福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期2月開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期2月開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】由，，所以.故選：A.2.給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則下面結(jié)論正確的還是（）A.平均數(shù)為4 B.方差為C.眾數(shù)為5 D.分位數(shù)為2【答案】B【解析】平均數(shù)為，A錯(cuò)；方差為，B正確；眾數(shù)有兩個(gè)：2和3，C錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)從小到大排列為，由知第8百分位為為，D錯(cuò)，故選：B.3.已知向量，，，，則在方向上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，解得，即；所以;因此在方向上的投影向量為.故選：A.4.過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)雙曲線的方程為，故，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:A.5.函數(shù)在上的圖象不可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察選項(xiàng)B、D，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)的解析式，此時(shí)，故，又，所以.故選：D.6.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意，若，則，由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以充分性成立；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，則，所以，，解得，即，所以必要性成立；因此，“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分必要條件.故選：C.7.在打結(jié)計(jì)時(shí)賽中，現(xiàn)有5根繩子，共有10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．則這5根繩子恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有的打結(jié)方式有：種.其中恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的打結(jié)方式有：種.所以5根繩子恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的概率為：.故選：D.8.已知函數(shù)，若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解之積等于（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】畫(huà)出的圖象，如下：令，則，根據(jù)的圖象可知，要滿足題意必須有兩個(gè)不等實(shí)根，且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合圖象，當(dāng)與相切時(shí)滿足要求，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故，又，其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，令，解得，故時(shí)，有兩個(gè)整數(shù)根，分別為2和-16，由圖象可知，三個(gè)整數(shù)根中，必有一個(gè)小于2，顯然只有滿足要求，此時(shí)，故，令，解得另一個(gè)根為4，又，解得，故五個(gè)整數(shù)根分別為，所以最大整數(shù)解和最小整數(shù)解之積為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】BD【解析】虛數(shù)不能比較大小，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，則，則，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.已知圓：，是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別與相切于點(diǎn)，，則（）A.存在圓心在上的圓與相內(nèi)切B.四邊形面積的最小值為C.的最小值是D.點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在內(nèi)【答案】ABD【解析】圓：的圓心，半徑對(duì)于A，在直線上取點(diǎn)，，點(diǎn)在圓外，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓相內(nèi)切，A正確；對(duì)于B，四邊形面積，點(diǎn)到直線的距離，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，由，得，解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為5，點(diǎn)與圓心確定的直線斜率為，而直線的斜率為，即點(diǎn)與確定的直線垂直于，因此點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在內(nèi)，D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（）A.四面體的外接球的表面積為B.存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)共面C.過(guò)且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為D.點(diǎn)是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為s【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以，四面體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即四面體的外接球的直徑為，所以，四面體的外接球的表面積為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接、、，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，因?yàn)椤⒎謩e是、中點(diǎn)，則，所以，即、、、四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿足、、、四點(diǎn)共面，但是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，在平面上作⊥，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作在平面內(nèi)⊥交或者于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，又平面，所以⊥，因?yàn)?，、平面，所以平面，平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，面積最大，此時(shí)，，面積為，當(dāng)與點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，面積接近于，過(guò)且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，則平面，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，交、于、，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的部分圓弧，此時(shí)滿足直線與直線夾角為，如圖，，故，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與函數(shù)和的圖象都相切，則________【答案】【解析】，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，又，所以，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，又，所以，由可得，由，可得，又，所以，由，得，所以.故答案為：.13.已知中，①__________；②為邊的中點(diǎn)，若，則__________.【答案】或0.25【解析】，即由正弦定理角化邊可得由余弦定理可得；設(shè)由余弦定理結(jié)合①得在中，在中，所以，即，，等式兩邊同時(shí)除以可得，解得或（舍去），所以.故答案為：；.14.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契年~年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為．設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】8【解析】由，得，得，得，得，，所以，令，則數(shù)列即為斐波那契數(shù)列，，則，顯然數(shù)列為遞增數(shù)列且，所以數(shù)列亦為遞增數(shù)列，由，得，，，，，，因?yàn)?，，所以使得成立的的最小值?．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，故，（2），故，由于，，其中分別為前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和以及偶數(shù)項(xiàng)的和，故16.如圖，三棱錐的棱上存在一點(diǎn)，使得平面底面，點(diǎn)在棱上，且平面.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫娴酌?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所?又因?yàn)槠矫妫矫?，所?又，平面，所以平面.（2）解：由（1）知平面，平面，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)A垂直底面的直線為軸，建立如圖所示的空直角坐標(biāo)系.因?yàn)槠矫?，平面，所?又，所以，得則，故，依題意，平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則設(shè)平面與平面的夾角為，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）證明：在上恒成立；（3）討論方程在上的根的個(gè)數(shù).（1）解：由題意當(dāng)時(shí)，則，令解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（2）證明：先證明對(duì)任意，，令，，令解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，即，故對(duì)任意成立，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在上恒成立．（3）解：由（2），在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，也即的根為的根，下討論方程的根的個(gè)數(shù)，化簡(jiǎn)得，令，則，令解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根，綜上所述當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根．18.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓上點(diǎn)處的切線方程是.在直線上任取一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是、.①求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.（1）解：由題意可知，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）①證明：設(shè)，，，由題設(shè)可知：，，又因?yàn)?，?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，均在直線上，即，由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn).②解：設(shè)實(shí)數(shù)存在，因?yàn)?，所以，?dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，由解得，所以，故.當(dāng)直線斜率時(shí)，不滿足題意；當(dāng)直線斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，故，所以，聯(lián)立可得，顯然，所以，，所以.綜上可知，存滿足條件.19.阿爾法狗是谷歌公司開(kāi)發(fā)的人工智能程序，它第一個(gè)戰(zhàn)勝了圍棋世界冠軍.它可以借助計(jì)算機(jī)，通過(guò)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬人腦的機(jī)制來(lái)學(xué)習(xí)、判斷、決策.工程師分別用人類圍棋對(duì)弈的近100萬(wàn)、500萬(wàn)、1000萬(wàn)種不同走法三個(gè)階段來(lái)訓(xùn)練阿爾法狗，三個(gè)階段的阿爾法狗依次簡(jiǎn)記為甲、乙、丙.（1）測(cè)試階段，讓某圍棋手與甲、乙、丙三個(gè)阿爾法狗各比賽一局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，記該棋手連勝兩局的概率為p，試判斷該棋手在第二局與誰(shuí)比賽p最大，并寫(xiě)出判斷過(guò)程.（2）工程師讓甲和乙進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，沒(méi)有平局，比賽進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（ⅰ）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望的最大值;（ⅱ）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，記“甲贏得比賽”為事M，證明：（1）解：該棋手在第二局與甲比賽p最大，該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，記，，，該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)必勝盤(pán)，記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽連勝兩局的概率為，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則，同理，該棋手在第二盤(pán)與乙比賽連勝兩局的概率，該棋手在第二盤(pán)與丙比賽連勝兩局的概率，因?yàn)椋栽撈迨衷诘诙峙c甲比賽p最大.（2）（?。┙猓阂?yàn)闆](méi)有平局，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”或者“乙獲勝”，則，由題意得X的所有可能取值為