè)結(jié)論等價(jià)，請(qǐng)選擇其中一個(gè)作為條件，證明其他兩個(gè)成立.①；②直線過(guò)定點(diǎn)；③，.解：（1）法一：顯然拋物線在處的切線的斜率存在，設(shè)其為，則切線方程為，與拋物線聯(lián)立，得，即，只需，解得，所以切線方程為.法二：要求拋物線在處的切線，則由可得所以在處的切線的斜率，所以切線方程為.（2）因?yàn)橹本€交拋物線于，兩點(diǎn)，所以可設(shè)直線由，消去可得，所以，，，，，由①②③：因?yàn)?，所以，即，所以（舍去?所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即證②.所以，，即證③.由②①③：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則由上面可得，，即證③；所以，所以，即證①.由③①②：因?yàn)椋?，所以，所以，即證①.由上面可得，解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即證②.（改編自《數(shù)學(xué)》）（選擇性必修第一冊(cè)）第219頁(yè)A組第6題）17.高三（1）班有名同學(xué)，在某次考試中總成績(jī)?cè)诜郑ê郑┮陨系挠腥耍杭?、乙、丙、??；在分—分之間的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.（1）從該班同學(xué)中任選一人，求在數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的條件下，總成績(jī)超過(guò)分的概率；（2）從數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的同學(xué)中隨機(jī)抽取人.①采取不放回抽樣方式抽取，記為成績(jī)?cè)诜帧种g的同學(xué)的個(gè)數(shù)，求的分布列和期望；②采取放回抽樣方式抽取，記為成績(jī)?cè)诜帧种g的同學(xué)的個(gè)數(shù)，求的值.（直接寫出結(jié)果）解：（1）解法一：記事件所抽取的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分，則，記事件所抽取的學(xué)生的總成績(jī)超過(guò)分，則，所以.即任取一人，在數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的條件下，總成績(jī)超過(guò)分的概率為；解法二：數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的有人，其中包含總成績(jī)超過(guò)分以上的有人，所以任取一人，在數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的條件下，總成績(jī)超過(guò)分的概率為（2）①名數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分的同學(xué)包含個(gè)總成績(jī)?cè)诜种g的，所以所有可能的取值為：、、、，，，，.所以的分布列為：.②名數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)分同學(xué)包含個(gè)總成績(jī)?cè)诜种g的，按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取，則隨機(jī)變量，所以.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）若，，證明：；（3）若，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?對(duì)任意，都有因?yàn)楹愠闪?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）證明：解法一：，當(dāng)時(shí)，是遞增函數(shù)，因此，，又，所以，在上遞減，，因?yàn)?，所以，從而；解法二：因?yàn)?，所以，欲證，只需證明記，則因?yàn)椋?，，所以，所以，在上遞減，因?yàn)?，所以，從而；?）解：解法一：因，恒有，所以即，所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?，則在上遞減，在上遞增，，所以綜上所述的取值范圍是.解法二：，，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此fx=時(shí)，由得，記，，則有兩個(gè)實(shí)根，一根小于1，一根大于1，大于1的根為，知它是關(guān)于的減函數(shù)，注意到在上是增函數(shù)，且，即時(shí)，，時(shí)，2x-1x-1>1a所以時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，時(shí)，，此時(shí)，記，在上遞減，在上遞增，且，因此，，即成立.當(dāng)時(shí)，，fx0=ln當(dāng)時(shí)，，，所以不恒成立.綜上，時(shí)，恒成立所以的取值范圍是.19.空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成（其中），且為該平面的法向量.（1）若平面，，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）請(qǐng)利用法向量和投影向量的相關(guān)知識(shí)證明：點(diǎn)到平面的距離為，若記集合所圍成的幾何體為，求的內(nèi)切球的表面積；（3）記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為.①求的體積的值；②求的相鄰（有公共棱）兩個(gè)面所成二面角的大小.解：（1）根據(jù)題意，平面的法向量，平面的法向量，所以，故.（2）不妨設(shè)，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，則向量，取平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為對(duì)于，當(dāng)時(shí)，表示經(jīng)過(guò)，，的平面在第一象限的部分.由對(duì)稱性可知表示，，這六個(gè)頂點(diǎn)形成的正八面體.法1：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則即為原點(diǎn)到平面的距離，則.所以內(nèi)切球的表面積為；法2：考慮；即為三個(gè)坐標(biāo)平面與圍成的四面體，其四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，此四面體的體積為，由對(duì)稱性知，正八面體的體積，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，正八面體的表面積為，所以，解得：.所以內(nèi)切球的表面積為；（3）由（2）可知所圍幾何體是關(guān)于平面，，對(duì)稱的，其在第一卦限的形狀為正三棱錐，如圖其中、OB、兩兩垂直，且.集合所表示的幾何圖形也關(guān)于平面，，對(duì)稱，其在第一卦限內(nèi)的部分的圖形如圖（1），圖